深圳高三级第二次调研考试文科数学及评分标准

2008年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数一、选择题：本大题每小题5分，满分50分12345678910CCBADACBAB二、填空题：本大题每小题5分(第13题前空2分，后空3分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分11 12 . 13（）； （） 14 15 三、解答题：本大题满分80分16（本小题满分12分）在中，.（）求； （）设，求的值.解：（）由，得 1分 ， 3分 5分即. 6分 （）根据正弦定理得， 8分由，得， 10分. 12分17（本小题满分12分）现有编号分别为，的五个不同的物理题和编号分别为，的四个不同的化学题.甲同学从这九题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概率相等.用符号表示事件“抽到的两题的编号分别为、，且”.（）共有多少个基本事件？并列举出来.（）求甲同学所抽取的两题的编号之和小于但不小于的概率.解:（）共有个等可能性的基本事件，列举如下：，,，,，,，,，,，,，,， 6分（）记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和小于但不小于”为事件.即事件为“，且，其中”，由（1）可知事件共含有个基本事件，列举如下：，,，,，,，,，, 10分. 12分答：（）共有个基本事件；（）同学所抽取的两题的编号之和不小于且小于的概率为. 12分18（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点（）证明：平面；（）侧棱上是否存在点，使得平面？证明你的结论证明：（） 是菱形， ，为正三角形， 2分又为的中点，则有， 4分 又，底面， 由，平面 7分（）为侧棱的中点时，平面 8分证法一：设为的中点，连，则是的中位线，且，又且， 且，四边形为平行四边形， 11分，平面，平面，平面 14分证法二：设为的中点，连，则是的中位线，平面，平面，平面 10分同理，由，得平面又，平面平面， 12分又平面，平面 14分19（本题满分14分）已知函数图像上一点处的切线方程为，其中为常数.（）函数是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用表示）；（）若不是函数的极值点，求证：函数的图像关于点对称.解：（）， 1分由题意，知，即 2分 3分 当时，函数在区间上单调增加，不存在单调减区间； 5分 当时，有+-+当时，函数存在单调减区间，为 7分 当时， ，有+-+当时，函数存在单调减区间，为 9分（）由（）知：若不是函数的极值点，则， 10分设点是函数的图像上任意一点，则，点关于点的对称点为，（或 ）点在函数的图像上.由点的任意性知函数的图像关于点对称. 14分20（本小题满分14分） 如图，已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，点满足：在线段的中垂线上（）求椭圆的方程; （）若斜率为的直线与轴、椭圆顺次相交于点、，且，求的取值范围 （）解法一：椭圆的离心率，得，其中1分椭圆的左、右焦点分别为、 ， 2分又点在线段的中垂线上， 3分解得， 5分椭圆的方程为 6分解法二：椭圆的离心率，得，其中1分椭圆的左、右焦点分别为、 ， 2分设线段的中点为，又线段的中垂线过点， 3分即， 5分椭圆方程为 6分（）由题意，直线的方程为，且， 7分联立，得，由，得,且 8分设，则有， （），且由题意 ， ， 又 10分，即， 11分，整理得，将（）代入得， 12分知上式恒成立，故直线的斜率的取值范围是 14分21.（本题满分14分）已知首项为的数列满足：对任意正整数都有：其中是常数.（）求实数的值； （）求数列的通项公式；（）设数列的前项和为，求证：其中解：（）由，及得 2分（）解法一：当时，有 5分设函数则当时，函数在区间上是增函数，故 7分又从而对有 8分解法二：