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角平分线,北师大版八年级数学下,泾源县第一中学吴伟,我们曾经用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质，你还记得角平分线上的点有什么性质吗?,角平分线上的点到这个角两边的距离相等.,结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？,学习新知,已知:如图,OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.,证明：OC是AOB的平分线1=2PDOA,PEOBPDO=PEOOP=OPOPDOPE(AAS).PD=PE,定理1：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.,几何语言，如图,OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知)PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,你能写出“上述定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗?,逆命题：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,请你证明它是不是真命题?,已知:如图所示,PD=PE,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E.求证:点P在AOB的平分线上.,B,A,D,E,O,P,证明：作射线OP,PDOAPEOBPOD和BPOE都是RtPD=PE,OP=OPRtPODRtPOE(HL)POD=POEOP是AOB的平分线,B,A,D,E,O,P,定理2在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.（逆定理）,如图,PD=PE,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知),点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).,已知:AOB,如图.求作:射线OC,使AOC=BOC.,用尺规作角的平分线.,1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于长为半径作弧,两弧在AOB内交于点C.3.作射线OC，则射线OC就是AOB的平分线.,作法:,观察这三条角平分线,你发现了什么?,作三角形的三条角平分线：,定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.,（这个交点叫做三角形的内心）,1.如图,AD,AE分别是ABC中A的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系?,挑战自我,2.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.,4.已知:如图,C=900,B=300,AD是RtABC的角平分线.求证:BD=2CD.,如图,在ABC中,已知AC=BC,C=900,AD是ABC的角平线,DEAB,垂足为E.,(1)如果CD=4cm,求AC的长;,(2)求证:AB=AC+CD.,延伸训练,回顾与小结,1.定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,2.逆定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,3.定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到
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