变质量质点的动能定理与软绳问题

第 18 卷第 3 期大 学 物 理Vol. 18 No. 3 1999年 3月COLLEGE PHYSICSMar.1999 收稿日期: 1997-12-10; 修回日期: 1998-09-15 变质量质点的动能定理与软绳问题 石东平 ( 重庆师范高等专科学校物理系, 重庆永川 402168) 摘要 给出变质量质点的动能定理和一对反推内力作功的表达式, 并由此给出软绳问题的正确解释. 关键词 变质量质点; 动能定理; 反推内力作功; 软绳问题 分类号 O 313. 6 1 问题的提出 例 1 如图 1, 长为 L 、质量为 M 的匀质软绳盘在 水平面内, 现用一水平力 F 作用于绳端, 保持以恒定速 度v 拉动软绳, 未拉动部分仍静止盘在水平面内, 忽略 摩擦, 求拉力 F 的大小. 图 1 应用动量定理可解得 F =M L v2, 然而, 如果改用动 能定理却得到 FL = 1 2 Mv2, 解得 F = M 2Lv 2. 两者不相 符的原因是什么呢? 笔者将此类问题称为软绳问题. 2 变质量质点的动能定理 经典力学范畴内变质量质点的动力学方程为 1 4 m d v dt =F1+F2+(u-v ) dm dt ( 1) 式中 u 代表微元质量 dm 与变质量质点 m 合并以前 或自变质量质点 m 分出后的速度, F1、F2分别为作用 于 m 和 dm 上的外力, F2+(u-v ) dm dt 为 dm 在并入 或分离时对变质量质点 m 的作用力, 称为反推力或反 冲力, 其余各项由图 2 可看出, 令 =F2+ (u-v ) dm dt ( 2) 则变质量质点的动力学方程写成 m d v dt =F1+( 3) 这相当于直接应用牛顿第二定律对变质量质点列写动 力学方程. ( a) ( b) 图 2 将式( 3) 两端与变质量质点的元位移 dr =vdt 作 标积得 m d v dt v dt=( F1+ ) dr 化简得 1 2 md(v2)=F1dr+ dr( 4) 式( 4) 即为变质量质点的动能定理. 因为 1 2 md(v2)= 1 2 m(v +dv ) 2 - 1 2 mv2为变质量质点动能的元增 量, 所以变质量质点动能定理的物理意义为: 变质量质 点动能的元增量等于作用于变质量质点上外力的总 功. 显然, 此处的外力由两部分组成, 一是指除 dm 以 外的其它物体对变质量质点的作用, 另一部分则是 dm 对变质量质点的反推力. 笔者认为, 对变质量质点动能 定理的物理意义作如上的表述在逻辑上比文献 5 6 要清晰得多 , 它充分体现了“ 功是能量变化的量度”的 物理思想, 避免了使人产生概念堆砌的感觉. 3 一对反推内力的总功 当把变质量质点( 主体)m 和即将并入或分离的微 元物质 dm 作为二质点系进行研究时, 反推力 及其 反作用力 就成为质点系的一对内力, 这一对内力的 总功可用如下方法求得: 将质点动能定理用于 dm 得 1 2 dm( v +d v ) 2-1 2 dmu 2=( F2 + ) dr 略去高阶微量并化简可求得 的元功是 dr = 1 2 dm(v2-u2) -F2dr 的元功可直接用定义式 dr = F2+(u-v ) dm dt M2 dr= F2dr+dm( u -v ) v 所以 dA内= dr+ dr =F2 ( dr-dr )- 1 2 (u-v ) 2dm ( 5) 对上式积分可求得一对反推内力的总功. 该质点系动 能的增量等于外力( F1、F2)作功与一对内力(、 ) 作功的代数和, 显然, 仅由外力的功不能量度质点系动 量的增量. 一种重要的特殊情况是 F2=0, 此时反推内力为 =( u -v ) dm dt ( 6) 反推内力的总功为 dA内=- 1 2 (u-v ) 2dm ( 7) 很明显, 当质量并入时, dm 0, 则 dA内dA外. 4 两个实例 4. 1 水平拉绳问题 参见例 1, 将已经拉动的长度为 x 的部分作为变 质量质点进行研究, 利用式( 4) 列写的方程为 0=Fdx + 0 + ( 0-v) dm dt dx 其中 dm dt = d dt M L x 定理 =M L dx dt =M L v 很容易求得F =M L v2 与用动量定理解得的结果一致. 在绳被拉动 x 的过程 中, 外力做功为 A外=Fx =M L xv2, 软绳动能增量 Ek = 1 2 M L xv2, 由式( 7)积分可求得反推内力的总功为 A内= x 0 - 1 2 ( 0-v) 2M L dx =- 1 2 M L xv2, 计算表明, 外力 F 的施予者通过对软绳作功的途径所付的能量只 有一半转化为软绳的动能, 另外一半转化为动能以外 的其它形式的能量, 如果忽略反推内力作功, 当然得不 到正确的结果, 这就是软绳问题的错误所在. 