2025年广东省广州市中考数学试卷（含答案与解析）

机密★启用前

2025年广州市初中毕业生学业考试

数学

满分120分，用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写

自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上.

3.非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置

上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答

案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正

带.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单选题（每小题3分，满分30分.）

1.下列四个选项中，负无理数的是（）

A.-V2B.-1C.（）D.3

2.如图，将Rt^4BC绕直角边NC所在直线旋转一周,可以得到的立体图形是（）

4

ABc

3.下列运算正确的是（）

A.。2.43=/5B.（一2助3=8a3/

C.yfa-4b=-Ja-b(a>b>0)D.lyfa+5y[a=Jyfa(ci>0)

4.关于工的方程必—1+《2+2=（）根的情况为（

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

5.某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是

A.

C.

一二三四五六日星期

6.如图，在平面直角坐标系中，点/（-3,1）,点8（-1,1）,若将直线＞=x向上平移d个单位长度后与线

段48有交点，则4的取值范围是（）

3

12345

A.—3<d4—1B.1<6?<3C.-4<d<-2D.2<^<4

7.若阳=—左（左。0）,反比例函数y=幺的图象在（）

X

A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限

8.如图，菱形48CD的面积为10,点£,F,G,H分别为AB,BC,CD,D4的中点，则四边形

EFGH的面积为（）

5

A-B.5C.4D.8

.2

X-、IX--、

9.如图，。。的直径48=4,C为前中点，点。在弧5c上,8£＞=—8C,点尸是4g上的一个动

3

点，则△尸CD周长的最小值是（）

B.2+2百C.3+SD.4+473

10.在平面直角坐标系中，两点幺（项,%）,5（%,〉2）在抛物线^="2—2"伍〉0）,则下列结论中正确

的是（）

A.当X＜0且%•％＜。时，则0＜》2＜2B.当苞＜》2＜1时，则必＜必

C,当再＜0且＞0时，则0＜々＜2D,当项〉马〉1时，则%＜为

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

11.如图，直线4B,CD相交于点。若21=36°,则N2的度数为°.

什DE]_则餐*

12.如图，在V/5C中，点、D,E分别在48,ZC上，DE//BC,右—

BC3)△ABC

A

13.要使代数式立巨有意义，则x的取值范围是.

x—3

12

14.如图，在中，ZACB=90°,4D平分/C45,已知cosNC4D=—,AB=26,则点

13

B到AD的距离为.

15.若抛物线y=--6mx++5m+3的顶点在直线y=x+2上，则加的值为.

16.已知。。的半径为6,。。所在平面内有一动点尸，过点P可以引。。的两条切线P4,PB,切点分

别为A,B.点尸与圆心。的距离为d,则d的取值范围是;若过点。作OC〃尸/交直线依于点

C（点C不与点8重合），线段OC与。。交于点。.设=CD^y,则》关于X的函数解析式为

三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.解不等式组2［%小>13口+9'并在数轴上表示解集.

18.如图，BA=BE,N1=N2,BC=BD.求证：△ZBCgZkEAD.

ic4心砧#2掰之+4掰冽2―4加+4

19.求代数式-------------------的值,其中m=V3—1-

m—2m

20.为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛.评委从演讲的内

容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计.进入决赛的前两名选手需要确定名次(不

能并列)，他们的单项成绩如下表所示：

选内能效

手容力果

甲988488

乙888597

(1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩(百分制)，能否以此确定两人的名次？

(2)如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照4:3:3的比确定，以此计算两

名选手的平均成绩(百分制)，并确定两人的名次；

(3)如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由.

2

21.如图，曲线G:y=—(x>0)过点尸(4").

x

歹八

r_____8,___________________________

p4-4—[

-i-6—

一十5…

-2一

1-1—

-2-16?12345678*

!1-^2'-*；'；1!।

(1)求才的值；

(2)直线/：>=-x+b也经过点P,求/与y轴交点的坐标，并在图中画出直线/；

(3)在(2)的条件下，若在/与两坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)随机取一个格点(横、纵坐

标都是整数的点)，求该格点在曲线G上的概率.

