重庆铜梁中学高级数学复习资料四 人教

重庆市铜梁中学高2007级数学复习资料四第四章 三角函数图像和性质 函数的图像 已知三角函数值求角一、三角函数的图像（一）大纲考纲要求和本节重难点1、了解利用正弦线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像；2、理解周期函数与最小正周期的意义，并通过正弦曲线、余弦曲线及正切曲线了解正弦函数、余弦函数及正切函数的性质；3、会用 “五点法”画正弦函数、余弦函数及正切函数的简图，会用“五点法”画出与正弦函数、余弦函数及正切函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；4、本节重点：正、余弦函数及正切函数的图像形状及其主要性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）（二）知识点1、利用平移三角函数线的方法作正弦函数的图像（教材P48）；2、在作出了正弦函数的图像后，根据可知，将正弦函数 向 就可以得到的函数图像；3、五点作图法：上有五个关键的点： ，也是正弦函数的最值点和零点；作图时只要作出这五个点，就可以近似的作出正弦函数的图像；上有五个关键的点： ；例1：用五点作图法作出下列函数的图像。、；、；、；4、函数变换。、平移变换：、对称变换： ：的对称轴是直线；、翻折变换：例2：说出下列函数怎样由函数变化而得。、；、；、；、；、；、5、根据函数图像或三角函数线解决相关问题。、根据不等式求角的范围。画出正、余弦函数的图像或者三角函数线来解。例3：、求满足的的集合。分析：用五点作图法作出图像再解或用三角函数线解。、求解不等式。、根据角的范围求等式的范围。例4：根据正、余弦函数的图像或三角函数线求解下列问题。、已知，求的取值范围。、已知，求的取值范围。二、三角函数的性质函数正弦函数余弦函数正切函数图像定义域值域值域：当 时， ；当 时， ；值域：当 时 ；当 时 ；值域：周期奇偶周期T 奇偶性：周期T 奇偶性：周期T 奇偶性：单调性增：减：增：减：增区间：对称中心对称轴6、正、余弦函数的定义域。正、余弦函数的定义域都是实数集。求函数定义域时根据下列5个条件：、被开放数大于或等于0；、分母不能为0；、对数的真数大于0；、零次幂的底数不等于0；由以上几部分构成的应使每一部分都有意义。例5：求下列函数的定义域。、；、；、；7、正、余弦函数的值域。正、余弦函数的值域都是 ，即和，这也是三角函数的有界性。在求含有三角函数的函数的值域时，常要用到三角函数的有界性。求函数的值域主要有以下几种方法：、不等式法；、二次函数法（闭区间上的最值）；、分离变量法；、三角函数有界性；例6：求下列函数的值域。、；、；、；、；、；、；、；8、正、余弦函数的周期性。（1）、周期和最小正周期的概念：教材P51；：、是非零常数；、要对定义域内任意的都成立；、若是函数的周期，则一定也是；、并不是所有的周期函数都存在最小的正周期。如：常数函数，每一个实数都是它的周期，但没有最小正周期；一个函数的最小正周期是唯一的；、从等式来看，应强调是自变量本身加的常数才是周期（和沿轴平移类似）。若中，的周期应该是，而不是；（2）、函数的周期是，的周期是；函数的周期是，的周期是。对任意给定的一个函数我们都应该将其化简为的形式再求周期。（3）、函数的周期是 ，的周期是 ；而函数不是周期函数；求这类函数的周期应画图观察；例7：求下列函数的周期。、；、；、；、；、；（注意步骤）9、正、余弦函数的奇偶性。（1）概念：教材P51；（2）一些性质：、奇偶函数的定义域一定关于坐标原点对称，因此判断函数的奇偶性时应首先判断定义域；、奇函数图像关于坐标原点对称，偶函数图像关于轴对称；、奇函数如果在原点有意义，则一定经过原点；例8：判断下列函数的奇偶性。、；、；、；、；、；10、正、余弦函数的单调性。（1）、在区间 上时单调增加，在区间 上单调递减； 在区间 上时单调增加，在区间 上单调递减；（2）、复合函数的单调性： ；的单调区间在下一节还要讲；例9：求下列函数的单调区间。、；、；三、函数的图像1、作图：五点作图法把当作整体取五个值： ，并由此解出的取值再作图；例10：用五点作图法作出下列函数图像。、；、；2、周期：T 3、单调区间：时，增区间：解不等式 减区间：解不等式 时，增区间：解不等式 减区间：解不等式 4、最大值：时，当 时，取最大值。 当 时，取最小值。 最小值：时，当 时，取最小值。 当 时，取最小值。5、对称轴：解等式6、对称中心：解等式7、奇偶性：当 时，是奇函数；当 时，是偶函数；8、 概念：当时，振幅 ；周期T ；频率f ；初相 ；相位 。9、根据图像求函数的解析式：例11：如图是函数的图像，求解析式；10、三角变换： () 将的图像；或者：将的图像；原则：在对函数进行周期、相位或平移变换时，只对 进行变换；在对函数进行振幅变换时要对整个 进行变换。例12：说说下列函数怎样由函数变化所得。、；、；11、联系：1、对于，其性质同样可以由图像类似的给出。 2、的周期是T ，单调 区间是解不等式 得到 。例13：已知，求解下列各题：、若已知，试求的值；、用两种以上的方法化简这个函数解析式；、用两种以上的方法求这个函数的值域；、求这个函数的单调区间；、求这个函数的对称轴和对称中心；、求当时的振幅；、求周期和频率；四、反三角函数的定义：1.定义：在闭区间 上，符合条件的角叫的反正弦，记作： ； 在闭区间 上，符合条件的角叫的反余弦，记作： ；在开区间 上，符合条件的角叫的反正切，记作： ；2、求解反三角问题的一般步骤：、 、 例如：已知。、若，求；、若，求；、若，求；、若，求；3.反三角的三角函数、三角函数的反三角（恒等式）： ，其中