变限积分的求导方法_姜翠美

第 卷第期 年 月 高 等 数 学 研 究 ， ， 变限积分的求导方法 姜翠美，姜 英，王海霞 （ 青岛理工大学（ 临沂）基础部，山东 临沂 ） 收稿日期： ； 修改日期： 作者简介： 姜翠美（ ） ， 女， 山东泰安人， 硕士， 讲师， 从事格上拓 扑研究 ： 姜英（ ） ， 女， 山东临沂人， 硕士， 讲师， 从事分形几何 研究 ： 王海霞（ ） ， 女， 山东临沂人， 硕士， 讲师， 从事图论研 究 ： 摘要 结合实例归纳总结不同类型变限积分的求导方法 关键词 变限积分； 导数； 换元法 中图分类号 文献标识码 文章编号 （ ） 变限积分是一类具有特殊形式的函数， 是一元 函数微积分的一个基本概念， 是联系微分学和积分 学的桥梁， 是定积分基本公式的理论基础而变限积 分的求导是研究变限积分函数的关键， 也是一个经 常考察的知识点 本文将结合实例归纳总结不同类 型变限积分的求导方法 在（）连续， （ ）和（）可导的情形下， 可 得到变限积分的求导公式 （） （） （） （ ） （） （ ） （） 类型 基本形式， 即被积函数仅是积分变量 的函数的变限积分的导数 例（ 年全国硕士研究生入学考试试题： 数 学一） 设 （） （ ）， 则 （ ）的零点个数为 解 本题的关键在于求 （ ） ， 而（） 是基本 形式的变限积分可直接利用求导公式求导 因为 （ ） （ ） ， 再令 （ ）， 可得 （ ）的零点个数为 例（ 年全国硕士研究生入学考试试题： 数 学一） 设函数 （，） ， 则 ， 解 ， （ ，） （ ） （ ） （ ） （ ） 类型 被积函数为积分限变量与积分变量可 分离的变限积分的导数 例 （ 年全国硕士研究生入学考试试题： 数 学一） 求函数 （） （ ） 的单调区间与极值 解 本题先求 （ ） ， 再讨论单调性与极值， 这 里只求 （ ）先恒等变形再求导， 即 （ ） 注 一般地， 若函数（）在，上连续， 函 数（）可导， 则有 （）（） （ ） （）（）（） 当变限积分的被积函数中积分限变量与积分变 量可分离时， 先恒等变形再求导 类型 被积函数为积分限变量与积分变量构 成的复合函数的变限积分的导数 当变限积分的被积函数为积分限变量与积分 变量构成的复合函数时， 情形比较复杂， 但若函数 形如（） ， （ ） ，（ ） ，（ ） ， （ ） 时， 可用换元法将它们转化成基本形式的变限积 分， 再求导 例 （ 年全国硕士研究生入学考试试题： 数 学一） 求 （） 解 作变量替换， 令， 则所求导数变为 注 一般地， 若（）在，上连续， 则有 （ ） （） 例 求导数 （） 解 作变量替换， 令， 则所求导数变为 （ ） 注 一般地， 若（）在，上连续， 则有 （ ） （） （ ） 例 求导数 （ ） 解 作变量替换， 令 ， 则 （ ） （ ） 注 一般地， 若（）在，上连续， 则有 （ ） （）（ ） （ ） 例 （ 年全国硕士研究生入学考试试题： 数 学一） 求 （ ） 解 令 ， 则所求导数变为 （ ） （ ） 注 一般地， 若（）在，上连续， 则有 （ ） （ ） 类似地， 还可得到被积函数形如（ ） ， （ ） ， （ ） ，（ ） ， （ ）等函数 的变限积分的导数， 其中和为常数 类型 被积函数仍为变限积分函数型的变限 积分的导数 例 （ 年全国硕士研究生入学考试试题： 数 学一） 设（ ）为连续函数， 且 （） （）， 则 （）等于 （） ； （） ； （） ； 解 本题关键在求 （） ， 先交换积分次序得 （） （） （） ， 作变量代换， 令 （） （）， 则有 （） （）， 由变限积分的求导公式可得 （）（） （）（）（） ， 将代入上式， 得 （）（） ， 故正确答案为 变限积分的求导是考察的重点也是难点， 求导 时要注意积分限变量与积分变量的区别， 会用换元 法化简复杂的变限积分， 这样可以解决各类型积分 的求