上海普通高等学校春季招生考试数学

2008年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚2本试卷共有22道试题，满分150分考试时间120分钟一填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1已知集合或，则 【答案】【详解】略2计算： 【答案】【详解】 3函数的定义域是 【答案】【详解】定义域满足4方程在区间内的解是 【答案】【详解】5已知数列是公差不为零的等差数列，若成等比数列，则 【答案】【详解】设公差为，则，则6化简： 【答案】【详解】（方法一）：利用两角和公式直接求解；（方法二）：7已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为设分别为双曲线的左、右焦点若，则 【答案】5【详解】由双曲线的一条渐近线方程为可得：，又双曲线的定义知8已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积 【答案】【详解】凸多面体为：下半部分为正方体，上半部分为正四棱锥9已知无穷数列前项和，则数列的各项和为 【答案】【详解】由可得：，两式相减得并化简：，又所以10古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件出现的概率是 （结果用数值表示）【答案】【详解】如下图，当左边的位置排定后（例如：金），第二位（除去金本身）只有“土、水”两种属性。第二位排定后，其他三种属性也确定。故有，金土火木水所以事件出现的概率是。例如：（也可用列举法）。11已知；（是正整数），令，某人用右图分析得到恒等式：，则 【答案】【详解】由图中的面积可得所以 12已知，直线：和设是上与两点距离平方和最小的点，则的面积是 【答案】【详解】（图略）设由题设点到两点的距离和为显然当即时，点到两点的距离和最小同理，所以二选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分13已知向量，若，则等于A B C D【答案】C14已知椭圆，长轴在轴上若焦距为，则等于A4B5C7D8【答案】D【详解】将椭圆的方程转化为标准形式为，显然，即，解得15已知函数定义在上，则“均为奇函数”是“为偶函数”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A16已知，且为虚数单位，则的最小值是A2 B3C4D5【答案】B【详解】数形结合法设，满足的点均在以为圆心，以为半径的圆上所以的最小值是连线的长为3三解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤17（本题满分12分）已知，求的值【详解】原式 5分又 ， 9分 12分18（本题满分12分） 在平面直角坐标系中，分别为直线与轴的交点，为的中点若抛物线过点，求焦点到直线的距离【详解】由已知可得 ， 3分解得抛物线方程为 6分于是焦点 9分点到直线的距离为 12分19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数（1）求证：函数在内单调递增；（2）记为函数的反函数若关于的方程在上有解，求的取值范围【详解】（1）任取，则，即函数在内单调递增 6分（2）， 9分解法一 11分当时，的取值范围是 14分解法二 解方程，得 11分，解得 的取值范围是 14分20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：凳子高度为，三根细钢管相交处的节点与凳面三角形重心的连线垂直于凳面和地面（1）若凳面是边长为的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为，确定节点分细钢管上下两段的比值（精确到）；（2）若凳面是顶角为的等腰三角形，腰长为，节点分细钢管上下两段之比为确定三根细钢管的长度（精确到）【详解】（1）设的重心为，连结由题意可得，设细钢管上下两段之比为已知凳子高度为则 3分节点与凳面三角形重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行就是与平面所成的角，亦即,解得 6分即节点分细钢管上下两段的比值约为（2）设，设的重心为，则， 10分由节点分细钢管上下两段之比为，可知设过点的细钢管分别为，则，对应于三点的三根细钢管长度分别为，和 14分21（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分在直角坐标平面上的一列点，简记为若由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列（1） 判断，是否为点列，并说明理由；（2）若为点列，且点在点的右上方任取其中连续三点，判断的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若为点列，正整数满足，求证：【详解】（1），显然有，是点列3分（2）在中， 5分点在点的右上方，为点列，则为钝角，为钝角三角形 8分（3）， 同理 12分由于为点列，于是， 由、可推得， 15分，即 16分22（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知是实系数方程的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为（1）若在直线上，求证：在圆：上；（2）给定圆：（，），则存在唯一的线段满足：若在圆上，则在线段上； 若是线段上一点（非端点），则在圆上写出线段的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段与圆之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中是（1）中圆的对应线段）表一线段与线段的关系的取值或表达式所在直线平行于所在直线所在直线平分线段线段与线段长度相等【详解】（1）由题意可得，解方程，得 2分点或，将点代入圆的方程，等号成立，在圆：上 4分（2）解法一 当，即时，解得，点或，由题意可得，整理后得 ， 6分，线段为： ，若是线段上一点（