22.智能机器人广泛应用于智慧农业.为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进

行某种水果采摘.

(1)若用人工采摘的成本为。元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%.求用智能机器

人采换的成本是多少元；(用含。的代数式表示)

(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1

天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果

多少千克.

23.宽与长的比是由二1（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.现有一张黄金矩形纸片48CQ,长

2

AD=sf5+l.如图1，折叠纸片45CD，点8落在4D上的点£处，折痕为/尸，连接EP,然后将纸

片展开.

（2）求证：四边形CDEE是黄金矩形；

（3）如图2,点G为ZE的中点，连接尸G,折叠纸片48CD,点8落在FG上的点〃处，折痕为

FP,过点尸作尸收于点0.四边形AFQ尸是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明

理由.

24.某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组

考察了如图1所示的双向通行隧道.以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题.

图1

发

现

问

题

涉水线设置限高架设置

确

定

目

标

数

学隧道入口

隧道“一限高架

r

抽侧面"/涉水线处11.1---CL

11C

N上吆。一斜坡

象

।~~------A,1t

绘图21

*1

制隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如DE

图3

图图2所示.

图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部

形

分4cB和矩形的三边构成.

信

息

收

当隧道内积水的水深为0.27米时，车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止

集

（即积水达到涉水线处），车辆应避免压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部

资

通行.ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米.

料

整

理

实

地

隧道的最高点C到地面DE距离为5.4

考斜坡的坡角。为10。，并查得：

米，两侧墙面高/。=8£=3米，地面跨

察sinl0°«0.174,

度。£=10米.车辆行驶方向的右侧车道

数cosl0°«0.985,

线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1

据tan10°«0.176.

米.

采

集

问题解决:

（1）如图2,求涉水线离坡底的距离"N（精确到0.01米）；

（2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线/C8的解析式；

（3）限高架上标有警示语”车辆限高〃米”（即最大安全限高），求为的值（精确到0.1米）.

25.如图1,AC=4,。为ZC中点，点B在/C上方，连接4g,BC.

图1图2

（1）尺规作图：作点B关于点。的对称点。（保留作图痕迹，不写作法），连接DC,并证明：四

边形48CD为平行四边形；

（2）如图2,延长NC至点尸，使得CE=NC,当点3在直线NC的上方运动，直线NC的上方有异于

点B的动点£,连接E/,EB,EC,EF,若NZEC=45。，且AABC”MCE.

①求证：AABCsACBE；

②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、单选题（每小题3分，满分30分.）

1.下列四个选项中，负无理数的是（）

A.--^2B.—1C.0D.3

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件.对各

选项逐一分析即可.

【详解】解：选项A：-V2

、反是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此—起也是无理数.负号表明其为负数，故

-V2是负无理数.

选项B：-1

-1是整数，属于有理数，不符合无理数的条件.

选项C：0

0是整数，属于有理数，且非负数.

选项D：3

3是正整数，属于有理数，且非负数.

综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件,

故选A.

2.如图，将RtZkABC绕直角边ZC所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是()

【解析】

【分析】本题考查的是点，线，面，体之间的关系，圆锥的认识，根据面动成体结合圆锥的特点可得答案.

【详解】解：RtZkABC绕直角边ZC所在的直线旋转一周后所得到的几何体是一个圆锥.

故B选项正确.

故选B

3.下列运算正确的是()

A.a2-a3=a15B.(-2ab)3=Sa3b3

C.4a-=sja-b(a>6>0)D.2sfa+5>Ja-?yfa(a>0)

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查累的运算、积的乘方、二次根式的加减法则.需逐一分析各选项的正确性.

【详解】解：A.同底数暴相乘，底数不变，指数相加，故42.43=/+3=笳，但选项结果为45,错误.

B.积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故(-2仍)3=(-2)3/3.63=—8/63,

但选项结果为8/",错误.

