状元之路高中数学直线、平面、简单几何体精品作业104文大纲人教

对应学生书P255一、选择题1( 2009全国)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A.B.C.D.解析：设棱长为2，BC的中点为D，由题意，得AD.在RtA1AD中，A1D1.在RtA1BD中，A1B.AA1CC1，AB与AA1所成的角A1AB即为AB与CC1所成的角，在A1AB中，由余弦定理，得cosA1AB.答案：D2(2011衡水市质量监测)正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CC1的中点，则AE、BF所成的角的余弦值是()A B. C. D.解析：如图所示，连接DF、EF，则EF綊BC綊AD，故四边形AEFD为平行四边形，从而DFAE，BFD为AE、BF所成的角设正方体的棱长为2，则DFBF，BD2.在BFD中由余弦是理，得cosBFD，选B.答案：B3(2008福建)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：连接A1C1，AA1平面A1B1C1D1，AC1A1为所求角，AC13，sinAC1A1，选D.答案：D4(2008四川)直线l平面，经过外一点A与l、都成30角的直线有且只有()A1条 B2条 3条 D4条解析：依题意，构造如图所示的长方体，其中棱AB1，BC，直线BC视为题中的直线l，平面BCD视为题中的平面，不难得知直线AC是满足题目限制条件的一条直线，要使所求直线与平面所成的角是30，则需要相应的斜线段在平面上的射影长度等于BC，即要使得所求的过点A的直线m在平面内的射影应该和直线l平行或重合，因此在平面内的点B的左侧取BEBC，连接AE，则易知直线AE、AC均是满足题意的直线，因此选B.答案：B5(2010郑州市质检)如图，在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD1，则二面角BACD的余弦值为()A. B. C. D.解析：在原平面图中连接AC与BD，交于O点，则ACBD，由原四边形ABCD为菱形且边长为1，则DOOB.由于DOAC，BOAC，因此在折起后的图中DOB就是二面角BACD的平面角(如图)由BD1，得cosDOB，故选A.答案：A6(2009陕西)如图，l，A，B，A，B到l的距离分别是a和b，AB与，所成的角分别是和，AB在，内的射影分别是m和n，若ab，则()A，mn B，mnC，mn D，mn解析：由勾股定理，得a2n2AB2，b2m2AB2，于是a2n2b2m2，注意到ab，a2b2m2n20，所以mn.由于sin，sin，而ab，所以sinsin，得.答案：D7(2009重庆)已知二面角l的大小为50，P为空间中任意一点，则过点P且与平面和平面所成的角都是65的直线的条数为()A2 B3 C4 D5解析：过点P分别作平面、的垂线l1、l2，则所求直线m与l1、l2所成的角都是65，且直线l1、l2相交所成的两对对顶角的大小分别是50与130.于是可将问题转化为过点P且与定直线l1、l2所成的角都是65的直线m的条数问题结合图形易知，过点P且与定直线l1、l2所成的角都是65的直线m共有3条，选B. 答案：B8(2009全国)已知二面角l为60，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为2，则P、Q两点之间距离的最小值为()A. B2 C2 D4解析：作PP1l于点P，PP2于点P2，QQ1l于点Q1，QQ2于点Q2，连接P1P2、Q1Q2.则有P1P2l，Q1Q2l，PP1P2QQ1Q260，sinPP1P2，PP12，因此动点P的轨迹是在半平内与直线l平行，且与直线l之间的距离是2的一条直线m.同理QQ14，因此动点Q的轨迹是在半平面内与直线l平行，且与直线l之间的距离是4的一条直线n，P、Q两点之间的距离的最小值等于直线m、n间的距离，作PMn于点M，连接P1M，易知l平面PP1M，PP1M60，在PP1M中，P1M2，因此P、Q两点之间距离的最小值是2，选C. 答案：C二、填空题9已知点O在二面角AB的棱上，点P在内，且POB45.若对于内异于O的任意一点Q，都有POQ45，则二面角AB的大小是_解析：对于内异于O的点Q，都有POQ45，PO与面所成的角即为45，若作PQ于Q点，则POQ45，QAB.又PQ，即AB的大小为90.答案：9010等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于_解析：在线段AB、DE上分别取点G、H使AGAB，EHDE，取DE的中点F，连接MG、GH、MH、FN、AF，设AB4，易知MGAB，GHAB，MGH是二面角CABD的平面角，即有cosMGH，MN平行且等于EF，则四边形MNFE是平行四边形，故EM平行且等于NF，ANF(或其补角)等于直线EM、AN所成的角，通过计算可得AN2，ME2NF2EH2(MG2GH22MGGHcosMGH)12，ME2，AF2422220，在ANF中，cosANF，因此EM、AN所成角的余弦值为.答案：11(2010四川)如图，若二面角l的大小是60，线段AB，Bl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦值是_解析：如图，作AO于O，ACl于C，连接OB、OC，则OCl.设AB与所成角为，则ABO.由图得sinsin30sin60.答案：12如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为_解析：如图，作AECD，又正三棱柱ABCA1B1C1中，B1D平面A1ACC1，则B1DAE.