全国课标百所名校高三数学压轴题精选含及解析

2009年高考全国百所名校数学压轴题精选AAA. 【青岛市2009年高三教学统一质量检测（理）22】（本小题满分14分）已知等比数列的前项和为（）求数列的通项公式；（）设数列满足，为数列 的前项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论【解析】：（）由得:时，2分是等比数列，得 4分（）由和得6分10分11分当或时有，所以当时有那么同理可得：当时有，所以当时有13分综上：当时有；当时有14分.【皖东十校09届第一次联考试卷数学（理）22】已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切. （I）求椭圆的方程； （II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程； （III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.【解析】：（） 直线相切， 3分椭圆C1的方程是 6分（）MP=MF2，动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 6分点M的轨迹C2的方程为 9分（）Q（0，0），设 ，化简得 11分当且仅当 时等号成立 13分当的取值范围是14分2.【江苏省姜堰中学高三数学阶段调研试卷】（本小题满分16分）函数其中为常数，且函数和的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行（1）、求函数的解析式（2）、若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。【解析】：（1） -2的图像与坐标轴的交点为，的图像与坐标轴的交点为由题意得即， -3又 -4（2）由题意当时，-6令 -7令 -9当时，单调递增。 -10由在上恒成立， 得 -12当时， -13可得单调递增。-14由在上恒成立，得 -15综上，可知 -163.【湖南省长沙一中2008-2009学年高三第八次月考数学（文科）21】（本小题满分13分）如图，在矩形ABCD中，已知A（2，0）、C（2，2），点P在BC边上移动，线段OP的垂直平分线交y轴于点E，点M满足（）求点M的轨迹方程；（）已知点F（0，），过点F的直线l交点M的轨迹于Q、R两点，且求实数的取值范围.【解析】：（I）依题意，设P（t,2）（2t2），M（x，y）.当t=0时，点M与点E重合，则M=（0，1）；当t0时，线段OP的垂直平分线方程为： 显然，点（0，1）适合上式 .故点M的轨迹方程为x2=4(y1)( 2x2) （II）设得x2+4k2=0. 设Q（x1,y1）、R（x2,y2），则,.消去x2，得. 解得4. 【湖北省2009届高三八校联考第二次（理）21.】（本小题满分14分）已知数列中，其前项和满足.令.（）求数列的通项公式；（）若，求证：（）；（）令（），求同时满足下列两个条件的所有的值：对于任意正整数，都有；对于任意的，均存在，使得时，.【解】（）由题意知即12检验知、时，结论也成立，故.3（）由于故.6（）（）当时，由（）知：，即条件满足；又，.取等于不超过的最大整数，则当时，.9（）当时，.由（）知存在，当时，故存在，当时，不满足条件. 12（）当时，.取，若存在，当时，则.矛盾. 故不存在，当时，.不满足条件.综上所述：只有时满足条件，故.145.【河南省普通高中2009年高中毕业班教学质量调研考试（文）22.】（本小题满分12分）20090327已知点A是抛物线y22px（p0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K，已知AKAF，三角形AFK的面积等于8 （1）求p的值； （2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1，l2，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G，H.求GH的最小值【解析】：22解：（）设，因为抛物线的焦点，则.1分，2分，而点A在抛物线上，.4分又故所求抛物线的方程为.6分（2）由，得，显然直线，的斜率都存在且都不为0.设的方程为，则的方程为. 由 得，同理可得.8分则=.（当且仅当时取等号）所以的最小值是8.12分6.【河南省普通高中2009年高中毕业班教学质量调研考试（理）22.】（本小题满分12分）已知数列满足（1）求；（2）已知存在实数，使为公差为的等差数列，求的值；（3）记，数列的前项和为，求证：.