C.二次根式相减不能直接合并为被开方数相减.例如a=9,6=4时，79-74=3-2=1，而

,9一4=^5卞1，错误.

D.同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故2后+56=（2+5）后=7后，正确.

综上，正确答案为D.

故选：D.

4.关于工的方程必一1+k2+2=0根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.无实数根D,只有一个实数根

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式.通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况.

【详解】解：对于方程后2+2=0,其判别式为：

△=（—1）2—4x1x（左2+2）=1—4（左2+2）=1—4左2—8=—4左2—7.

由于后220，贝|—4左2<0，因此一4/—7V—7<0.

故判别式A恒为负数，方程无实数根，

故选：C.

5.某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是

【解析】

【分析】本题考查的是选择合适的统计图，根据条形图，折线图，扇形图的特点进行选择即可.

【详解】解：•••扇形统计图可以清楚地表示各部分数量和总量之间的关系；条形统计图可以清楚地看出数

量的多少；折线统计图，不仅可以清楚地看出数量的多少，而且还能清楚地看出数量的增减变化趋势；

...最适合描述气温变化趋势的是折线统计图；

故选：C.

6.如图，在平面直角坐标系中，点4-3,1),点8(-1,1),若将直线〉=X向上平移1个单位长度后与线

段45有交点，则d的取值范围是()

A.-3<(7<-lB.l<t/<3C.-4<t/<-2D.2<t/<4

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的

关键.

先求出直线V=x平移后的解析式，再根据直线与线段AB有交点，分别求出直线经过点/和点3时d的值,

进而确定，的取值范围，据此进行分析，即可作答.

【详解】解：依题意，将直线〉=工向上平移4个单位长度后得y=x+d

•.•点4-3,1),点3(-1,1),且直线>=x向上平移1个单位长度后与线段4g有交点,

.•.把/(—3,1)代入得1=—3+d,解得d=4；

把3（—1,1）代入得1=—1+d,解得d=2；

则2Wd44,

故选：D.

7.若网=—以左HO）,反比例函数y=&的图象在（）

x

A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出左的符号，再根据反

比例函数的图象性质确定其所在象限.

【详解】解：确定左的符号：

由题设条件冏=一左且左/0,根据绝对值的非负性，右边—左20,即左W0.又因左H0,故左为负数.

•­,反比例函数y=幺的图象位置由左的符号决定：

x

当上＞0时，图象位于第一、三象限；

当左＜0时，图象位于第二、四象限.

因左为负数，故图象在第二、四象限.

综上，正确答案为选项C.

故选：C

8.如图，菱形4BCD的面积为10,点E,F,G,〃分别为48,BC,CD,D4的中点，则四边形

EFGH的面积为（）

5

A.-B.5C.4D.8

2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得所〃幺。〃//G,EH//BD//FG,

BD=2EF,AC=2EH,证明四边形EFGH是矩形，进而得菱形4BC。的面积

=-ACBD=2EFEH.四边形EFGH面积是xEH故可得结论.

2

【详解】解：连接NC、BD交于0,

•.•四边形48CD是菱形，

AC1BD,

;点、E、F、G、”分别是边45、BC、C£＞和£%的中点，

EH//BD,FG//BD,EF//AC,HG//AC,BD=2EF,AC=2EH,

AEH//FG,EF//HG,

...四边形跖GH是平行四边形，

'：AC1BD,

：.NAOB=90°,

：.ZBAO+ZABO=90°,

,：NAEH=NABO,ZBEF=ZEAO,

/.NAEH+ZBEF=90°,

：.ZHEF=90°,

...四边形EFGH是矩形，

/.菱形ABCD的面积=工ZC♦8。=2EF-EH,

2

2EF-EH=10,

：.EFEH=5,

四边形EFGH的面积为5,

故选：B.

