第四章--随机变量的数字特征PPT课件

第四章随机变量的数字特征,4.1数学期望,3,4.1数学期望,布莱士帕斯卡,两个赌徒甲、乙向他提出了一个问题：甲乙两个人赌博，两人获胜的机率相等，约定谁先赢满5局，谁就获得100法郎。甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？,甲的期望所得值就是00.25+1000.75=75乙的期望所得值就是00.75+1000.25=25,一、数学期望的由来,设X为甲获得的法郎，Y为乙获得的法郎,4,4.1数学期望,二、离散型随机变量的数学期望,定义：设离散型随机变量X的分布律为P(X=xk)=pk,k=1,2,若级数绝对收敛，则称级数为随机变量X的数学期望，记为E(X),即,5,4.1数学期望,关于定义的几点说明,(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的算术平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.,(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.,6,4.1数学期望,例1：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。,解：X的分布律为：,7,4.1数学期望,例2：某车站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望。,8:108:308:50到站时刻9:109:309:50概率,8,4.1数学期望,例3：,9,4.1数学期望,三、连续型随机变量的数学期望,10,4.1数学期望,例4：,11,例5：设X的概率密度为求解：,4.1数学期望,12,4.1数学期望,几种重要分布的数学期望,13,4.1数学期望,四、随机变量函数的数学期望,1.离散型随机变量函数的数学期望,若Y=g(X),且,则有,14,4.1数学期望,例6设,X,-202,0.40.30.3,P,则E(X)=-20.4+00.3+20.3=-0.2,E(X2)=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8,E(3X2+5)=3E(X2)+5=13.4（思考）,15,4.1数学期望,2.连续型随机变量函数的数学期望,若X是连续型r.v,其密度为f(x),则g(X)的期望为,16,例7：,4.1数学期望,17,4.1数学期望,1.设C是常数,则有,证明,2.设X是一个随机变量,C是常数,则有,证明,例如,五、数学期望的性质,18,4.1数学期望,4.设X,Y是相互独立的随机变量,则有,3.设X,Y是两个随机变量,则有,一般地，E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),19,数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.,2.数学期望的性质,4.1数学期望,六、小结,4.2方差,21,4.2方差,现有两批灯泡，第一批灯泡寿命为:一半约950小时,另一半约1050小时,平均寿命为1000小时;第二批灯泡寿命为一半约1300小时,另一半约700小时,平均寿命为1000小时。问题：哪批灯泡的质量更好？(质量更稳定),单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。,22,4.2方差,一、方差的定义,1、方差是一个特殊的函数g(X)=X-E(X)2的期望；2、方差用来度量随机变量与其数学期望（即均值）的偏离程度。,23,4.2方差,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,二、方差的计算,(1)利用定义计算,24,4.2方差,证明,(2)利用公式计算,25,4.2方差,证明,三、方差的性质,(1)设C是常数,则有,(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有,证明,26,4.2方差,(3)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则,证明,注：相互独立时，乘积的期望等于期望的乘积。,27,4.2方差,综上：设X,Y相互独立,E(X),E(Y),D(X),D(Y)存在,a,b,c是常数,则,注意：对任意的随机变量X、Y都有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),28,例1：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为：,解：,4.2方差,29,4.2方差,例2：,解：,30,4.2方差,解,例3：,31,4.2方差,解,例4：,于是,32,4.2方差,解,