数学压轴题预测

2006年高考数学压轴题预测高考数学压轴题是对考生所学知识的灵活运用以及分析问题、解决问题能力的全面考查.它要求考生具有全面扎实的基础知识，灵活多变的思维方式及良好的解题习惯，深刻体现了数学基本思想方法在解决综合性问题中的快捷性和实用性.为了帮助考生消除对压轴题的畏惧心理，在压轴题上分一杯羹，争取啃下这块硬骨头.本文将全方位地为考生把脉高考数学压轴题的走向，精心剖析每一道经典例题.知己知彼才能百战不殆，把握脉搏才能决胜高考.例1如图1，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在轴上，且使得MF为的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”.（1）求椭圆的“左特征点”M的坐标；图1（2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论.解析： （1）设为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为，可设直线的方程为.并将它代入得：，即.设，则，被轴平分，.即.即.于是.，即.（2）对于椭圆.于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与轴的交点.证明：设椭圆的左准线与轴相交于M点，过A，B分别作的垂线，垂足分别为C，D.据椭圆第二定义：于是即.，又均为锐角，.的平分线.故M为椭圆的“左特征点”.点评：近年高考关于圆锥曲线的解答题常作为把关题或压轴题，综合考查考生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力.本题背景新颖，而且考查了考试大纲所要求的研究性学习能力，是一道压轴题水平的综合能力题.图2例2如图2，已知过原点O，从轴正方向出发逆时针旋转240，得到射线，点在射线上，设，又知点在射线上移动，设为第三象限内的动点，若且，成等差数列.（1）求点的轨迹方程；（2）已知点的轨迹为C，直线的斜率为，若直线与曲线C有两个不同的交点M，N，交线MN的中点为，求点的横坐标的取值范围.解析：（1）设，轴，.又，则，.，.由成等差数列得：.，即.点的轨迹方程为.（2）设直线的方程为，由得.如图3所示，图3当时，直线与圆相切，此时，注意到，则当时，与圆相切.结合图形得又，.即点的横坐标的取值范围为.点评：向量及其运算是新课程的新增内容，由于向量融数，形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介.本题将向量与解析几何、数列、方程、不等式以及数形结合思想等有机结合，体现了考试大纲要求的“在知识网络交汇点处命题”的精神，预测今年的向量高考题的难度可能上升到压轴题水平.例3图4 如图4，在正四棱锥SABCD中，E是BC的中点，P点在侧面内及其边界上运动，并且总是保持PEAC.（1）指出动点P的轨迹（即说明动点P在满足给定的条件下运动时所形成的图形），证明你的结论；（2）以轨迹上的动点P为顶点的三棱锥PCDE的最大体积是正四棱锥SABCD体积的几分之几？（3）设动点P在G点的位置时三棱锥PCDE的体积取最大值V1，二面角GDEC的大小为，二面角GCED的大小为，求的值.图5（4）若将“E是BC的中点”改为“E是BC上异于B、C的一定点”，其它条件不变，请指出点P的轨迹，证明你的结论.解析：（1）如图5，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD.设AC与BD的交点为O，连结SO，则动点P的轨迹是的中位线FG.由正四棱锥可得.又平面EFG，平面EFG，.（2）由于是定值，所以当P到平面CDE的距离最大时，最大，易知当P与G重合时，P到平面CDE的距离最大，故.又，G到平面ABCD的距离是点S到平面ABCD的距离的，.（3）令，EF与AC交于N点，连结GN，则GN平面ABCD.因此二面角GDEC和二面角GCED的平面角的正切值的比就等于N到DE和CE的距离的倒数比.N是OC的中点，N到BC的距离为.连结DE交OC于M，则M是的重心，.又，在中，容易求得N到DE的距离为.故.（4）动点P在侧面SCD内部及其边界上运动，且总保持，那么这些相交于定点E的直线系应位于某个与直线AC垂直的平面内，而由正四棱锥的性质可知，平面SBD，因此动直线PE集中在过E且平行于平面SBD的一个平面内.过E作E/SB，E/BD，分别交SC于，交CD于，则平面E/平面SBD，从而平面E，故点P的轨迹是线段.点评：本题全方位地考查了立体几何中的主要内容，如线面与线线的位置关系、体积问题、二面角问题等.在立体几何的问题中给出了探求点的轨迹问题，与平面几何、解析几何紧密联系，体现了对综合运用知识的能力要求，考查的知识点丰富，具有相当的难度和深度，达到了压轴题的水平，是一道优秀的创新型试题.例4已知是定义在R上的函数，其图象交轴于A，B，C三点.若点B的坐标为(2,0)，且在和4,5上有相同的单调性，在0,2和4,5上有相反的单调性.