9.如图，。。的直径48=4,C为前中点，点。在弧8c上，=点尸是4B上的一个动

点，则△尸C。周长的最小值是（）

c

D

A.2+V7B.2+2百C.3+V7D.4+4A/3

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质

内容是解题的关键.先作点C关于48的对称点C,连接CC',OD,C'D,C'P,交4B于点？'，因为

X---、1/--

。。的直径48=4,C为会中点，得CC'=48=4,再结合得/。。。=60。，再证明

△COD是等边三角形，运用勾股定理列式计算得DC'=J。。"—CD?=2G，则△尸C。周长

=CD+PD+CP>2+C'D,即可作答.

【详解】解：作点。关于48的对称点C',连接CU8CDCP,记C'。交48于点P，如图所

小：

■.CP=CP

:。。的直径48=4,C为NZ中点，

•••点。在C'C上，OC=OD=-x4=2,ZCOB=90°,

2

：.CC'=AB=4,

-、1X--、

,:BD=—BC,

•••CO=OD,

则△COD是等边三角形,

CD=0C=2,

vCC'是直径，

ZCDC=90°

DC'=y]cC'2-CD2=V16-4=273>

则△尸CO周长=CD+0。+CP=2+0。+C'P22+尸'£>+C'P'=2+C'。=2+2G，

・•.△PC。周长的最小值是2+273.

故选：B.

10.在平面直角坐标系中，两点8（%,为）在抛物线^-2ax（a>0）,则下列结论中正确

的是（）

A.当X]<0且为<0时，则0<工2<2B.当苞<》2<1时，贝1]%<%

C.当X]<0且K>0时，则0</<2D.当项〉》2〉1时，贝！1%<为

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线y=。/一2^（。〉0）开口向上，顶点为（1,一。），与x轴

交于（0,0）和（2,0）,分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可.

【详解】解：；y=ax2-2ax（a>0）

二抛物线的开口向上，

—2Q

则对称轴为直线》=-----=1,

2a

把x=1代入y=ax2-2ax,得y=a-2a=-a,

顶点为，

•.•两点/（X],%）,B（X2,%）在抛物线y=ax"-2ax（a>0）,

.•.当Xi<0且%<0时，见〉0（因x<0时抛物线在x轴上方），

故归<0,

此时0<》2<2

故A选项的结论正确;

当再</<1时，抛物线在x<l时递减,

故超越大，％越小,

即凹〉必，

故B选项的结论错误；

当西<0且乂>0时，%〉0,

此时x2应满足<0或工2>2,

故C选项的结论错误；

当石〉马〉1时，抛物线在X>1时递增，

故为越大，必越大，

即必〉必，

故D选项的结论错误；

故选：A

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

11.如图，直线4B,CD相交于点。若21=36°,则N2的度数为

【答案】144

【解析】

【分析】本题考查了邻补角互补，根据N1,N2是互为邻补角，得N2=180。-/I,再代入数值计算，即

可作答.

【详解】解：•••直线48,CD相交于点O,且Nl=36。，

N2=180°—Nl=180°—36°=144°,

故答案为：144

12.如图，在VN8C中，点。，E分别在4S,ZC上，DE//BC,若些=L则合里=

BC3'“Be

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意证明△4DE〜△4BC,根据相似三角形的性质

即可求解.

【详解】解：

・・・AADEsAABC,

□&ADE

□△ABC

故答案为：

9

13.要使代数式立±1有意义，则X的取值范围是

x—3

【答案】1且xw3

【解析】

【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出x+l»O且X-3HO,即可求解.

【详解】解：依题意，x+120且%一370,

解得：》2-1且》#3,

故答案为：1且xw3.

12

14.如图，在中，ZACB=90°,4D平分NC43,已知cos/C4D=—,AB=26,则点

13

8到的距离为

c

D

AB

【答案】10

【解析】

【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解

CD5

sinBCAD=—=—,过点8,作交/。于点。，结合

AD13

——=sinNBA。=sinNCAD=—,从而可得答案.

