高中数学运算能力与培养

新课标下的高中数学运算能力与培养武汉三中高三数学备课组 黄 鹰当今课改地区的高考数学分数80%是靠运算获得。同时学生的运算能力的强弱直接影响着理科综合的成绩。运算能力反映一个学生的综合能力。运算是指在运算律的指导下对具体的数、式进行变形的演绎过程。高中数学运算包括数的运算、式的恒等变形、方程和不等式的同解变形、初等函数的运算和求值，各种几何量的测量与计算。而运算能力反映在运算的准确、合理和敏捷的程度上。它主要表现在灵活运用运算的法则、性质、公式，善于观察、比较、分析、综合、概括、推理等方面。是与记忆能力、理解能力、推理能力、表达能力以及空间想象能力等其它认识能力相互渗透、相互支撑形成的一种综合的数学能力。依运算的抽象度，对运算可作如下划分以上划分只是归纳出常见的运算形式，依运算思维的抽象度，将其划分为两个不同的层次，便于把握运算能力的层次要求。两类的主要区别在于前者体现运算的“机械”性，后者体现了运算的深刻性和一定的创造性。由上可见，运算是思维的“载体”，运算能力体现思维能力，是数学素质的一面镜子。一、运算能力与数学思想的关系先请看甲、乙两个学生对下面例题的解法：已知，试求使方程有解的的取值范围。甲、乙两学生的解法如下：甲：原方程的解应满足由（1），得 (3)当时，由，知（3）无解，故原方程无解。当时，由（3）得，将此代入（2），得当时，得；当时，得的取值范围为乙：原方程等价变形，得令，则原问题转化为求函数的值域，易求得的取值范围为比较甲、乙两人的运算，不难看出，甲的方法有一定的运算量，且分类层次较多，因此，不仅难以提高速度，而且易出错；相反，乙在其思想方法下，几乎没什么运算量，获得成功的可能性大。这就说明，运算能力决不仅仅是个速度问题，它还应有更深的内涵与背景。在数学教学中，有的学生概念理解了，习题也做了不少，但其运算能力并未得到明显的提高，还是缺乏举一反三和独立解决问题的能力，究其原因，与只重视数学知识而忽视数学思想有关。“数学的精神和本质在于它的思想和方法”。教学中，学生有没有掌握数学思想，其运算能力大不一样，如前述的考生乙，由于掌握了函数思想，领悟了实质，因而其运算能力处在一个较高的水平上，处理问题时表现得简洁、利落。由此可见，数学思想是沟通数学知识与运算能力的桥梁。教学中，只有不断引导学生从数学知识与数学方法中提炼数学思想，并注重运用数学思想去分析问题与解决问题，才是完善数学知识及学生认知结构，培养与提高学生运算能力的一条行之有效的途径。二、运算能力差的原因数学的理论是数学运算的基础和依据，只有正确理解有关的数学概念，切实掌握有关的数学定理、公式、法则，才能找到合理的算法、算理。才能取得正确迅速的运算结果。（1）概念、公式、法则遗忘，是造成运算不正确的直接原因为此，在教学中应注意：向学生讲明记牢、记准概念、公式、法则的重要性。学习数学和学习其它任何一门学科一样，都离不开记忆。没有一定的记忆能力，就不可能有知识的积累，更不可能有知识的发展与应用。教学中注意以旧引新，以新促旧，新旧联系，相得益彰，使学过的知识经常不断地在学生的头脑中再现，增加记忆次数，促进记忆效果。高中数学内容多、课时紧，教材中各部分内容相对独立，反复次数较少，学生容易遗忘。所以我们应有意识地帮助学生温故知新。在选择例题、布置习题时要精心筛选，也可以采取课外兴趣小组、竞赛、每周几题等形式使学生把旧知识与新内容有机地结合起来，构成知识网络。在讲授概念、公式、法则时，让学生在理解的基础上，用自己的话准确地表达出来，提高表达能力，并与学生一道总结记忆这些概念、公式、法则的方法，使学生记忆得法，提高记忆能力。