高考数学二轮复习 数学思想方法部分4函数与方程思想学案

专题4函数与方程思想纵观近几年的高考试题，对函数与方程等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一.在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在.在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：(1)解方程；(2)含参数方程讨论；(3)转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；(4)构造方程求解.预测2013年高考对本讲考查趋势：函数的零点问题、二次函数、二次方程、二次不等式间的关系.1关于x的方程sin2xcos xa0有实根，则实数a的取值范围是_解析：asin2xcos x2，最小值为，最大值为1.所以a的范围是.答案：2在等差数列an中，已知a510，a1231，则通项an_.解析：显然公差不为零，故通项为n的一次函数，设ananb，a，b为常数，由题意得解得an3n5.答案：3n53若a，b是正数，且满足abab3，则ab的取值范围是_解析：法一：abab3，a1，b.而a0，0，a1.aba(a1)59.当且仅当a1，即a3时取等号法二：若设abt，则abt3，a，b可看成方程x2(t3)xt0的两个正根从而有即解得t9，即ab9.答案：9，)4函数f(x)sin xcos xsin xcos x的值域为_解析：设sin xcos xt，t，则sin xcos x，构造二次函数yt(t1)21，t，当t1时，y最小为1；当t时，y最大为.答案：5已知抛物线E：y24x与圆M：(x4)2y2m有四个交点，则实数m的取值范围为_解析：将抛物线E：y24x与圆M：(x4)2y2m的方程联立，消去y2整理得x24x16m0(*)抛物线E：y24x与圆M：(x4)2y2m有四个交点的充要条件是方程(*)有两个不相等的正根，即f(x)x24x16m在(0，)上有两个不相同的零点因为对称轴x20，所以解得12m0，nn10，所以f(n)f(n1)，所以当nN*时，f(n)单调递减设g(n)，则g(n1)，g(n1)g(n).所以当1n4时，g(n)单调递增；g(4)g(5)；当n5时，g(n)单调递减设L(n)f(n)g(n)，则L(1)L(2)L(4)L(5)L(6).所以L(3)最大，且L(3).所以实数k的取值范围为.(1)数列是特殊的函数，所以数列问题多与函数、方程有密切的关系，数列中的基本运算就是方程思想的应用，求数列中的最大(小)项的问题，一般是构造函数利用函数的单调性解决(2)解决不等式的恒成立问题的一种重要方法就是构造函数，利用函数的性质解决设数列an的前n项和Snn2，数列bn满足bn(mN*)(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；(2)是否存在m，使得数列bn中存在某项bt满足b1，b4，bt(tN*，t5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由解：(1)因为Snn2，所以当n2时，anSnSn12n1，又当n1时，a1S11，适合上式，所以an2n1(nN*)，所以bn，则b1，b2，b8，由bb1b8，得2，解得m0(舍)或m9，所以m9.(2)假设存在m，使得b1，b4，bt(tN*，t5)成等差数列，即2b4b1bt，则2，化简得t7，分别存在t43,25,19,16,13,11,10,9,8适合题意，即存在这样的m，且符合题意的m共有9个已知椭圆方程为1，在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中0a3，即a0，点M(a2，a)，N(ln a，a)，易知a2ln a，MNa2ln a记f(a)a2ln a，则有f(a)2a.当0a时，f(a)时，f(a)0.于是，函数f(a)a2ln a在上是减函数，在上是增函数，f(a)a2ln a在a处取得最小值，即当MN取得最小值时a.答案：1函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系2在解决某些数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当做已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想3函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决1对任意实数m，过函数f(x)x2mx1图象上的点(2，f(2)的切线恒过一定点P，则点P的坐标为_解析：因为f(x)2xm，故f(2)4m.于是过点(2，f(2)的切线方程是y(52m)(4m)(x2)，即y(m4)x3，因此切线恒过点(0，3)答案：(0，3)2对于满足0p4的所有实数p，使不等式x2px4xp3成立的x的取值范围是_解析：设f(p)p(x1)x24x3，f(p)为关于p的一次函数，要使f(p)0对p0,4恒成立，则解得x3或x1.答案：(，1)(3，)3设F1是椭圆1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点F2，则F1AB面积的最大值为_解析：如图所示，由椭圆方程可知，a23，b22，c1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则SF1ABF1F2|y1y2|y1y2|.设直线AB的方程为xmy1，代入椭圆方程，化简得(2m23)y24my40.由根与系数的关系，得|y1y2| .令t1，则SF1AB.f(t)2t在1，)上是增函数，f(t)minf(1)3.(SF1AB)max，此时t1，即m0.答案：4函数f(x)axa1存在零点x0，且x0(0,2)，则实数a的取值范围是_解析：f(0)f(2)0，得a1.答案：(，1)(1，)5设函数f(x)x，对任意x1，)，f(mx)mf(x)0恒成立，则实数m的取值范围是_解析：因为对任意x1，)，f(mx)mf(x)2mx0恒成立，显然m0.所以当m0对任意x1，)恒成立，即2m211m20，解得m21，即m0时，有2m2x21m20对任意x1，)恒成立，m无解，综上所述m1，则双曲线1的离心率e的取值范围是_解析：e2212，因为是减函数，所以当a1时，01，所以2e25，即e1时，原方程有两个不等的根，当0t1时，原方程有4个根，当t1时，原方程有3个根当k2时，方程(*)有一个正根t2，相应的原方程的解有2个；当k时，方程(*)有两个相等正根t，相应的原方程的解有4个；当k0时，此时方程(*)有两个不等根t0或t1，故此时原方程有5个根；当0k时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x21|t的解有8个答案：9设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是_又当x0，所以x0时，F(x)也为增函数因为F(3)f(3)g(3)0F(3)，如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)0的解集是(，3)(0,3)答案：(，3)(0,3)10设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)ex1，则f(x)_.解析：由f(x)g(x)ex1得f(x)g(x)ex1.所以相加得f(x)(exex2)答案：11某公司生产某种消防安全产品，年产量为x台(0x100，xN)时，销售收入函数R(x)3 000x20x2(单位：万元)，其成本函数C(x)500xb(单位：万元)已知该公司不生产任何产品时，其成本为4 000(万元)(1)求利润函数P(x)；(2)求该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？(3)在经济学中，对于函数f(x)，我们把函数f(x1)f(x)称为函数f(x)的边际函数，记作Mf(x)对于(1)求得的利润函数P(x)，求边际函数MP(x)，并利用边际函数MP(x)的性质解释公司生产利润情况(本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等)解：(1)由题意得C(0)4 000，所以b4 000，所以C(x)500x4 000，故P(x)R(x)C(x)3 000x20x2500x4 00020x22 500x4 000(0x100，xN)(2)由(1)知P(x)20274 125(0x100，xN)，所以当x62或x63时，利润最大，最大利润P(x)maxP(62)P(63)74 120.所以该公司生产62台或63台产品时，利润最大，最大利润是74 120万元(3)由(1)的结论及题中定义知MP(x)P(x1)P(x)40x2 480(0x99，xN)边际函数为减函数，说明随着产量的增加，每生产一台产品的利润与生产前一台产品的利润相比在减少当x0时，边际函数取得最大值2 480，说明生产一台产品与不生