李早春-课题学习-镶嵌.ppt

,好漂亮的地板!这是怎么铺设的?一点空隙也没有.,我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种现地板常用各种多边形地砖铺砌成既没有缝隙又不重叠的美丽图案。,课题学习设计镶嵌图,观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成？,第一页,第二页,第三页,第四页,观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成？,第一页,第二页,第三页,第四页,用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠.因此各种平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件，是图形拼合后同一个顶点的若干个角的和恰好等于360。,第一页,第二页,第三页,第四页,让你设计几种地板图案，请思考下面的问题：问题1：如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面？问题2：如果允许用几种正多边形组合起来镶嵌，由哪几种正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？,第一页,第二页,第三页,第四页,1、你能只用一种多边形（如正三角形，正四边形，正六边形）拼成一个地面吗？（用自制的正三角形，正方形，正六边形纸片进行实验）2、你能只用一种正五边形拼成一个地面吗？（用自制的正五边形进行实验）3、为什么正五边形拼不成地面？而用正三角形可以？可以拼成一个地面条件是什么？4、试用数学知识推导，只用一种正多边形进行平面镶嵌，有几种方法？6、任意的三角形，任意的四边形均可镶嵌成一个地面吗？,解决下列问题，并用纸片进行拼图试验,仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求在公共顶点上所有内角和为360。令正多边形的边数为n,个数为m,则有,第一页,第二页,第三页,第四页,（1）正三角形的平面镶嵌,60,60,60,60,60,60,注：n指边数，k指同一顶点的正多边形个数。,第一页,第二页,第三页,第四页,（2）正方形的平面镶嵌,90,注：n、k分别指同一顶点的正多边形边数、个数。,第一页,第二页,第三页,第四页,（3）正六边形的平面镶嵌,120,120,120,注：n指边数，k指同一顶点的正多边形个数。,第一页,第二页,第三页,第四页,因为正五边形的内角不能组成360的角，而正三角形的内角能组成360的角。,而三角形的内角为180度，两个180度为360度，任意四边形的内角和为360度，所以三角形，四边形均可镶嵌成平面。,第一页,第二页,第三页,第四页,用同一种正多边形镶嵌，只要正多边形内角的度数整除360，这种正多边形就能作平面镶嵌。比如正三角形、正方形、正六边形能作平面镶嵌，而正五边形、正七边形、正八边形、正九边形、的内角的度数都不能整除360，所以这些正多边形都不能镶嵌。因此只用一种正多边形进行镶嵌，只有（6，6，6）；（4，4，4，4）；（3，3，3，3，3，3）三种情形。,第一页,第二页,第三页,第四页,用两种正边形进行镶嵌，又有几种情况呢？,1）试用正三角形与正方形进行平面镶嵌，（先用纸片进行实验，再理论解释）2）试用正三角形与正六边形进行平面镶嵌，先理论探讨有几种情况，再用纸片进行拼图,设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形的角，则有,第一页,第二页,第三页,第四页,记作（3，3，3，4，4）,正三角形与正方形,注：m、n分别指同一顶点处正三角形、正方形的个数。,镶嵌图案,注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果,第一页,第二页,第三页,第四页,设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形的角，则有,记作（3，3，3，6）；（3，3，6，6）,120,120,60,60,正三角形与正六边形的平面镶嵌,图案（）,第一页,第二页,第三页,第四页,正三角形与正六边形的平面镶嵌,图案（）,60,60,120,60,60,每个顶点处正六边形1个，正三角形4个.,第一页,第二页,第三页,第四页,第一页,第二页,第三页,第四页,1、如果用正三角形与正十二边形，如何镶嵌？2、如果用正四边形与正八边形，如何镶嵌？3、如果用三个正多边形，又有几种情况呢？,思考与引伸,第五页,三种正多边形的平面镶嵌,三种正多边形的平面镶嵌,正十二边形与正三角形的平面镶嵌,正十二边形与正方形、正五边形的平面镶嵌,图例,资料1：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。,第一页,第二页,资料2：石子路镶嵌图案最多的图林在北京故官御花园内，有许多颜色不同的细石子砌成的各种美丽图案的花石子路，据统计全园花石子路上的图案约有900幅，可以说是中国拥有石子路镶嵌图案最多的图林了。这些石子路图案的组成，是把全园作为一个整体来考虑设计的，因此显得极为统一协调。但是每幅图案又有它的独立的面貌，内容各异，图案的内容有人物、风景、花卉、博古等，种类繁多。其中的“颐和春色”、“关黄对刀”、“鹤鹿同春”等图案，造型优美，动态活泼、构图别致，色彩分明，沿路观赏，美不胜收。,第一页,第二页,镶嵌，作为数学学习的一项探究性活动，主要有以下两个方面的原因：（1）如果用“数学的眼光”观察事物，那么用正方形的地砖铺地，就是“正方形”这种几何图形可以无缝隙、不重叠地拼合。（2）“几何“中研究图形性质时，也常常要把图形拼合。比如，两个全等的直角三角形可以拼合成一个等腰三角形，或一个矩形，或一个平行四边形；又如，六个全等的等边三角形可以拼合成一个正六边形，四个全等的等边三角形可以拼合成一个较大的等边三角形等。,（3）用一种任意的凸多边形镶嵌。从正多边形镶嵌中可以知道：只要研究任意的三角形、四边形、六边形能否作平面镶嵌，而不必考虑其他多边形能否镶嵌（这是因为：假如这类多边形能作镶嵌，那么这类正多边形必能作镶嵌，这与上面研究的结论矛盾）,1、某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（）A正方形B正六边形C正八边形D正十二边形2、某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）A正方形B矩形C正八边形D正六边形3、右图是一块正方形地板砖，上面的图案由一个小正方形和四个等腰梯形组成，小明家