【解析】：22解：（1），由数列的递推公式得，.3分（2）=.5分数列为公差是的等差数列.由题意，令，得.7分（3）由（2）知，所以.8分此时=，10分 =.12分7.【河北省石家庄市2009年高中毕业班复习教学质量检测（一）22】（本题满分12分）【理科】已知函数 （I）求的极值； （II）若的取值范围； （III）已知【解析】：（）令得 2分当为增函数；当为减函数，可知有极大值为.4分（）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，设由（）知，分（），由上可知在上单调递增， ， 同理 .10分两式相加得 12分8.【河北省石家庄市2009年高中毕业班复习教学质量检测（一）22】（本题满分12分）【文科】已知椭圆，双曲线C与已知椭圆有相同的焦点，其两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切。 （I）求双曲线C的方程； （II）设直线与双曲线C的左支交于两点A、B，另一直线l经过点及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。【解析】：（本小题满分12分）（I）设双曲线C的焦点为： 由已知，2分设双曲线的渐近线方程为， 依题意，解得双曲线的两条渐近线方程为 故双曲线的实半轴长与虚半轴长相等，设为，则，得，双曲线C的方程为 分.（II）由，直线与双曲线左支交于两点，因此 .分又中点为直线的方程为， 令x=0，得， 故的取值范围是 12分9.【东北育才学校2009届高三第三次模拟考试（文）22.】 (本小题满分14分)设等比数列的前项和，首项，公比.()证明：；()若数列满足，求数列的通项公式；()若，记，数列的前项和为，求证：当时，.【解析】：() 2分 而 3分 所以 4分 (), 6分 是首项为,公差为1的等差数列, ,即. 8分() 时, , 9分相减得, 12分又因为,单调递增, 故当时, . 14分10.【东北育才学校2009届高三第三次模拟考试（理）24.】如右图（1）所示，定义在区间上的函数，如果满足：对，常数A，都有成立，则称函数在区间上有下界，其中称为函数的下界. （提示：图(1)、（2）中的常数、可以是正数，也可以是负数或零）（）试判断函数在上是否有下界？并说明理由；（）又如具有右图（2）特征的函数称为在区间上有上界.请你类比函数有下界的定义，给出函数在区间上有上界的定义，并判断（）中的函数在上是否有上界？并说明理由； （）若函数在区间上既有上界又有下界，则称函数在区间上有界，函数叫做有界函数试探究函数 （是常数）是否是（、是常数）上的有界函数？【解析】：24（I）解法1：，由得， ， ，-2分当时，函数在（0，2）上是减函数；当时，函数在（2，）上是增函数； 是函数的在区间（0，）上的最小值点，对，都有，-4分即在区间（0，）上存在常数A=32,使得对都有成立，函数在（0，）上有下界. -5分 解法2：当且仅当即时“”成立对，都有，即在区间（0，）上存在常数A=32,使得对都有成立，函数在（0，）上有下界.（II）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：定义在D上的函数，如果满足：对，常数B，都有B成立，则称函数在D上有上界，其中B称为函数的上界. -7分设则，由（1）知，对，都有，函数为奇函数，即存在常数B=32，对，都有,函数在（， 0）上有上界. -9分（III），由得， ， ，-10分当时，函数在（0，）上是减函数；当时，函数在（，）上是增函数； 是函数的在区间（0，）上的最小值点， -11分当时，函数在上是增函数；、是常数，、都是常数令,对，常数A,B,都有即函数在上既有上界又有下界-12分当 时函数在上是减函数对都有函数在上有界.-13分当时，函数在上有最小值令,令B=、中的最大者则对，常数A,B,都有函数在上有界.综上可知函数是上的有界函数-14分11.【东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中2009年四校第一次高考模拟联考（理）22】（本小题满分12分）如图，已知双曲线=1的两个焦点为F1，F2，两个顶点为A1，A2，点是 （I）求实数的取值范围； （II）直线PF1，PF2分别与双曲线各交于两点，求以这四个交点为顶点的四边形的面积S的取值范围。【解析】：（1）A1（-1，0），A2（1，0），F1（-2，0），F2（2，0）4分 （II）设直线PF1与双曲线交于直线PF2与双曲线交于令6分而直线PF1与双曲线交于两支上的两点，同理直线PF2与双曲线交于两支上的两点则8分10分令递增又12分12.【安徽省示范高中皖北协作区200