AB13

12

【详解】解：：（：05/包。=一，ZACB=90°,

13

.AC_12

"AD~13'

设NC=12x,则ZD=13x,

CD=>]AD2-AC2=5x，

5

sinDG4Z)=----

AD13

过点B,作交于点0,

；4D平分NC4B,

，ACAD=/BAD,

：.些=sinNBA。=sinZCAD=—,

AB13

,ZAB=26,

%=10,

...点8到4D的距离为10；

故答案为：10.

15.若抛物线y=/一6机x+6:〃2+5机+3的顶点在直线y=x+2上，则加的值为.

【答案】1或-1

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关

性质内容是解题的关键.先整理得出顶点坐标为（3肛-3机2+5机+3）,再把（3机3加2+5机+3）代入

y=x+2,得出3根2—2机—1=0,运用公式法进行解一元二次方程，即可作答.

【详解】y=X2-6mx+6m2+5m+3,

・•・对称轴为直线x=-----=3m,

2x1

寸巴x=3加代入y=x2-6mx+6m2+5m+3,

得y=-3m2+5加+3,

即顶点坐标为（3机3机2+5掰+3）,

...抛物线的顶点在直线y=x+2上，

-3m2+5m+3=3m+2，

整理得3m2-2m-1=0，

则A=（-2/-4x3x（—1）=16,

.2±V162±41±2

••m=------=----=----，

2x363

1I

m2=,

故答案为：l或-

3

16.已知。。的半径为6,。。所在平面内有一动点P,过点尸可以引。。的两条切线P4,PB,切点分

别为A,8.点尸与圆心。的距离为d,则d的取值范围是;若过点。作OC〃尸4交直线收于点

C（点C不与点B重合），线段OC与。。交于点。.设尸/=x,CD^y,则y关于X的函数解析式为

【答案】d>6②.y=x-T2x+36

2x

【解析】

【分析】由题意可得点尸在。。外，从而得出d>6,再由切线长定理可得P/=P3=x,OBLPB,

NOPA=NOPB,又0C〃尸4,则N0R4=NPOC,所以NOPC=NPOC,可得PC=OC,故有

PC=OC=6+y,BC^x-6-y,最后通过勾股定理即可求解.

【详解】解：如图，

:过点尸可以引。。的两条切线PN,PB,

二点尸在。。外，

d>6,

1/PA,必是。。的两条切线，

PA=PB=x,OBLPB,NOPA=NOPB,

：.NOBP=90°,

•1,OC//PA,

：.ZOPA=ZPOC,

NOPC=ZPOC,

：.PC=oc,

CD^y,。。的半径为6,

/.PC=OC=6+y,

BC=PB—PC=x—6—y,

在RtAC>5C中，OC2=OB-+BC2，

(6+v)2=62+(x-6-v)",

,x"—12x+36

,•y—，

-2x

故答案为：d>6,x2~12x+36

2x

【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，切线长定理，勾股定理，求函数解析式，等角对等边，平行

线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键.

三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

2%>1

17.解不等式组.c，并在数轴上表示解集.

4x-3<x+9

【答案】一Vx<4,回图见解析

2

【解析】

【分析】本题考查解不等式组和用数轴表示不等式组的解集，需要注意用数轴表示解集的时候实心点和空

心点的区别.分别求出每一个不等式的解集，根据数轴，确定不等式组的解集即可.

2x>1①

【详解】解:

4x—3<x+9②

由①得：x>—,

2

由②得：x<4,

将不等式组的解集表示在数轴上如下:

।।।।J।।»

-2-101123456

2

则不等式组解集为工Wx<4.

2

18.如图，BA=BE,N1=N2,BC=BD.求证：AABC^AEBD.

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明N48C=/防。，进而根据SAS即可证明

△AB8AEBD.

【详解】证明：•.•/：!=N2,

Zl+ZEBC=N2+ZEBC,即ZABC=NEBD,

在V48c和△£8。中，

BA=BE

ZABC=ZEBD

BC=BD

：.AABC2小EBD（SAS）

，c-p-zji»-ix2m2+4mm2-4m+4甘r-,

19.求代数式--------------------的值，其中机=J3-1.

m-2m

【答案】-46

【解析】

【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最

简，然后把机=百-1代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键.

