概率第1、2章

,概率统计简明教程,课程名称,概率统计简明教程,计划学时,32学时,作业要求,用大张的A4白纸书写，姓名、班级和序号写在最上方,概率统计是研究随机现象数量规律的学科, 理论严谨，应用广泛，发展迅速.不仅高等学校各专业都开设了本课程,而且在上世纪末，此课程特意被教育部定为本科生考研的数学课程之一。,前,言,概率统计可分为概率论与数理统计学，概率论严格地演绎研究大量随机现象地数量关系，数理统计学则侧重于归纳方法。它们的共同点都是研究随机现象地统计规律性。概率论在物理、化学、生物、生态、天文、地质、医学等学科中，在控制论、信息论、电子技术、预报、运筹等工程技术中的应用都非常广泛。,本学科的应用,法国数学家拉普拉斯(Laplace),说: “ 生活中最重要的问题 , 其中绝大,多数在实质上只是概率的问题.”,英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾,对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正,的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那,么我们就寸步难行, 无所作为.,第一章 随机事件,第一节 样本空间和随机事件,重点,1、随机事件,2、样本空间,一般的，称具有以下三个特点的试验为随机试验：,试验在相同的条件下可重复进行 试验的所有可能结果是已知的或者是可以确定的。每次试验将会发生什么结果是事先无法预知的。,实例,抛一枚硬币,观察正面或反面向上在一条生产线上，检测在24小时内产出次品的数目 向一目标射击，直至击中为止，记录射击的次数在标准大气压下，纯水加热到100 沸腾。三角形中，任意两边之和一定大于第三边。,在随机试验中，产生的各种结果叫做随机事件(random Events )，简称事件（Events) 随机事件通常用大写英文字母、等表示,例： 投掷一个骰子，观察其朝上的点数。,都是随机事件。,A朝上的点数为2,B朝上的点数为偶数点,C朝上的点数不超过4,如观察马路交叉口可能遇上的各种颜色交通灯，这是随机试验，而“遇上红灯”则是一个随机事件。,随机试验的每一个可能的结果称为这个试验的一个 样本点 ，记作,全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，记作样本空间是试验的所有可能结果所组成的集合.,样本点与样本空间,样本点 Sample Point,样本空间 Sample Space,=|0,写出下列事件的样本空间,E4: 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命,E1: 射手向一目标射击，记录射击的次数,E3: 掷一颗骰子，观察向上一面出现的点数,=1,2,=1,2,3,4,5,6,显然，每次试验有且只有一个含在样本空间中的试验结果发生。,E2: 从四张扑克牌J,Q,K,A任意抽取两张。,=(J,Q),(J,K),(J,A),(Q,K),(Q,A),(K,A),事件是由试验的某些可能结果构成的，因此事件是样本空间的子集。仅含一个样本点的随机事件称为基本事件。,如前例： 投掷一个骰子，观察其朝上的点数。,记 “出现点数为j”（j1,2,3,4,5,6）,则,A朝上的点数为2B朝上的点数为偶数点C朝上的点数不超过4,必然事件Certainty Events,“抛掷一颗骰子，出现的点数不大于6”,例,必然事件样本空间本身也是事件,它包含了所有可能的试验结果，因此不论在哪一次试验它都发生，称为必然事件。也将它记为。,不可能事件Impossible Event,“抛掷一颗骰子，出现的点数大于6”,例,不可能事件不包含任何样本点的事件,记为 ,每次试验必定不发生的事件.,抛掷两颗骰子，观察出现的点数,例 随机试验,样本空间,（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），.，（6，1），（6，2），.，（6，6）,抛掷两颗骰子，观察出现的点数,A=点数之和等于3,=（1，2），（2，1）,B=点数之和大于11,=6，6,C=点数之和不小于2,D=点数之和大于12,= ,=,第二节 事件的关系和运算,用简单事件表示复杂事件,事件的关系和运算,事件的关系与运算,事件,事件之间的关系与事件的运算,集合,集合之间的关系与集合的运算,事件发生必然导致事件发生,1、事件的包含,(事件的样本点都是事件的样本点),例如,抛掷两颗骰子，观察出现的点数,A=出现1点,B=出现奇数点,2、事件的相等,A=B,事件A与事件B至少有一个发生（或）,3、事件的并(和),( 由事件A与事件B所有样本点组成),多个事件的和,4、事件的交(积),事件和事件同时发生（都）,多个事件的交,(由事件和事件公共的样本点组成),5、事件的差,事件A发生且事件B不发生,（由事件A的样本点去掉事件B的样本点组成）, A 与B 互斥,A、 B不可能同时发生（不含公共的样本点）,A,B,6. 事件的互斥(互不相容), A 与B 互相对立,A,注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互斥”是不同的概念,7. 事件的对立,称B 为A的对立事件(or补事件)，记为 ，可知,交换律,结合律,分配律,对偶律 （德摩根律）,对应,（1） 三次都击中目标：,（2） 至少有一次击中目标：,（3）至少有一次没有击中目标：,（4）三次都没有击中目标：,例：复合事件的表示,练一练,A,B,C为同一样本空间的随机事件，试用A，B，C的运算表示下列事件,1） A，B，C 都不发生,2） A与B发生，C不发生,3） A，B，C 至少有一个发生,4） 事件3）的对立事件,作业,P5 习题一 2、 3、 4（1）（2）（3）（4） 5（1）（2）（3）（4）,第二章 事件的概率,排列组合有关知识复习,加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有,种不同的方法,乘法原理：完成一件事情有n 个步骤，第 i 个步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有,种不同的方法,排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地）按一定的次序排成一排,不同的 排法共有,全排列,种。