数学预测题十一

2006年高考数学预测问题112006年高考试题倾向及其向量解法若干探平行、垂直、距离和角度问题是立体几何学的主要问题，以此为背景的探究性问题是近年来高考数学命题的创新亮点，在开放性、探究性和创造性方面受到命题专家的欢迎。 这些问题的关键在于运动性和不确定性，具有探究性价值，对学生的能力要求高，是今年高考立体几何学的主要问题类型。 针对这些问题，用传统方法解决困难，用向量法处理，思路简单，操作方便。 我们选择了几个例子，旨在提高考生控制这些问题的能力和得分。一、解决与平行有关的探究性问题例1底面为菱形的四角锥PABCD，测试ABC=600、PA=AC=a、PB=PD=、点e在PD上，并且PE:ED=2:1 .棱PC上是否存在点f。 证明你的结论分析：由于容易得到ABC=600、PA=AC=a、PB=PD=，因此将a设为坐标原点、将直线AD、AP分别设为y轴、z轴、将通过a点的垂直平面PAD的直线设为x轴，制作空间正交坐标系(图)时所以呢如果设置点f是棱PC上点令得很快因此，在f是棱PC中点的情况下，是、共面，即BF/平面AEC .注解：本例的线面平行问题也可以以直线的方向向量与平面的法线向量垂直的方式处理，但是也可以通过立体数中的线面平行和面平行分别与2直线的方向向量平行和2平面的法线向量平行来解决二、解决与垂直有关的探究性问题例2在正四角锥SABCD中，所有的奥萨马长度都是2，p是SA的中点，点q在棱SC上时，直线BQ和PD是否垂直？ 请说明理由分析：当AC、BD与点o相交时根据得分公式所以呢我们需要的是所以呢例3在3prism长度为1的立方体ABCDA1B1C1D1中，点e是棱BC的中点，点f是棱CD上的转动点。 将点f位置作为D1E平面AB1F .解析：将a作为坐标原点，制作图3所示的空间正交坐标系，设DF=x有a (0，0，0 )、b (1，0，0 )、d (0，1，0 )、a1(0，0，1 )、b (1，0，1 )、d1(0，1，1 )、e，F(x，1，0 )所以，有所以呢注解：如果空间的线、线面、面垂直，则可以变换为空间的2个向量的垂直来解决。 如果向量分别是直线方向向量，分别是平面法线向量三、解决有关距离的探究性问题例如图4所示，在直三角柱ABCA1B1C1中，底面为直角等腰三角形，ACB=90，侧棱AA1=2，CA=2，d为CC1中点，从点A1到面AED的距离为分析：如图4所示制作坐标系，如果有a (2，0，0 )、a1(2，0，2 )、d (0，0，1 )的设定如果把向量作为面AED法向量，可以从问题意识中解出来因此，当点e是A1B中点时，从A1到平面AED的距离为.注解：立体几何中的点面的距离、线面的距离、面的距离等可以用公式解决，其中向量是平面的法线向量，向量是由该点或线(面)的任意点和平面上的任意点构成的向量四、解决有关拐角的探究性问题如图5所示，正方形ABCD和矩形ACEF所处的平面相互垂直，以使AB=、af=1.pf和DC所成的角度为600的方式询问在线段AC中是否存在点p分析：创建如图所示的空间正交坐标系。 设定，连接NE后，=(，0，0 )设为P(t，t，0)(0t )此外，pf和CD所成的角度是60度2220得到解(截断)，即点p是AC中点因此，在点p是线段AC中点的情况下，PF与BC所成的角为600 .例6三角锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC、SA=SC=2，m是AB的中点。 在线段SB上存在一点n，二面角N-CM-B馀弦值为解析：取AC中点o，连接OS、OB.SA=SC、AB=BC、ACSO且ACBO平面SAC平面ABC，222222222222222222222226如图所示，当创建空间正交坐标系O-xyz .时，a (2，0，0 )、b (0，2，0 )、c (-2，0，0 )、s (0，0，2 )、m (1，0 )分别表示因此=(3，0 )、=(-1，0，).假设平面CMN法线向量设z=1，则x=、y=-、2220另外=(0，0，2 )是平面ABC的法线向量于是，解为N (0，)因此，当n为SB中点时，二面角N-CM-B的馀弦值为.注解：两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角是立数中的主要角问题，利用向量法解决这类问题可以避免抽象而复杂的找角过程，包括公式(其中两直线的方向向量)、(其中两平面的法线向量)和(其中直线的方向向量、平面的在向量