2016年河南省八市重点高中高考数学三模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年河南省八市重点高中高考数学三模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|x=3n 1， n Z， B=x|y= ，则集合 AB 的元素个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 2已知 =（ x， 1）， =（ 1， 3），若 ，则 x=（ ） A B C 3 D 3 3已知命题 p： R， ） 题 q： x 0， +）， x，则下面结论正确的是（ ） A p q 是真命题 B p q 是真命题 C p q 是真命题 D q 是真命题 4定义 m n=m 0， n 0），已知数列 足 （ n N*），若对任意正整数n，都有 （ N*），则 的值为（ ） A 3 B C 1 D 5存在函数 f（ x）满足对任意的 x R 都有（ ） A f（ |x|） =x+1 B f（ x） =|x+2| C f（ 2） =x D f（ = 6如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ） A 3+ B 2+ C 2+ D 3+ 7已知 O 为直角坐标 原点，点 A（ 2， 3），点 P 为平面区域 （ m 0）内的一动点，若 的最小值为 6，则 m=（ ） A 1 B C D 8执行如图所示的程序框图，则输出的 k 为（ ） 第 2 页（共 23 页） A 3 B 4 C 5 D 6 9在 ，已知 =8， S ， D 为线段 的一点，且=m +n ，则 最大值为（ ） A 1 B C 2 D 3 10已知双曲线 =1（ a 0， b 0）， A（ 0， b）， B（ 0， b）， P 为双曲线上的一点，且 |则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ， +） B（ 1， C ， +） D ， +） 11定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） +f（ x） e， f（ 0） =e+2（其中 e 为自然对数的底数），则不等式 x） +2 的解集为（ ） A（ ， 0） B（ ， e+2） C（ ， 0） （ e+2， +） D（ 0， +） 12公差不为 0 的等差数列 部分项 a ， a ， 构成等比数列 a ，且， ， 2，则下列项中是数列 a 中的项是（ ） A 、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若复数 z 满足 i（ i 为虚数单位），则 z 的模为 _ 14已知 A（ 0， 1）， B（ ， 0）， C（ ， 2），则 接圆的圆心到直线 y=x 的距离为 _ 15棱长为 的正方体 切球 O，以 A 为顶点，以平面 球O 所截的圆面为底面的圆锥的侧面积为 _ 第 3 页（共 23 页） 16存在正数 m，使得方程 m 的正根从小到大排成一个等差数列若点 A（ 1，m）在直线 ax+2=0（ a 0， b 0）上，则 + 的最小值为 _ 三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 CA） B+C） = ， c=2 （ ）求 （ ）求 积的最大值 18某校在高三抽取了 500 名学生，记录了他们选修 A、 B、 C 三门课的选修情况，如表： 科目 学生人数 A B C 120 是 否 是 60 否 否 是 70 是 是 否 50 是 是 是 150 否 是 是 50 是 否 否 （ ）试估计该校高三学生在 A、 B、 C 三门选修课中同时选修 2 门课 的概率 （ ）若该高三某学生已选修 A，则该学生同时选修 B、 C 中哪门的可能性大？ 19多面体 ，四边形 边形 为正方形，且平面 平面 G， H 分别为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求直线 平面 成角的正弦值 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）的焦距为 2 ，且椭圆 C 过点 A（ 1， ）， （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若 O 是坐标原点，不经过原点的直线 l： y=kx+m 与椭圆交于两不同点 P（ Q（ 且 直线 l 的斜率 k； （ ）在（ ）的条件下，求 积的最大值 21已知函数 f（ x） =m（ x 1） 2，（ m R） （ ）讨论函数 f（ x）极值点的个数； 第 4 页（共 23 页） （ ）若对任意的 x 1， +）， f（ x） 0 恒成立，求 m 的取值范围 选修 4何证明选讲 22如图， 半径为 1 的 O 的切线， A 为切点，圆心 O 在割线 ，割线 ， E， （ 1）求证： D=E； （ 2）若 面积 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 