（2）概念不清楚、公式、法则含混，是造成运算不正确的主要原因讲授新课时，尽量做到由具体抽象，由感性到理性，遵循认识规律，自然地形成概念，导出公式、法则，弄清公式和法则的来龙去脉，明确条件是什么，结论是什么，在什么范围内使用，并通过课堂练习及时巩固，使学生在头脑中建立起清晰的第一印象。对相关的概念，易混的公式、法则，通过列表、图示等方法进行对比，加以区别，澄清模糊混淆的东西，提高理解力。及时回收教学效果的反馈信息，一旦发现典型错误，就立即通过正反两方面的例子进行纠正，使错误不形成定势。（3）死套公式，是造成运算错误的又一原因知识学得死，公式、法则不能灵活运用，而造成运算错误。例如计算误解：错因是互套极限运算法则，把无限项的极限运算用有限项的极限运算法则进行。为避免此类错误，教学中应注意：透彻地阐明概念的本质属性，深刻分析公式、法则的实质，讲明公式使用的条件、范围。对公式、法则的使用要做到正用、反用、变形用。在习题课、复习课中，收集一些灵活性强、启发性大、综合性好、学生通过努力能解答的习题作为练习题，培养学生思维能力的灵活性、敏锐性和深刻性等品质。（4）基础不扎实数学运算有层次性，运算能力的发展总是从简单到复杂，从低级到高级，从具体到抽象，有层次地发展起来的。简单的分数运算不过关，那么进行分式的代数运算就很困难。因此，必须重视基本功训练，切不可轻视那些简单的、低级的运算。三、总结运算规律、掌握运算技巧、提高速度（1）掌握数学运算的程序，才能合理、迅速地完成运算比如求任意角三角函数值一般要按这样的程序：负角三角函数的三角函数的三角函数求值。这样，每一步该做什么，就有章可循，避免乱猜乱碰绕弯子，影响运算速度。因此，教学中应及时总结解题规律，进行严格的、有条理的训练，提高运算的合理性和自觉性，从而提高运算的正确性和迅速性。（2）数学运算富有技巧性，没有形成熟练的技能与技巧，就不能简捷地完成运算在教学中首先把精力用在掌握系统的运算规律上，同时也应当对常用的技能技巧问题给以足够的重视。例如常用的“换元法”、“形数结合法”、三角中“1”的变换、解析几何中参数选择等，技巧性都很强。要鼓励学生有意识地收集、归纳，鼓励他们一题多解，多题一解，积累经验，形成技巧。四、运算能力重在长期培养数学运算具有艰巨性，没有良好的心理素质，不能成功地完成运算数学运算涉及的几乎都是数、式、符号等的各种变形和推导，内容很枯燥、情况很复杂，有的题要多步运算和推理才能出结果，其间，还要随时判断解题的发展方向，抉择运算的途径，分析各种可能的情形，稍不小心，就会出错，影响结果。当前的学生，有不少缺乏吃苦耐劳的精神，表现在学习上就是不刻苦、少毅力。题目稍有难度，计算稍繁，就做不下去。有的学生常说：我一看这题，头都大了。于是干脆连尝试都不做。所以，要经常做学生的思想工作，明确学习目的，端正学习态度。要鼓励他们的每一点进步。对待运算题，要求学生做到：做题前要有信心，做题时要细心，遇到问题要耐心，认真分析题意，寻找解题途径，顽强克服困难，仔细检查每一步运算，做到正确、迅速。目前高中数学教学中存在一种不科学的做法，把运算结果用幻灯片放在屏幕上，学生并不知道怎样合理运算。其实运算过程需要老师引导学生观察、分析，寻找合理的算法。计算机只能作为辅助手段。培养与提高学生的运算能力是一项复杂的系统工程，是一项长期而艰巨的任务，教学中不会有“立竿见影”的效果，而要靠长期的、反复的实践活动，循环往复、螺旋上升。要把运算能力的培养贯穿于整个中学数学教学的始终，要有计划、有目的、有意识地运用科学的方法进行长期的渗透，使学生不断地、经常性地受到启迪，在潜移默化中，使学生逐步领悟运算能力的实质，从而逐步提高运算能力。教学中，既要