（1）求c的值；（2）在函数的图象上是否存在一点，使得在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）求的取值范围.解析：（1）因为在和0,2上有相反的单调性，所以是的一个极值点，故，即有一个解，则.（2）因为交轴于点B(2,0)，所以，即.令得.因为在0,2和4,5上有相反的单调性，所以 .假设存在点，使得在点M的切线斜率为3b，则，即.而，.故不存在点，使得在点M的切线斜率为3b.（3）设，依题意可令，则 即 ，当时，；当时，.故.点评：在知识的交汇点上命题，着重考查学生的创新能力是高考改革的重要方向.本题以高中数学新增内容导数为切入点，涉及了函数、方程、不等式等众多知识点，构题新颖、自然，不露斧凿之迹，令人耳目一新，拍案叫绝！例5 已知函数.（1）若证明（2）若，证明；（3）对于任意的，问以的值为长的三条线段是否可构成三角形？请说明理由.解析：（1）又，即.同理，于是得.（2）由（1）知，以上个式子相加得.（3）以的值为长的三条线段可以构成三角形.事实上，因为，所以.显然当时，即在上是增函数，在处取得最小值在处取得最大值.不妨设则.故以的值为长的三条线段可以构成三角形.点评：本题是根据高等数学中凸函数的性质及高中教材中一道习题（当时，则）加工、改编和整理而成.综合考查函数、不等式、数列、三角形等知识点.要求考生熟练掌握不等式的基本证明方法、技巧，会利用求导的方法解决函数的单调性、值域等问题，对考生综合运用数学知识解决实际问题的能力提出了相当高的要求.例6已知O是锐角三角形ABC的外心，的面积数依次成等差数列.（1）推算是否为定值？说明理由；（2）求证：也成等差数列.图6解析：如图6所示，设的外接圆半径为R，则，同理：.成等差数列，即.，.又，故.又，.整理得 .（1）因是锐角三角形，可知，故为定值.（2）.，即成等差数列.点评：这是一道探索性试题，它涉及到圆的性质、等差数列的性质、三角形的边角关系、三角形的面积公式、三角函数的恒等变形等知识.问题的关键在于如何将面积关系转化为角、的关系，转化的桥梁便是三角形的面积公式及正弦定理.例7已知点、顺次为直线上的点，点、顺次为轴上的点，其中，对任意，点、构成以为顶点的等腰三角形（1）求数列的通项公式，并证明它是等差数列；（2）求证：是常数，并求数列的通项公式；（3）上述等腰三角形中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此时的值，若不可能，请说明理由解析：（1），又，数列是等差数列（2）由题意得，-得，；，都是等差数列，（3）当为奇数时，、，；当为偶数时，、，作轴于，则，要使等腰三角形为直角三角形，必须且只须当为奇数时，有，当时，；当时，；当时，方程无解当为偶数时，有，同理可求得综上所述，上述等腰三角形中可能存在直角三角形，此时的值为或或.点评：本题是解析几何与数列综合而成的“点列”问题，此类题型在高考中出现过多次，“点列”题型虽然形式新颖，但实质是数列知识和技巧的展示，解题时求出其通项公式，问题也就迎刃而解了.另外，本题的分类讨论思想及求解探索性问题的方法也值得仔细品味.例8从原点出发的某质点M，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为.设M到达点的概率为，求.解析：M到达点有两种情形：从点按向量移动到点，此时概率为；从点按向量移动到点，此时概率为.因这两种情形是互斥的，故有 ，即 .又易得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.于是.所以.点评：向量与概率都是新教材中的重量级内容，二者联袂使呆板、平淡的数学题充满活力和无穷魅力！本题是用向量“包装”的概率题，又以数列“一剑封喉”，注意知识的交汇和渗透是本题的“闪光”之处.例9设为常数，；F：把平面上任意一点映射为函数.（1）证明不存在两个不同点对应同一个函数；（2）证明当时，（为常数）；（3）对于属于M的一个固定值，得，在映射的作用之下，作为象，求其原象，并说明它是什么图象.解析：（1）假设有两个不同的点对应于同一函数，即与相同，即，对一切实数恒成立.令，得；令，得.这与是两个不同的点矛盾，故假设不成立，即不存在两个不同的点对应同一个函数.（2）当时，可得常数使.于是为常数，设（是常数）.（3）设，由此得：其中在映射F之下，的原象是，则的原象是.即点满足消去得：即在映射之下，的原象是以原点为圆心，为半径的圆.点评：本题将集合、映射、函数、三角变换、圆的知识等融为一体，其典型性和新颖性兼顾，是一道难得的好题，具有很强的训练价值.例10如图7，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A.一汽艇以60的速度从A出发，30分钟后因故障而停在湖里.已知汽艇出发后先按直线前进，以后又改成正东方向航行，但不知最初的图7方向和何时改变方向.现要去营救，请用图表示营救的区域.解析：以A为原点，过A的南北方向所在直线为轴建立坐标系，如图8.设