参数方程为 （ 为参数），曲线 极坐标方程为 2（ 4 （ 1）求曲线 曲线 普通方程； （ 2）若 A 为曲线 任意一点， B 为曲线 任意一点，求 |最小值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =2|x+a| |x 1|（ a 0） （ 1）若函数 f（ x）与 x 轴围成的三角形面积的最小值为 4，求实数 a 的取值范围； （ 2）对任意的 x R 都有 f（ x） +2 0，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 23 页） 2016 年河南省八市重点高中高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|x=3n 1， n Z， B=x|y= ，则集合 AB 的元素个数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 B 中 x 的范围确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可作出判断 【解答】 解： A=x|x=3n 1， n Z， B=x|y= =x|25 0=x| 5 x5， AB= 4， 1， 2， 5， 则集合 AB 的元素个数为 4， 故选： C 2已知 =（ x， 1）， =（ 1， 3），若 ，则 x=（ ） A B C 3 D 3 【考点】 平行向量与共线向量 【分析】 直接利用向量共线的充要条件列出方程，求解即可 【解答】 解： =（ x， 1）， =（ 1， 3），若 ， 可得 1=3x，解得 x= 故选： B 3已知命题 p： R， ） 题 q： x 0， +）， x，则下面结论正确的是（ ） A p q 是真命题 B p q 是真命题 C p q 是真命题 D q 是真命题 【考点】 复合命题的真假 【分析】 命题 p：是假命题，例如取 =0 时， ） = 题 q： x 0， +），x，是假命题，取 x=0 时， x再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论 【解答】 解：命题 p： R， ） 假命题，例如取 =0 时， ） = 命题 q： x 0， +）， x，是假命题，令 f（ x） =x f（ x） =1 0， 函数 f（ x）在 0， +）单调递增， f（ x） f（ 0） =0， x 0 时， x x=0 时，x 则下面结论正确的是 p q 是真命题 故选： A 第 6 页（共 23 页） 4定义 m n=m 0， n 0），已知数列 足 （ n N*），若对任意正整数n，都有 （ N*），则 的值为（ ） A 3 B C 1 D 【考点】 数列的函数特性 【分析】 由题意可得： = ， = =f（ n），可知： f（ n）关于 过假设可得： ，即可得出 【解答】 解：由题意可得： = ， = = =f（ n），则 f（ n） 关于 n 单调递增， n=1 时， f（ 1） = 1； n=2 时， f（ 2） = 1； n 3 时， f（ n） 1 ， 时，满足：对任意正整数 n，都有 （ N*）， = =1 故选： C 5存在 函数 f（ x）满足对任意的 x R 都有（ ） A f（ |x|） =x+1 B f（ x） =|x+2| C f（ 2） =x D f（ = 【考点】 函数解析式的求解及常用方法 【分析】 根据函数解析式，举特殊值，计算函数值，可判断 A， C， D 均不恒成立，可得 【解答】 解： A 项，当 x=1 时， f（ 1） =2；当 x= 1 时， f（ 1） =0，不合题意； C 项，当 x=1 时， f（ 3） =1；当 x= 1 时， f（ 3） = 1，不合题意； D 项，当 x=0 时， f（ 1） =1；当 x=2 时， f（ 1） = ，不合题意； 故选 B 6如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ） 第 7 页（共 23 页） A 3+ B 2+ C 2+ D 3+ 【考 点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出线面位置关系，由勾股定理和三角形的面积公式求出各个面的面积，并加起来求出几何体的表面积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，直观图如图所示： 且 D 是 中点， 平面 D=D=1， 勾股定理得， B=， 由俯视图得， C= ， 几何体的表面积 S= + =2+ ， 故选： B 7已知 O 为直角坐标原点，点 A（ 2， 3），点 P 为平面区域 （ m 0）内的一动点，若 的最小值为 6，则 m=（ ） A 1 B C D 【考点】 简单线性规划；平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量数量积的公式求出 =2x+3y，结合 的最小值为 6，得到 y= x 2，作出对应的直线方程，求出交点坐标进行求解即可 【解答】 解： =2x+3y， 第 8 页（共 23 页） 设 