2m~+4mm2-4m+4

【详解】解:

m—2m

2m(m+2)(m-2)2

m—2m

=2（加+2）（加一2）

=2加2—8,

当加二A/3—1时,

原式=2x(百

=2x(4-2V3)-8

=8-4月-8

=­4>/3•

20.为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛.评委从演讲的内

容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计.进入决赛的前两名选手需要确定名次（不

能并列），他们的单项成绩如下表所示：

选内能效

手容力果

甲988488

乙888597

（1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？

（2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照4:3:3的比确定，以此计算两

名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次；

（3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由.

【答案】（1）甲、乙的平均成绩均为90分，不能以此确定两人的名次；

（2）甲排名第一，乙排名第二；

（3）设计三项成绩的比为5:2:3,理由内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是

基础，占比最低.（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题考查了加权平均数，算术平均数，权重等知识，掌握知识点的应用是解题的关键.

（1）利用算术平均数即可求解；

（2）利用加权平均数即可求解；

（3）改变权重即可.

【小问1详解】

解：不能以此确定两人的名次，

甲的平均成绩：98+84+88=90（分），

3

乙的平均成绩：88+85+97=90（分），

3

X甲=X乙,

...不能以此确定两人的名次;

【小问2详解】

”「加（分）,

解：甲的平均成绩:

88x4+85x3+97x3

乙的平均成绩:=89.8（分）,

4+3+3

••x甲〉x乙，

・•・甲排名第一，乙排名第二;

【小问3详解】

解：设计三项成绩的比为5:2:3,理由，

内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低.（答案不唯一）

2

21.如图，曲线G:y=—（x〉0）过点P（4/）.

7

6

-2\O1234

!-

（1）求才的值；

（2）直线/：＞=-x+6也经过点P,求/与y轴交点的坐标，并在图中画出直线/；

（3）在（2）的条件下，若在/与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐

标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率.

【答案】（1）t=-

2

（2）（0,4.5）,见详解

⑶-

3

【解析】

【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内

容是解题的关键.

21

（1）直接把？（4"）代入y=—进行计算，得，=—；

x2

（2）先得出尸（4,；）,再代入直线/：＞=—x+b,求出y=—x+4.5,即可求出/与y轴交点的坐标，再由

两点确定一条直线画出直线/的函数图象；

（3）先得出格点共有6个，分别是（1,3）,（1,2）,（1,1）,（2,1）,（2,2）,（3,1）,再分析得出格点（1,2）,（2,1）在曲

线G上，即有两个格点在曲线G上，最后运用概率公式列式计算，即可作答.

【小问1详解】

2

解：•・・曲线G:y=—(x>0)过点尸(4").

x

21

t=—=—；

42

【小问2详解】

解：由(1)得，=—,

2

故P(4,；),

,/直线l:y=-x+b也经过点P,

二把尸(4,；)代入y=_x+6,得g=—4+6,

解得6=4.5,

歹=-%+4.5；

令％=0,则y=-0+4.5=4.5,

；./与y轴交点的坐标为（0,4.5）；

【小问3详解】

解：依题意，在/与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有6个，分别是

(1,3),(1,2),(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),

•.•曲线G:y=2(x〉0),

则1x3=3。2,1x2=2,1x1=1w2,2x1=2,2x2=4。2,3x1=3。2,

・•.格点(1,2),(2,1)在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，

即该格点在曲线G上的概率=2=1.

63

22.智能机器人广泛应用于智慧农业.为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进

行某种水果采摘.

（1）若用人工采摘的成本为。元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%.求用智能机器

人采换的成本是多少元；（用含a的代数式表示）

（2）若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1

天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果

多少千克.

【答案】（1）0.7a元

（2）这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克.

