用放缩法证明不等式学法指导不分本_第1页
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用放缩法证明不等式http:/www.DearEDU.com徐加生 戴加荣所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1. 设a，b为不相等的两正数，且a3b3a2b2，求证。证明：由题设得a2abb2ab，于是（ab）2a2abb2ab，又ab0，得ab1，又ab（ab）2，而（ab）2ababab（ab）2，即（ab）2ab，所以ab，故有1ab。例2. 已知a、b、c不全为零，求证：证明：因为，同理，。所以二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：。证明：由于a、b、c为正数，所以，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+ca，则为真分数，则，同理，故.综合得。三. 裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知nN*，求。证明：因为，则，证毕。例5. 已知且，求证：对所有正整数n都成立。证明：因为，所以，又，所以，综合知结论成立。四. 公式放缩利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例6. 已知函数，证明：对于且都有。证明：由题意知又因为且，所以只须证，又因为所以。例7. 已知，求证：当时。证明：证毕。五. 换元放缩对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。例8. 已知，求证。证明：因为，所以可设，所以则，即。例9. 已知a，b，c为ABC的三条边，且有，当且时，求证：。 证明：由于，可设a=csina，b=ccosa（a为锐角），因为，则当时，所以。六. 单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。例10. 已知a，bR，求证。证明：构造函数，首先判断其单调性，
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