z=2x+3y，得 y= ， 的最小值为 6， 此时 y= x 2， 作出 y= x 2 则 y= x 2 与 x= 1 相交为 B 时， 此时 B（ 1， ），此时 B 也在 y=m（ x 2）上， 则 3m= ，得 m= ， 故选： C 8执行如图所示的程序框图，则输出的 k 为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 a， k 的值，当 a= 时，满足条件 |a 出循环，输出 k 的值为 4 第 9 页（共 23 页） 【解答】 解：模拟执行程序，可得 a=1， k=1 不满足条件 |a 行循环体， a= ， k=2 不满足条件 |a 行循环体， a= ， k=3 不满足条件 |a 行循环体， a= ， k=4 满足条件 |a 出循环，输出 k 的值为 4 故选： B 9在 ，已知 =8， S ， D 为线段 的一点，且=m +n ，则 最大值为（ ） A 1 B C 2 D 3 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据三角形内角和定理，利用三角恒等 变换求出 C= ，再利用边角关系以及向量的数量积求出 a、 b 和 c 的值；通过建立坐标系，利用平面向量的坐标表示，结合基本不等式，即可求出 最大值 【解答】 解： ， A+C）， ， A， C （ 0， ）， C= ； =8， ca， ，解得 a=2 ； 又 S ， ，且 a=2 ， b= ； c= = ； 建立坐 标系如图所示： 第 10 页（共 23 页） 点 B（ 2 ， 0）， A（ ， 0）， 直线 方程是 + =1， =m +n =m（ 0， 1） +n（ 1， 0） =（ n， m），点 D（ n， m）为线段 的一点， + =1， 化简得 4m+3n=6 ； 4m+3n 2 ，当且仅当 4m=3n=3 时 “=”成立； 12= =18， 即 故选： B 10已知双曲线 =1（ a 0， b 0）， A（ 0， b）， B（ 0， b）， P 为双曲线上的一点，且 |则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ， +） B（ 1， C ， +） D ， +） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 P（ m， n），即有 =1，运用两点的距离公式，可得 2b= ，转化为 n 的函数，由配方可得最 小值，由离心率公式，解不等式可得 e 的范围 【解答】 解：设 P（ m， n），即有 =1， 由 |可得 2b= ， 即有 4b2=1+ ） +（ n b） 2， 即为 32（ n ） 2 ， 第 11 页（共 23 页） 即有 3 ， 即为（ 34 2 0， 化简可得 460， 由 e= 可得 46 0，（ e 1）， 解得 ，即为 e 故选： D 11定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） +f（ x） e， f（ 0） =e+2（其中 e 为自然对数的底数），则不等式 x） +2 的解集为（ ） A（ ， 0） B（ ， e+2） C（ ， 0） （ e+2， +） D（ 0， +） 【考点】 导数的运算 【分析】 构造函数 g（ x） =x） 2（ x R），研究 g（ x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 【解答】 解：设 g（ x） =x） 2（ x R）， 则 g（ x） =x） + x） =exf（ x） +f（ x） e， f（ x） +f（ x） e， f（ x） +f（ x） e 0， g（ x） 0， y=g（ x）在定义域上单调递减， f（ 0） =e+2， g（ 0） =0） e 2=e+2 e 2 0， g（ x） g（ 0）， x 0， 不等式的解集为（ ， 0） 故选： A 12公差不为 0 的等差数列 部分项 a ， a ， 构成等比数列 a ，且， ， 2，则下列项中是数列 a 中的项是（ ） A 考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由题意 等比数列，求出等比数列的公比 q，从而写出等比数列 a 通项公式，再验证选项是否正确即可 【解答】 解：等差数列 ， 成等比数列， （ d） 2=（ a1+d）（ 1d），且 d 0， 解得 d=3 等比数列的公比为 q= = =4； 第 12 页（共 23 页） 又等差数列 通项公式为 an= n 1） 32 3n 2） 等比数列 a 通项公式为 4n 1， 且 5d=136 8d=265 41d=1024a1=5， 86d=1159 数列 a 中的项 故选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若复数 z 满足 i（ i 为虚数单位），则 z 的模为 【考点】 复数求模 【分析】 根据复数模的定义，直接求模即可 【解答】 解： i， |z|2=| i|= = ， z 的模为 |z|= 故答案为： 14已知 A（ 0， 1）， B（ ， 0）， C（ ， 2），则 接圆的圆心到直线 y=x 的距离为 【考点】 点到直线的距离公式 【分析】 由三角形的三个顶点坐标求出外接圆的圆心，再由点到直线的距离公式求得答案 【解答】 解： A（ 0， 1）， B（ ， 0）， C（ ， 2）， 中点坐标为（ ）， 又 ， k= ，则 又 垂直平分线方程为 y=1，代入上式得： 接圆的圆心 C（ ）， 则 C 到直线 y= x 的距离为 d= 第 13 页（共 23 页） 故答案为： 15棱长为 的正方体 切球 O，以 A 为顶点，以平面 球O 所截的圆面为底面的圆锥的侧面积为 【考点】 球内接多面体 【分析】 作出图形，求出截面圆的半径为 ， = ，利用圆锥的侧面积公式求出以 A 为顶点，以平面 球 O 所截的圆面为底面的圆锥的侧面积 【解答】 解：如图所示， 球的切点为 E， F， G，则 ， 截面圆的半径为 ， = ， 以 A 为顶点，以平面 球 O 所截的圆面为底面的圆锥的侧面积为 = 故答案为： 16存在正数 m，使得方程 m 的正根从小到大排成一个等差数列若点 A（ 1，m）在直线 ax+2=0（ a 0， b 0）上，则 + 的最小值为 【考点】 基本不等式在最值问题 中的应用 【分析】 运用两角差的正弦公式，化简可得 y=2x ），可得 0 m 2，讨论 m 的范围，结合三角函数的图象和等差数列的定义，可得 m=2，将 A 代入直线方程，可得 a+2b=2，再由乘 1 法和基本不等式即可得到所求最小值 【解答】 解：由 （ =2x ）， 存在正数 m，使得方程 m 的正根从小到大排成一个等差数列， 即有 0 m 2 若 0 m 2，由 y=2x ）的图象可得：直线 y=m 与函数 y=2x ）的图象的交点的横坐标不成等差数列， 若 m=2，即有 x =2，即为 x=2， k Z， 可得所有正根从小到大排成一个等差数列，公差为 2， 则 m=2， 由点 A（ 1， 2）在直线 ax+2=0 上， 第 14 页（共 23 页） 可得 a+2b=2， a， b 0， 即 b+ a=1， 则 + =（ + ）（ b+ a） =2+ + + +2 = +2= 当且仅当 a=b= 时，取得最小值 故答案为： 三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 CA） B+C） = ， c=2 （ ）求 （ ）求 积的最大值 【考点】 余弦定理 【分析】 （ ）由三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理化简已知等式可得 ，利用同角三角函数基本关系式可求 值 （ ）由已知及余弦定理、基本不等式可得 8=a2+得 6，利用三角形面积公式即可得解 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ ）在 ，由 C A） B+C） = ，得 C A） C A） 即 （ ）由余弦定理 c2=a2+2 8=a2+ 当且仅当 a=b 时取等，即 6， 所以 S 2 所以 积的最大值为 2 18某校在高三抽取了 500 名学生，记录了他们选修 A、 B、 C 三门课的选修情况，如表： 科目 学生人数 A B C 120 是 否 是 第 15 页（共 23 页） 60 否 否 是 70 是 是 否 50 是 是 是 150 否 是 是 50 是 否 否 （ ）试估计该校高三学生在 A、 B、 C 三门选修课中同时选修 2 门课的概率 （ ）若该高三某学生已选修 A，则该学生同时选修 B、 C 中哪门的可能性大？ 【考点】 古典 概型及其概率计算公式 【分析】 （ ）由频率估计概率得到答案， （ ），分别求出学生同时选修 B、 C 的概率，比较即可 【解答】 解：（ I）由频率估计概率得 P= = （ ）若某学生已选修 A，则该学生同时选修 B 的概率估计为 选修 C 的概率估计为 ， 即这位学生已选修 A，估计该学生同时选修 C 的可能性大 19多面体 ，四边形 边形 为正方形，且平面 平面 G， H 分别为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求直线 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ I）设 点 M，以 D 为原点建立空间坐标系，求出 和 的坐标，得出 ，从而得出 而 平面 （ 出 和平面 法向量 的坐标，设所求线面角为 ，则 |，利用同角三角函数的关系得出 【解答】 证明：（ I）以 D 为原点，以 坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设 ， 中点为 M，则 M（ 1， 0， ）， H（ 1， 0， 0）， F（ 2， 2， 2 ）， G（ 2， 2，） =（ 1， 2， ）， =（ 1， 2， ） ， 面 平面 第 16 页（共 23 页） 平面 （ A（ 2， 0， 0）， F（ 2， 2， 2 ）， C（ 0， 2， 0）， E（ 0， 0， 2 ） =（ 2， 0， 2 ）， =（ 0， 2， 2 ）， =（ 2， 2， 0）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 ，令 z=1 得 =（ ， ， 1） =4 ， | |= ， | |=2 = = 设直线 平面 成角为 ，则 ， 即直线 平面 成角的正弦值为 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）的焦距为 2 ，且椭圆 C 过点 A（ 1， ）， （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若 O 是坐标原点，不经过原点的直线 l： y=kx+m 与椭圆交于两不同点 P（ Q（ 且 直线 l 的斜率 k； （ ）在（ ）的条件下，求 积的最大值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ ）由椭圆的焦距为 2 ，且椭圆 C 过点 A（ 1， ），列出方程求出 a， b，由此能求出椭圆 C 的方程 （ ）由 ，得：（ 1+4（ 1） =0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线 l 的斜率 第 17 页（共 23 页） （ ）把直线方程 与椭圆方程 联立，得： 24=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能求出 积的最大值 【解答】 解：（ ） 椭圆 C： =1（ a b 0）的焦距为 2 ，且椭圆 C 过点 A（ 1，）， 由题意得 ，可设椭圆方程为 ， 则 ，得 ， 所以椭圆 C 的方程为 （ ）由 消去 y 得：（ 1+4（ 1） =0， =6416（ 1+4 1） =16（ 4） 0， ， 故 又 ， ， m 0， ，解得 k= ， 直线 l 的斜率为 或 （ ）由（ ）可知直线 l 的方程为 ， 由对称性，不妨把直线方程 与椭圆方程 联立， 消去 y 得： 24=0， =644（ 44） 0， P（ Q（ x1+ 4m， ， 设 d 为点 O 到直线 l 的距离，则 d= = ， 第 18 页（共 23 页） 当且仅当 时，等号成立 积的最大值为 1 21已知函数 f（ x） =m（ x 1） 2，（ m R） （ ）讨论函数 f（ x）极值点的个数； （ ）若对任意的 x 1， +）， f（ x） 0 恒成立，求 m 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题 【分析】 （ ）求出 f（ x）的导数，通过讨论 m 的范围，结合二次函数的性质判断函数 f（ x）的单调区间，从而判断其极值的个数； （ ）通过讨论 m 的范围，结合函数的单调性求出 m 的具体范围即可 【解答】 解：（ I）由已知得函数 f（ x）的定义域为（ 0， +）， ， 令 g（ x） =22，（ x 0）， 当 m=0 时， g（ x） =1，此时 f（ x） 0， 函数 f（ x）在（ 0， +）上单调递增，无极值点； 当 m 0 时， =48m=4m（ m 2）， 当 0 m 2 时， 0， g（ x） 0， 此时 f（ x） 0，函数 f（ x）在（ 0， +）上单调递增，无极值点； 当 m 2 时， 0， 令方程 22=0 的两个实数根为 且 ， 可得 ，因此 当 x （ 0， ， g（ x） 0， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递增； 当 x （ ， g（ x） 0， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递减； 当 x （ +）时， g（ x） 0， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递增 所以函数 f（ x）在（ 0， +）上有两个极值点， 当 m 0 时， 0， x1+， x1 0，可得 0， 1， 因此，当 x （ 0， ， g（ x） 0， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递增； 当 x （ +）时， g（ x） 0， f（ x） 0，函数 f（ x）单调递减 所以函数 f（ x）在（ 0， +）上有一个极值点 综上所述，当 m 0 时，函数 f（ x）在（ 0， +）上有一个极值点； 当 0 m 2 时，函数 f（ x）在（ 0， +）上无极值点； 当 m 2 时，函数 f（ x）在（ 0， +）上有两个极值点 第 19 页（共 23 页） （ ）当 m 0 时， 当 x 1 时， 0， m（ x 1） 2 0，即 f（ x） 0，符合题意； 当 m 0 时，由（ I）知， 1，函数 f（ x）在（ 1， 单调递增，在（ +）上 单调递减； 令 h（ x） =x 1 ， 所以函数 h（ x）在 1， +）上单调递增，又 h（ 1） =0， 得 h（ x） 0，即 x 1，所以 f（ x） x 1+m（ x 1） 2， 当 时， x 1+m（ x 1） 2 0，即 f（ x） 0，不符合题意； 综上所述， m 的取值范围为 0， +） 选修 4何证明选讲 22如图， 半径为 1 的 O 的切线， A 为切点，圆心 O 在割线 ，割线 ，