又因为CDDB1D，AE平面B1DC，则ADE就是直线AD与平面B1DC所成的角设正三棱柱棱长为2，则DC，AD，AC2.在ACD中，由余弦定理，得cosADC.直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为. 答案：三、解答题13(2010全国)如图，四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DCSD2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.(1)求证：SE2EB；(2)求二面角ADEC的大小解析：方法一：(1)连接BD，取DC的中点G，连接BG.由此知DGGCBG1，即DBC为直角三角形，故BCBD.又因为SD平面ABCD，所以BCSD，所以BC平面BDS，BCDE.作BKEC，K为垂足因为平面EDC平面SBC，所以BK平面EDC，BKDE.因为DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，所以DE平面SBC，DEEC，DESB.因为SB，DE，所以EB，SESBEB.所以SE2EB.(2)由SA，AB1，SE2EB，ABSA，知AE 1.又AD1，故ADE为等腰三角形取ED中点F，连接AF，则AFDE，AF.连接FG，则FGEC，FGDE.故AFG是二面角ADEC的平面角连接AG，AG，FG，cosAFG，从而二面角ADEC的大小为120.方法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系Dxyz.设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)(1)(0,2，2)，(1,1,0)设平面SBC的法向量为n(a，b，c)，由n，n，得n0，n0.故2b2c0，ab0.令a1，则b1，c1，n(1,1,1)又设(0)，则E.，(0,2,0)设平面CDE的法向量m(x，y，z)，由m，m，得m0，m0.故0,2y0.令x2，则m(2,0，)由平面DEC平面SBC，得mn，mn0,20，2.故SE2EB.(2)由(1)知E，取DE中点F，则F，故0，由此得FADE.又，故0，由此得ECDE，向量与的夹角等于二面角ADEC的平面角于是cos，.故二面角ADEC的大小为120.14(2010全国)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AA1AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE3EB1.(1)求证：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；(2)设异面直线AB1与CD的夹角为45，求二面角A1AC1B1的大小解析：方法一：(1)连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.因为面AA1B1B为正方形，故A1BAB1，且AFFB1.又因为AE3EB1，所以FEEB1.又因为D为BB1的中点，所以DEBF，DEAB1.作CGAB，G为垂足，由ACBC，知G为AB中点又由底面ABC面AA1B1B，得CG面AA1B1B.连接DG，则DGAB1，故DEDG.由三垂线定理，得DECD.因此，DE为异面直线AB1与CD的公垂线(2)因为DGAB1，所以CDG为异面直线AB1与CD的夹角，CDG45.设AB2，则AB12，DG，CG，AC.作B1HA1C1，H为垂足因为底面A1B1C1面AA1C1C，所以B1H面AA1C1C.又作HKAC1，K为垂足，连接B1K.由三垂线定理，得B1KAC1.因此，B1KH为二面角A1AC1B1的平面角因为B1H，HC1，AC1，HK，所以tanB1KH.所以二面角A1AC1B1的大小为arctan.方法二：(1)以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设AB2，则A(2,0,0)，B1(0,2,0)，D(0,1,0)，E.又设C(1,0，c)，则，(2，2,0)，(1，1，c)于是0，0，故DEB1A，DEDC.故DE为异面直线AB1与CD的公垂线(2)因为，等于异面直线AB1与CD的夹角，所以|cos45.即24，解得c.故(1,0，)又因为(0,2,0)，所以(1,2，)设平面AA1C1的法向量为m(x，y，z)，则m0，m0，从而x2yz0，且2y0，令x，则z1，y0，故m(，0,1)设平面AB1C1的法向量为n(p，q，r)，则n0，n0，从而p2qr0,2p2q0.令p，则q，r1，故n(，1)故cosm，n.因为m，n等于二面角A1AC1B1的平面角，所以二面角A1AC1B1的大小为arccos.15(2010湖北)如图，在四面体ABOC中，OCOA，OCOB，AOB120，且OAOBOC1.(1)设P为AC的中点，求证：在AB上存在一点Q，使PQOA，并计算的值；(2)求二面角OACB的平面角的余弦值解析：方法一：(1)平面OAB内作ONOA交AB于N，连接NC.又OAOC，OA平面ONC.NC平面ONC，OANC.取Q为AN的中点，则PQNC.PQOA，在等腰AOB中，AOB120，OABOBA30.在RtAON中，OAN30，ONANAQ.在ONB中，NOB1209030NBO，NBONAQ，3.(2)连接PN、PO.由OCOA，OCOB，知OC平面OAB.又ON平面OAB，OCON.又由ONOA，知ON平面AOC.故OP是NP在平面AOC内的射影在等腰RtCOA中，P为AC的中点，ACOP.根据三垂线定理，知ACNP.故OPN为二面角OACB的平面角在等腰RtCOA中，OCOA1，得OP.在RtAON中，ONOAtan30.在RtPON中，PN，于是cosOPN.方