圆锥曲线的定义

圆锥曲线的定义教学目标：l 深刻理解掌握，能正确熟练地运用定义解决有关的问题。l 发展学生主动探索精神，培养学生观察、分析、类比、归纳、综合等思维能力。l 充分调动学生学习的主动性，给学生以充分的思考空间，在师生的互动中初步构建知识网络。l 在平等的交流和共同的探索中，融恰师生的感情，在潜移默化中陶冶学生情操，提高学生的学习兴趣和自信心，会用辩证的、运动的、联系的观点思考问题。教学重点和难点：l 重点：圆锥曲线的定义熟练掌握和运用。l 难点：数学思维能力的提高及知识网络的初步构建。教具：多媒体教学过程：一、 情景引入学多媒体演示： 动点P在椭圆上运动，两条焦半径随之在运动，同时显示两条焦半径的长度及它们的和。 动点P在椭圆上运动，P到左焦点的距离和到左准线的距离也随之在变化，同时显示这两个距离的值及它们的比值。请同学们看了动画演示后思考下列问题： 椭圆的第一定义； 椭圆的第二定义。二、 知识的初步理解问题：椭圆的左右焦点分别为F1、F2 ，P为椭圆上一点，且F1PF2=90，求F1PF2的面积。教师引导，学生共同讨论： 题中给出了几个条件？ 每个条件能给我们什么启示？由椭圆的方程知：椭圆的焦点坐标、顶点坐标、离心率和准线方程，椭圆上每一点到两个焦点距离的和等于一个常数10，椭圆上每一点到焦点的距离与它到对应的准线的距离的比值等于离心率；由F1PF2=90知：PF1、PF2的斜率的积为-1，F1PF2的三边满足勾股定理。 求三角形的面积，我们学过哪些方法？S=，S= 如何求出题中的面积？学生可能出现的思路：用第一个面积公式，关键是求出P点的纵坐标，要解一个二元二次方程组，较繁；用第二个面积公式，关键是求出m、n的积，但如果要求出m、n的值，也需寻找一个关于m、n的方程组，并解这个方程组，也较繁。教师引导学生采用“设而不求”的策略，问题迎刃而解。解：由已知：a=5,b=3,c=4， 设，则 ：2mn=36,故PF1F2的面积S=。小结1： 与到焦点的距离或到准线的距离有关的问题一般首先要考虑能否用定义解决，恰到好处地使用定义法解题，往往能起到优化解题思路，简化运算过程的奇效。 学习的过程是一个不断拓展知识、掌握技艺、培养思维、提高能力的过程。在这一过程中，既要有点的深度，又要有面的广度；既要有思维的集中，又要有思维的发散。三、变式引申将题目中的条件F1PF2=90改为F1PF2=60，如何求解？变式1：椭圆的左右焦点分别为F1、F2 ，P为椭圆上一点，F1PF2=60，求PF1F2的面积。解：由已知：a=5,b=3,c=4， 设，则 ：3mn=36故PF1F2的面积S=。 将题目中求PF1F2的面积改为求P点坐标，又该如何求解？变式2：椭圆的左右焦点分别为F1、F2 ，P为椭圆上一点，F1PF2=90，PF1F2的面积为9，求P点坐标。分析：由已知：a=5,b=3,c=4，设P点坐标为（x0，y0），则PF1F2的面积为S=9，。这个思路有二个关键：一是椭圆定义的运用，二是余弦定理的运用，在我们解决三角形中的问题时余弦定理是非常重要的一个定理，希望同学们能熟练地运用它。小结2：同学们不仅要知道解题的思路，还应该知道为什么有这样的思路，所谓“求鱼不如求渔”。解题的目的不只是知道本题如何解，更重要的是建立知识网络，学会举一反三。变式3：设椭圆上存在一点P，它与两焦点连线互相垂直，求m的取值范围。分析：c2=(m+25)-m=25，c=5，设PF1F2=，2a=10（sin+ cos）=1010，a5，从而a250， 0 m25 。变式4：椭圆的左右焦点分别为F1、F2 ，在椭圆上求一点P,使F1PF2最大。解：由已知：a=5,b=3,c=4，设， F1PF2=，则m+n=10， ， 又mn， 当且仅当m=n即P为椭圆的短轴端点时cos有最小值，从而有最大值，即P为时，有最大值。四、 自主探究变式5：已知A（1，1），椭圆的左右焦点分别为F1、F2 ，P为椭圆上一点，求PA-PF1的最大值。教师点拔：平面上到二个定点距离的和(或差)为最大(最小)时,经常用到三角形的性质:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。分析：由已知： A（1，1），F1（-4，0），当且仅当P在AF1的延长线上时取“=”号。变式6：已知A（1，1），椭圆的左右焦点分别为F1、F2 ，在椭圆上求一点P，使PA-PF1最小。分析：由已知：a=5,b=3,c=4，A（1，1），F1（-4，0），即：，当且仅当P在F1A的延长线上时取“=”号。 小结3：要学会“转化的思想”，只有将我们要解决的的问题转化为我们学习过的知识和方法，才能将问题解决，只有会举一反三了，知识才是真正掌握了。变式7：已知A（1，1），椭圆的左右焦点分别为F1、F2 ，P是椭圆上动点，求PA+PF1的最小值。解：由已知：a=5，b=3，c=4，A（1，1），F1（-4，0），F2（4，0），（当且仅当P在F2 A的延长线上时取“=”号）。的最小值为。变式8：已知A（1，1），椭圆的左右焦点分别为F1、F2 ，P为椭圆上动点，求PA+PF1的最小值。（许多同学紧皱眉头，认真思考）教师点拔：师：本题许多同学觉得很难，请问：假如题目怎样修改后，你就会做了呢？生：难在题中的“”，要是没有这个“”，我就会做了。（许多同学偷偷地发笑）师：大家不要笑，其实这位同学说得很好，他抓住了这个题的题眼。那么这个“”与题中给我们的椭圆有什么关系呢？（许多同学恍然大悟）解： a=5，b=3，c=4，A（1，1），F1（-4，0），F2（4，0），e=，左准线为，设P到左准线的距离为d，则，过A作准线的垂线交椭圆于P，所求的最小值为。小结4：新课程标准注重提高学生的数学思维能力。我们学习必须做到能够触类旁通，把新知识完全融入旧的知识体系，提高思维敏捷性和深刻性和创造性，从而提高能力。 五、课堂总结与作业： 新的普通高中数学课程标准提出新课程的基本理念：倡导积极主动、勇于探索的学习方式。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。数学教学中的变式，是指改变例题习题中的条件或结论，对其进行推广和引申，让学生进行多角度思考，对其不同层次不同情形不同背景下重新认识。它能营造一种宽松愉快的教学氛围，能开拓学生的视野，激发学生兴趣，有助于培养学生的探索精神和创新意识。与到焦点的距离或到准线的距离有关的问题一般首先要考虑能否用定义解决，恰到好处地使用定义法解题，往往能起到优化解题思路，简化运算过程的奇效；在解完数学题时要学会反思，要善于总结解题规律, 要牢固掌握基本知识和基本方法;学会数形结合、运动变化、归纳猜想等重要数学思想方法，养成良好的数学思维品质和解题习惯。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。作业： 1双曲线16x2-9y2=144的两焦点为F1、F2 ,点P在双曲线上，且=32，求F1PF2的大小。 2已知椭圆，能否在椭圆上找一个点M，使得它到左准线的距离为它到两个焦点的距离的等比中项？并说明理由。备课组评议：本堂课能倡导“积