《任意角和弧度制》教案

任意角和弧度制教案 1.1 任意角和弧度制教案 【教学目标】 1.理解任意角的概念. 2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写. 3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. 4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深. 5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. 【导入新课】 复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系 提出问题： 1初中所学角的概念. 2实际生活中出现一系列关于角的问题. 3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？ 4.1的角是如何定义的？弧长公式是什么？ 5.角的范围是什么？如何分类的？ 新授课阶段 一、角的定义与范围的扩大 1角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成 一个角?，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角?的终边、始边. 说明：在不引起混淆的前提下，“角?”或“?”可以简记为? 2角的分类： 正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3象限角： 在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30?,390?,?330?都是第一象限角；300?,?60?是第四象限角. （2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90?,180?,270?等等. 说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合” _成是“与x轴的正半轴重合”.因为 x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的 射线. 4终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30?k?360 ? ? ? ? ?k?Z? 的形式；反之，所有形如 30?k?360?k?Z?的角都与30?角的终边相同.从而得出一般规律： 所有与角?终边相同的角，连同角?在内，可构成一个集合 S?|?k?360?,k?Z?， 即：任一与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和. 说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同. 例1在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1）?120；（2）640；（3）?95012?. ? ? ? 解：（1）?120?240?360， 所以，与?120角终边相同的角是240，它是第三象限角； （2）640?280?360， 所以，与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角； （3）?95012?12948?3?360， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以，?95012?角终边相同的角是12948?角，它是第二象限角. ? ? 例2 若?k?360?1575?,k?Z，试判断角?所在象限. 解：?k?360?1575?(k?5)?360?225?, (k?5)?Z ?与225终边相同， 所以，?在第三象限. ? 例3 写出下列各边相同的角的集合S，并把S中适合不等式?360?720?的元素? 写出来：（1）60；（2）?21；（3）36314? ? ? ? ? 解：（1）S?|?60?k?360,k?Z， ? S中适合?360?720?的元素是 60?1?360?300?, 60?0?360?60?, ?60?1?360?420. ? （2）S?|?21?k?360,k?Z， ? S中适合?360?720?的元素是 ?21?0?360?21?, ?21?1?360?339?, ?21?2?260?699? ? （3）S?|?36314?k?360,k?Z ? S中适合?360?720?的元素是 363?14?2?360?356?46?, 363?14?1?360?3?14?, ?363?14?0?360?363?14.例4 写出第一象限角的集合M 分析：（1）在360内第一象限角可表示为0?90； （2）与0,90终边相同的角分别为0?k?360,90?k?360,(k?Z)； （3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? M?|k?360?90?k?360?,k?Z? 学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法： P?|90?k?360?180?k?360?,k?Z?； N?|90?k?360?180?k?360?,k?Z?； Q?|270?k?360?360?k?360?,k?Z? 说明：区间角的集合的表示不唯一. 例5写出y?x(x?0)所夹区域内的角的集合. ? 解：当?终边落在y?x(x?0)上时，角的集合为?|?45?k?360,k?Z； ? ? 当?终边落在y?x(x?0)上时，角的集合为?|?45?k?360,k?Z； ? ? 所以，按逆时针方向旋转有集合：S?|?45?k?360?45?k?360,k?Z ? 二、弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的换算： 360?=2?（rad）， 180?=? rad. 1?= ? 180 rad?0.01745rad. ? ?180? 1rad?57.30?5718. ? o S l 2弧长公式：l?r?. 由公式：? ln?r?l?r?.比公式l?简单. r180 1 lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径. 2 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 3扇形面积公式 S?注意几点： 1 今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略，如：3表示3rad ， sin?表示?rad角的正弦； 2一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 3应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系. 任意角的集合 实数集R 例6 把下列各角从度化为弧度： (1)252?；（2）1115；(3) 30；(4)67?30. 解：(1) / 71 ? （2）0.0625? (3) ? (4) 0.375? 56 变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22o30；（2）-210o；(3)1200o. 解：(1) ?；（2）? 18720?；(3)?. 63 例7 把下列各角从弧度化为度： （1）?；(2) 3.5；(3) 2；(4) 3 5?. 4 解：（1）108 o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o. 变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1） ?4?3? ；（2）-；（3）.12310 解：（1）15 o；（2）-240o；（3）54o. 例8 知扇形的周长为8cm，圆心角?为2rad，求该扇形的面积. 解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4. 课堂小结 1弧度制的定义； 2弧度制与角度制的转换与区别； 3牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用； 1.1.1任意角 教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立 适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义 教学难点：“旋转”定义角 课标要求：了解任意角的概念 教学过程： 一、复习 师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。 