江苏清江中学高三数学第一轮复习直线与圆锥曲线的关系

江苏省清江中学2006届高三数学第一轮复习直线与圆锥曲线的关系一、主要内容及方法：1、直线与圆锥曲线的公共点问题，其解决办法通常有两种：利用圆锥曲线的几何性质；转化为由它们的方程组成的方程组解的问题。这里要注意解方程组时，最终归结为讨论一个一元二次方程实数解的个数，此时应关注二次项系数是否为0.特别提醒：=0不是直线与双曲线、抛物线只有一个交点的充要条件。2、直线与圆锥曲线相交的弦长问题，其解决方法是利用韦达定理及直线斜率公式（弦长公式），对于特殊的过焦点的弦长可以通过圆锥曲线的第二定义来解决（焦半径公式）。3、直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题，其解决方法常有两种：利用韦达定理及中点坐标公式；“点差法”由平方差公式可得中点坐标与直线斜率之间关系。说明：在直线与圆锥曲线的关系中，求交点是可行的，但是往往计算量太大容易出错，巧妙利用上述技巧，可以达到“设而不求”整体解决，从而简化计算。二、基本练习：1、直线y=x+b与抛物线，当b时，有且只有一个公共点。2、直线y=mx+与抛物线，当m0,1时，有且只有一个公共点。3、若椭圆的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为.4、若直线y=x+m与椭圆相交于A、B两点，当m变化时，|AB|的最大值是5、过双曲线的右焦点作直线l，交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有 3 条。6、AB为过抛物线焦点的弦，若|AB|=1，则AB中点的横坐标为；若AB的倾斜角为60，则|AB|=.7、已知直线y=x2与抛物线相交于点A、B，求证：OAOB.证明：将y=x2代入中，得.由韦达定理得x1+x2=6, x1x2=4.y1=x1-2，y2=x2-2， y1y2=(x1-2)(x2-2)=4 =-1 OAOB. 三、例题精讲例1 直线y=ax+1与双曲线交于A、B两点.（1）当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？（2）当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？解：由，得 (3-a2)x2-2ax-2=0 得当且时，直线与双曲线交于两点，设A(x1,y1),B(x2,y2).（1）由x1x2=0.即3-k3+且k0. 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y12=4x1，y22=4x2.由|AP|=|BP|，得(x1-)2+y12=(x2-)2+y22， (x1-)2(x2-)2+4x1-4x2=0. (x1-x2)(x1+x2-5)=0.x1x2，x1+x25，又x1+x2，5，得k=2或k=(3-，舍去).故所求直线的斜率为2.四、巩固练习A组（ B ）1、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ）A B C D（ C ）2、设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点。若，则A1或5 B6 C7 D9（ A ）3、椭圆两个焦点为、，且椭圆上的点满足，则ABCD（ A ）4、椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为 A B C D（ C ）5、已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上且轴，则到直线的距离为A B C D（ C ）6、设双曲线的左、右焦点为、，左、右顶点为M、N，若的一个顶点P在双曲线上，则的内切圆与边的切点的位置是A在线段MN的内部 B在线段M的内部或N内部C点N或点M D以上三种情况都有可能.7、已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为8、如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是。9、双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得线段长度恰好等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则双曲线的离心率为 2 .B组10、F1，F2是椭圆C：的焦点，在C上满足PF1PF2的点P的个数为.11、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程。解：（1）由题意，可设椭圆的方程为 ，由已知得 解得，所以椭圆的方程为，离心率（2）由（1）可得，设直线PQ的方程为，由方程组 得依题意，得设，则 由直线PQ的方程得，于是 由得，从而所以直线PQ的方程为或C组12、如图, 直线y=x与抛物线y=x24交于A.B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点. (1) 求点Q的坐标；(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A.B) 的动点时, 求OPQ面积的最大值.解：(1) 解方程组得或 即A(4,2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1). 由kAB=,直线AB的垂直平分线方程y1=(x2). 令y=5, 得x=5, Q(5,5) (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x24). 点P到直线OQ的距离d=, ,SOP