,可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排, 不同的排法有,组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组， 不同的组合数记为,例1 10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。,例2 两线段MN和PQ不相交，线段MN上有6个点 ，线段PQ上有7 个点 。若将每一个 和每一个 连成不作延长的线段 ,则由这些线段 相交而得到的交点最多有A 315个 B 316个 C 317个 D 318个,A,例3：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？,第一节 概率的概念,历史上概率的三次定义, 公理化定义, 统计定义, 古典定义,苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出,设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次，,则称 为事件 A 发生的 频率,大量试验表明，在多次重复试验中，同一事件发生的频率尽管不一定相同，然而却在某一固定的常数附近摆动，呈现出相对稳定的状态。随着试验次数的增加，这种现象越显著，我们把这种“频率稳定性”称为统计规律性。如历史上，蒲丰、皮尔逊等先后做过抛掷硬币的试验：,德.摩 根,试 验 者,抛 掷 次 数n,出现正面的次数m,出现正面的频率m/n,2048,1061,0.518,蒲 丰,4040,2048,0.5069,皮尔逊,12000,6019,0.5016,皮尔逊,24000,12012,0.5005,维 尼,0.4998,14994,30000,抛掷硬币的试验Experiment of tossing coin,历史纪录,概率的统计定义,在大量重复试验中，若事件A发生的频率稳定在某一常数p附近摆动，则把这个数p称为事件 A 的概率, 记作 P(A)p.,优点：直观 易懂,缺点：粗糙 模糊,不便使用,当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频率近似的代替事件A的概率。,从频率的性质可知概率满足：,第二节 古典概型,理解概率的古典定义，会计算简单的 古典概率,设随机试验具有如下特征：,（1）试验的可能结果只有有限个；,（2）各个可能结果出现是等可能的。,则称此试验为古典（等可能）概型。,概率的古典定义,古典概型中概率的计算：,记,则,例1 设有批量为100的同型号产品，其中次品有30件。现按以下两种方式随机抽取2件产品（a）有放回抽取，即先任意抽取一件，观察后放回批中，再从中任取一件；（b）不放回抽取，即先任抽一件，抽后不放回，从剩下的产品中再任取一件。试分别按这两种抽样方式求（1）两件都是次品的概率；（2）第一件是次品，第二件是正品的概率。,解 本题为古典概型。记,A两件都是次品 B第1件是次品，第二 件是正品,（a）,在方式（b）下，,例2 某城市电话号码升位为六位数，且第一位为6或8，求（1）随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率；（2）随机抽取的电话号码末位数是8的概率。,例3 （女士品茶问题）一位常饮牛奶加茶的女士称：她能从一杯冲好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛奶。并且她在10次试验中都正确地辨别出来，问该女士的说法是否可信？,分析：判断10试验中每一次她都猜对的可能性有多大，,A在10次试验中都能猜出放置牛奶和茶的先后次序,每次试验的结果：先放牛奶后放茶；先放茶后放牛奶。,有两种可能。,10次试验结果的可能性（样本点总数）：,10次都猜对的概率为：,该女士猜对的概率非常小，所以她的说法是可信的。,例4（抽奖问题）设某超市有奖销售，投放n张奖券只有1张有奖。每位顾客可抽一张。求第k位顾客中奖的概率 。,解 抽奖券是不放回抽样。记A为所求事件的概率，到第k个顾客为止试验的样本点总数为：,A所包含的样本点数为：,于是：,第三节 几何概型,古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型，下面我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型几何概型。,1、设样本空间S是平面上某个区域，它的面积记为,几何概率 (*),注 若样本空间S为一线段或空间立体，则向S“投点”的相应概率仍可用(*)式确定，但 应理解为长度或体积。,例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，设电台每正点报时一次，他打开收音机时电台还没有报时，求他等待时间短于10分钟的概率。,解 以分钟为单位，记上一次报时时刻为0，下一次报时时刻为60，于是这个人打开收音机的时间必在(0,60)，,记“等待时间少于10分钟”为事件A，则有,于是,例2 甲乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等待对方20分钟，过时就离开。如果每个人可在一小时内的任意时刻到达，求甲乙双方见面的概率。,解 记7点为计算时刻的0时，以分钟为单位，x，y分别记为甲乙到达指定地点的时刻，则样本空间为,以A表示事件“两人会面”，则有,这是一个几何概型问题，于是：,练习 在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为。,第四节 概率的公理化定义,概率的公理化定义,掌握概率的基本性质及概率加法定理,数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而承认的前提，这些前提规定了所讨论对象的一些基本关系和所满足的条件，然后以之为基础，推演出所讨论对象的进一步内容。,设随机试验的样本空间为 ，若对每一事件A，有且只有一个实数P(A)以之对应，满足如下公理：,公理1（非负性）,公理2（规范性）,则称P(A)为事件A的概率。,概率的性质,（）（）（）,若,(包含),（互斥）,推广：对任意两个事件A, B, 有,B,B-A=B-AB,P(B-A)=P(B-AB)=,P(B)-P(AB),对任意两个事件、 ，有,加法定理,(互斥),(包含),变形：,例7 已知P(A)0.9，P(B)=0.8，试证：,解：由性质4得：,且,则,所以,例(补充）,解,(2) 由已知条件和性质3,推得必定有,已知P(A)=0.3,P(B)=0.6, (1) 事件A,B互不相容，求P(A-B)与P(B-A)； (2) 事件A,B有包含关系,求P(B-A)。,例8（生日问题）设一年3