生：略 师：上节课我们还学习了所有与角终边相同的角的集合的表示法，板书 0S=|=+k360，kZ 这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。 二、例题选讲 00例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-360720的元素 写出来： 000，（1）60； （2）-21； （3）36314 0000解：（1）S=|=60+k360，kZS中适合-360720的元素是 00000000060+（-1）360=-30060+0360=6060+1360=420. 0000（2）S=|=-21+k360，kZ S中适合-360720的元素是 000 000 000 -21+0360=-21 -21+1360=339-21+2360=699 0000说明：-21不是0到360的角，但仍可用上述方法来构成与-21角终边相同的角的集合。 0，000（3）S=|=36314+k360，kZ S中适合-360720的元素是 0，00， 0，00，0，00，36314+（-2）360=-3564636314+（-1）360=31436314+0360=36314 说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。 例2写出终边在下列位置的角的集合 (1)x轴的负半轴上；（2）y轴上 分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个 0角即，然后在后面加上k360即可。 0解：（1）在0360间，终边在x轴负半轴上的角为180，终边在x轴负半轴上 00的所有角构成的集合是|=180+k360，kZ 000（2）在0360间，终边在y轴上的角有两个，即90和270，与90角终边相 00同的角构成的集合是S1=|=90+k360，kZ 000同理，与270角终边相同的角构成的集合是S2=|=270+k360，kZ 提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？ 师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化： 0000S1=|=90+k360，kZ =|=90+2k180，kZ ?（1） 00000S2=|=270+k360，kZ =|=90+180+2k180，kZ 00=|=90+（2k+1）180，kZ ?（2） 0师：在（1）式等号右边后一项是180的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是 00180的所有奇数（2k+1）倍。因此，它们可以合并为180的所有整数倍，（1）式和（2）式 可统一写成90+n180（nZ），故终边在y轴上的角的集合为 0000S= S1S2 =|=90+2k180，kZ |=90+（2k+1）180，kZ 00=|=90+n180，nZ 处理：师生讨论，教师板演。 提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？ 00（思考后）答：|=k180，kZ ,|=k90，kZ 进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？ 00答：|=45+n180，nZ 0推广：|=+k180，kZ ，有何关系？（图形表示） 处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。 例1 若?是第二象限角，则2?，00?，分别是第几象限的角？ 23 师：?是第二象限角，如何表示？ 0000解：（1）?是第二象限角，90+k360 0000 180+k7202?360+k720 2?是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上。 （2）k?180?45? 2?k?180?90(k?Z)， 处理：先将k取几个具体的数看一下（k=0，1，2，3?），再归纳出以下规律： ?是第一象限的角； 22 ?当k?2n?1(n?Z)时，n?360?225?n?360?270(k?Z)，是第三象限的22当k?2n(n?Z)时，n?360?45?n?360?90?(k?Z)， 角。 ?是第一或第三象限的角。 2 ?是第一或第二或第四象限的角） 3说明：配以图形加以说明。 （3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。（ 进一步求?是第几象限的角（?是第三象限的角），学生练习，教师校对答案。 三、例题小结 1 要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的； 2 要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如 0=a+k120（kZ）所表示的角所在的象限。 四、课堂练习 练习2 若?的终边在第一、三象限的角平分线上，则2?的终边在y轴的非负半轴上. 练习3 若?的终边与60角的终边相同，试写出在（0，360）内，与000?角的终边相同的3 角。 （20，140，260） （备用题）练习4 如右图，写出阴影部分（包括边界）的角 0，的集合，并指出-95012是否是该集合中的角。 000 （| 120+k360250+k360，kZ；是） 0000 探究活动 经过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度？ 五、作业 A组: 1与 终边相同的角的集合是_，它们是第_象限的角，其中最小的正角是_，最大负角是_ 2在0o360o范围内，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： （1）265? （2）1000o （3）843o10 （4）3900o B组 3写出终边在x轴上的角的集合。 4写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式360o360o的元素写出来： (1)60o (2)75o (3) 824o30 (4) 475o (5) 90o (6) 270o (7) 180o (8) 0oC组：若 是第二象限角时，则 ， ， 分别是第几象限的角？ 教学准备 1.教学目标 1、知识与技能 （1）推广角的概念、引入正角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义； （3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念. 2、过程与方法 通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转2周”，角有正角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示. 3、情态与价值 通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.学会运用运动变化的观点认识事物. 2.教学重点/难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 3.教学用具 多媒体 4.标签 任意角 教学过程 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应 当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ 取出一个钟表,实际操作我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容任意角. 【探究新知】 1初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？ 展示投影角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边， 叫终边，射线的端点叫做叫的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体” （即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? 展示如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle). 展示课件如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为. 3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必