4. 2 竖直提绳问题 例 2 线密度为 的匀质软绳盘在水平面内, 用 力将绳的一端以恒定速度 v 竖直向上提起( 如图 3) , 求提升高度为 x 时的提升力F(x) 为多少? 图 3 对已经提升的 x 段运用变质量质点的动能定理得 0=F(x) dx -G(x) dx + 0+( 0-v) dm dt TOdx 式中G(x)= xg, dm = dx , dx =vdt 代入可得F(x)= v2+ gx 在绳被提升 x 的过程中, 外力( 提升力和重力)做功 A外= xv2, 而软绳动能的增量为 Ek= xv2/ 2, 仅占 A外的一半, 若不计反推内力作功所引起的能量变化, 当然会导致错误的结果. 由此可见, 正确解释软绳问题的关键是必须考虑 软绳由静止并入运动部分时反推内力作负功所引起的 能量转化. 广义地说, 软绳不断由静止加入到运动部分 类似于碰撞的物理过程, 其动能的变化必须用外力的 功与碰撞内力的功的代数和去量度 . ( 下转 27 页) 23第 3 期 石东平: 变质量质点的动能定理与软绳问题 A METHOD TO CORRECT - VALUE OF TRANSIENT PROCESS IN RLC SERIES CIRCUIT Cai Xuhong Li Shaohui ( Department of Physics, Shantou University, Shantou, Guangdong , 515063, China) Abstract A test method of transient process in RLC series circuit is proposed and the problem of deviation between the measured -value and the calculatated one is resolved . Key words transient state process; relaxation time ; resonance ( 上接 23 页) 5 参考文献 1 郑永令, 贾起民. 力学 ( 上 ) . 上海: 复旦大学出版社, 1989. 165 2 孔汝煌. 用动能定理推导变质量系统的功能原理和动力学 方程式. 大学物理, 1988, 7( 3) : 12 3 周启煌. 关于变质量物体运动方程各项意义的正确解释. 大学物理, 1989, 8( 11) : 18 4 石照坤. 变质量问题的教学之浅见. 大学物理, 1991, 10 ( 10) : 18 5 程勉. 变质量力学基础. 北京: 人民教育出版社, 1982. 54 6 刘国跃. 用动量定理求解变质量问题. 物理通报, 1995, ( 4) : 6 A THEOREM ON KINETIC ENERGY FOR VARIABLE MASS- POINT AND SOFT- ROPE QUERY Shi Dongping ( Department of Physics, Chongqing Teacher s College, Yongchuan, Chongqing , 402168, China) Abstract A theorem on kinetic energy for variable mass- point and formula of work of recoil in- ternal forces are given and the reason of soft -rope query is discussed. Key words variable mass-point ; theorem of kinetic energy ; work of recoil internal forces; soft - rope query ( 上接 24 页) 参考文献 1 赵凯华, 陈熙谋. 电磁学. 第 2 版. 北京: 高等教育出版社, 1985 2 福里斯. 普通物理学 第二卷. 梁宝洪译: 北京: 人民 教育出版社, 1958 DISCUSSON EDDY- CURRENT IN SILICON STEEL PLATE Du Kaichu ( Department of Physics, Longyan Teacher s College, Longyan, Fujian, 364000, China) Abstract It is analysed quantitatively that the density of eddy -current loss are pro