【解析】

【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用；

（1）根据人工采摘的成本为。元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%,再列代数式即可;

（2）设一个工人每天采摘该种水果x千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5x千克根据要采摘4000

千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求

解即可.

【小问1详解】

解：•..用人工采摘的成本为。元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%.

...用智能机器人采换的成本是（1-30%）a=0.7a（元）；

【小问2详解】

解：设一个工人每天采摘该种水果x千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天5x千克；

40004000,

------=--------1,

5x4x

解得：x=200,

经检验x=200是原方程的解且符合题意；

5x=1000（千克），

答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1000千克.

23.宽与长的比是由二1（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.现有一张黄金矩形纸片48CD,长

2

AD=、+\.如图1，折叠纸片48C。，点8落在40上的点£处，折痕为/尸，连接£尸，然后将纸

片展开.

(2)求证：四边形COM是黄金矩形；

(3)如图2,点G为ZE的中点，连接尸G,折叠纸片48CD,点2落在尸G上的点〃处，折痕为

FP,过点尸作尸0，政于点。四边形AFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明

理由.

【答案】(1)2(2)证明见解析

(3)四边形5尸少是黄金矩形.证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据黄金矩形的定义可得：包=1二1,再进一步求解即可；

AD2

(2)先证明四边形48也是正方形；可得AB=BF=EF=AE=2,DE=CF=加-1，证明四边形

CF££＞是矩形，从而可得答案；

(3)先证四边形5尸。尸是矩形，然后求解EG=JF+22=也,由对折可得：FH=FB=2,设

BP=x,则4P=2—x,由面积可得：2,1'(2-2x+g，氐=3,(1+2了2,可得：

x=V5-b再进一步可得结论.

【小问1详解】

解：AD=45+1，矩形4BCD是黄金矩形，

.ABV5-1

••----------,

AD2

AB=--^'(V5+1)=2;

【小问2详解】

证明：,••折叠黄金矩形纸片48C。，点8落在幺。上的点E处，

，AB=AE,NB=NAEF,

又：四边形45CD是矩形，

ZBAE=ZB=ZC=ZD=90°,AB=CD,AD=BC=&\，

ZBAE=ZB=NAEF=90°,

二四边形45也是矩形，

AB=AE,

・・・四边形48也是正方形；

・•・AB=BF=EF=AE,

由(1)可知，AB=2,

・・・AB=BF=EF=AE=2,

:.DE=CF=出+]-2=出-\，

•：NC=ND=NDEF=90°,

...四边形CFFD是矩形，

EF=CD=2,

.DEV5-1

••---=------,

FE2

...四边形CDEF是黄金矩形.

【小问3详解】

解：四边形AP0P是黄金矩形，证明如下：

■.PQLEF,四边形48尸E是正方形，

.-.DB=BBFE=E)PQF=90°,

四边形AFQP是矩形；

由(2)可知，AB=BF=4E=EF=2,

・••G为ZE的中点,

AG=EG=1,

•■­FG=y/EG2+EF2=A/12+22=也，

如图，连接PG,由对折可得：FH=FB=2,BP=PH,ZPHF=ZB=90°,

设BP=PH=x,则ZP=2—x,

S、APG+S"BF+S"PGF=S梯形

r(2-2x+^'屈=；，(1+2)，2,

解得：X=y[5-1，

.,.BP=45-1，

•BP

"BF~2

四边形BFQP是黄金矩形.

【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理

解黄金矩形的定义是关键.

24.某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组

考察了如图1所示的双向通行隧道.以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题.

图1

发

现

涉水线设置限高架设置

问

题

确

定

目

标

数

学隧道入口

隧道,一一限高架

「

抽侧面一/涉水线处11一」11J

11C__1_

N二^一"斜坡

象%V

|__________TD

绘图21

1

制隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如DE

图3

图图2所示.

图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部

形

分ACB和矩形ADEB的三边构成.

信

息

收

当隧道内积水的水深为0.27米时，车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止

集

（即积水达到涉水线处），车辆应避免压