新课标例谈高考中的坐标数列

2006年例谈高考中的坐标数列温岭市第二中学用心 爱心 专心 115号编辑 4曾一度降温的递推关系求通项问题，又悄然升温。并且在近几年的高考题中出现了以点的坐标为项的递推数列的新题型，备受教师和学生的关注。这类题型都是以数列、函数、直线与曲线为载体，主要考查学生的综合运用知识的能力。在求解这类的题时，学生必须具备清晰的思维层次和思维方法，能抓住特殊与一般、变形与化归，将不易直接解决的问题通过转化，化归为易解的题。下面就高考题中求坐标数列的通项问题，举例与大家共析。例1（2004浙江卷）如图2，OBC的三个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2）。设1为线段的中点，2为线段的中点，3为线段1的中点。对于每一个正整数n，n+3为线段1n+1的中点。令n的坐标为（n,n）,an=n+n+1+n+2,求an的通项an.解：点n+3为线段nn+1的中点n+3=(n+n+2)an+1=n+1+n+2+n+3=n+1+n+2+(n+n+1) =n+n+1+n+2=anan为常数列又1=2=4=1 ,3=a1=1+2+3=2an=a1=2 nN+例2（2002春季高考题），已知点的序列n（n,0）,(nN+)。其中1=0，a=a(a0).3是线段12的中点，4是线段23的中点，n是n-2n-1的中点.已知an=n+1-Xn.试写出数列an的通项公式.解：由中点坐标知： Xn=(n-1+n-2) (n3) an=xn+1-xn=(n+n+1)-n=-(n-n-1)=- an-1 数列an是以a1=2-1=a为首项.公比q=-的等比数列.an=(-)n-1a .评注：以上两题主要考查数列的递推关系,等比数列等基础知识,考查知识的综合运用和解决问题的创新能力.解题中应用中点坐标公式即可得到递推关系式yn+3=(n+n+2)和Xn=(n-1+n-2) (n3).把数列an转化为等比数列。将无法直接解决的问题化归为熟悉的易解决的问题求解。这种思维方法是解题常用的方法。例3（2004湖南卷）如图 直线L1：y=kx+1-k(k0,k)，与L2：y=x+ 相交于点，直线L1与X轴交于点1，过点1作X轴的垂线交L2于点Q1，过点Q1作Y轴的垂线交L1于2，过点2作X轴垂线交L2于Q2，这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，点n(n+)的横坐标构成数列Xn,求数列Xn的通项公式。解：设n的坐标为（Xn,Yn）,由已知条件得点Qn,n+1的坐标分别为（Xn, Xn+）,(n+1, Xn+)点n+1在直线L1上Xn+=Kn+1+1-K, (Xn-1)= k(n+1-1)即n+1-1=(Xn-1)数列Xn-1是等比数列，其公比为q=,首项为1-1=(1-)-1=-0n-1=-()n-1,即Xn=1-2()n , nN+评注：本题的关键所在就是直线L1上的点Pn与L2上的点Qn横坐标相同，又点Qn与L1上的点n+1的纵坐标相同，得出点n+1的坐标。再由直线L1的方程，可得出递推关系式(Xn-1)= k(n+1-1),从而将不能直接解决的问题化归为等比数列an-1来求解。例4（2003江苏卷）设a0,如图（4），已知直线L：y=ax及曲线：y=x,曲线性上的点Q1的横坐标为a1(0a1a),从上点Qn(n1)作直线，平行于X轴,交直线L于点n+1,再从点n+1作直线平行于Y轴,交曲线于点Qn+1。Qn(n=1,2,3)的横坐标构成数列an试求an+1与an的关系，并求an的通项公式.解：点Qn在曲线C上，Qn(an,a2n) , 由题意QnPn+1平行于X轴Pn+1(a2n, a2n) , Qn+1(a2n,an4)故有递推关系式an+1=a2nan=a2n-1=(a2n-2)2=()1+2=()1+2(a2n-3)2=()1+2+2a2n-3=()1+2+2+2a2=()2-1a2=a评注：本题是从直线y=ax上的点n+1与曲线y=x2上的点Qn的横坐标相等及直线y=ax上的点Pn+1与曲线y=x2上的点Qn+1的横坐标相等到，找到Qn与点Qn+1横坐标关系，得出递推关系式an+1=a2n ，这就是本题的关键所在。然后进行叠代，从而得出通项公式。例5（2005浙江卷）设点(，0)，和抛物线：yx2an xbn(nN*)，其中an24n，由以下方法得到： x11，点P2(x2，2)在抛物线C1：yx2a1xb1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，点在抛物线：yx2an xbn上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离 ()求x2及C1的方程 ()证明是等差数列解：（I）由题意，得。设点是上任意一点，则令 则由题意，得即又在上，解得故方程为(II)设点是上任意一点，则令，则.由题意得g，即又即 （*）下面用数学归纳法证明当n=1时， 等式成立。假设当n=k时，等式成立，即则当时，由（*）知 又即当时，等式成立。由知，等式对成立。是等差数列。从以上例子可看出，求坐标数列的通项问题，其关键就