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5.6 平面向量的数量积及运算律,南海中学数学组周福隽,引入,问题如图，一辆车在力F的作用下产生位移S，那么力所做的功可用下式计算：,其中是F与S的夹角。,向量的数量积或内积,二向量的夹角,一平面向量数量积的定义,三平面向量数量积的几何定义,四平面向量数量积重要性质,阅读提示：,解：,=5 x 4 x cos =5 x 4 x (-1/2)=-10,一平面向量数量积的定义,解：,一平面向量数量积的定义,=52=25,=a . a,a2,一平面向量数量积的定义,并且规定，零向量与任一向量的数量积为0，即0 . a = 0,注意：,2 符号中的“.”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替,1 结果是一个,实数,二向量的夹角(),二向量的夹角(),注意：,1.在两向量的夹角的定义中，两向量必须是同起点,2.且, ,二向量的夹角(),注意：,1.在两向量的夹角的定义中，两向量必须是同起点,3.当时，a与b同向,4.当时，a与b反向,2.且, ,6.当,/2)时, a . b，,当(/,时, a . b，,当=/2, a . b=0,=58 x (-1/2)= - 20,解：,o,o,o,B,B,B,B1,(B1),B1,A,A,A,(3),(2),(1),三平面向量数量积的几何定义,a,a,a,b,b,b,OB1= b cos,则，把 b cos叫做向量b在a方向上的投影,数量积a . b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos的乘积,因此，得到a . b的,几何意义：,a . b= a b cos=- a b,设a,b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与b的夹角，则,(1) e . a=,a . b=,= a b cos,a . e,= a e cos,= a cos,(3),当a与b同向时,当a与b反向时,a . b= a b cos ,= a b,a . b,(4),cos =,四平面向量数量积重要性质,(5),a b,16,例判断正误，并说明理由,(1) a.0=0,(2) 0.a=0,(5) 若a0,则对任一非零向量b有a . b,(6) 若a . b=0,则a与b中至少有一个为,(7) a与b是两个单位向量，则a2=b2,(9) 若a0,a . b=a . c,则 b=c,(10) 若a . b=a .
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