八下勾股定理复习课件

八下勾股定理复习课件 粤大文化 勾股定理 一、基础知识点： 勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2?b2?c2 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 .勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 D C H根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 E 常见方法如下： 1 方法一：4S? S正方形EFGH?S正方形ABCD，4?ab?(b?a)2?c2，化简可证 2 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的 b A c B ba c a b b cb 1 面积与小正方形面积的和为S?4?ab?c2?2ab?c2 大正方形面积为 212 S?(a?b)2?a?2ab?2 b 所以a2?b2?c2方法三：S梯形?(a?b)?(a?b)， 2 a a Aa Db E11S梯形?2S?ADE?S?ABE?2?ab?c2，化简得证 a 22 BCb .勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 .勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在?ABC中，?C?90?，则c，b，a知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一 些实际问题 .勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a，b，c满足a2?b2?c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2?b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2?b2?c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2?b2?c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； 定理中a，b，c及a2?b2?c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2?c2?b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 粤大文化 勾股定理的逆定理在用问题描述时， _成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 .勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2?b2?c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 用含字母的代数式表示n组勾股数： n2?1,2n,n2?1（n?2,n为正整数）； 2n?1,2n2?2n,2n2?2n?1（n为正整数）m2?n2,2mn,m2?n2（m?n,m，n为正整数） 勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解 .勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 .勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常 C C C 见图形： A B ADB BD A B D A 10、互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 二、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例.在?ABC中，?C?90? 已知AC?6，BC?8求AB的长 已知AB?17，AC?15，求BC的长分析：直接应用勾股定理a2?b2?c2 解：AB10 BC8 题型二：利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 粤大文化 DEF是直角三角形，且DEF=90. 注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。 题型四：利用勾股定理求线段长度 例题4 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长. 解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。 详细解题过程如下： 解：根据题意得RtADERtAEF AFE=90, AF=10cm, EF=DE 设CE=xcm， 则DE=EF=CDCE=8x 在RtABF中由勾股定理得： AB+BF=AF，即8+BF=10， BF=6cm CF=BCBF=106=4(cm) 在RtECF中由勾股定理可得： EF=CE+CF，即(8x)=x+4 6416x+x=2+16 x=3(cm),即CE=3 cm 注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。 题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直 例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？ 解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4，矩形ABCD表示桌面形状，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结MN，测量MN的长度。 如果MN=15,则AM+AN=MN,所以AD边与AB边垂直； 如果MN=a15,则9+12=81+144=225, a225,即9+12 a，所以A不是直角。利用勾股定理解决实际问题 例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 粤大文化 解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图6 所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，BCMN,BCAN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。 题型六：旋转问题： 例1、如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合， 若AP=3，求PP的长。 变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=求ABC的边长. 分析：利用旋转变换，将BPA绕点B逆时针选择60，将三条线段集中到同一个三角形中， 根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形. 变式2、如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC上的点，且EAF=45， 试探究BE、CF、EF间的关系，并说明理由. 题型七：关于翻折问题 例1、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B 恰好落在CD边上的点G处，求BE的长. 变式：如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿直线AD翻折，点C落在点C的位置， BC=4,求BC的长. 题型八：关于勾股定理在实际中的应用： 例1、如图，公路MN和公路在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距 2 2 2 新青岛版八年级下册勾股定理复习 1、勾股定理的内容： 数学语言：_ 自然语言： 对应练习：求下列直角三角形中边的长: a b 如果两条直角边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 . 对应练习：.以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（ ） （1）3，4，5 ；（2 （3）32，42，52；（4）0.03，0.04，0.05 A1个 B2个 C3个 D4个 3. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A5 B25 C7 D5或7 4已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则RtABC的面积是（ ） A. 24cm2B. 36cm2C. 48cm2D. 60cm2 5、有6根细木棒，它们的长度分别是2,4,6,8,10,12，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别是（） A、2,4,8B、4,8,10C、6,8,10D、8,10,12 6等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为_ 7直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为8、如图，电线杆AC的高为8m，从电线杆AC的顶端A绳固定在地面上的B点，测得BC的长为6m,这跟钢丝绳的长度是多少? 9、如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？ 12米 10如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？ 11（10分）如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，若DA=10km,CB=15km，DAAB于A，CBAB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距A多远处？ 1 12、如图所示，点D是ABC上的一点，若AB=10，AD=8，AC=17，BD=6，求BC的长. xx年7月 19-20 日初二升初三 小班 10:00-12:00 李吉祥 复习内容：勾股定理 典型例题： 例1已知：在ABC中，C=90，A、B、C的对边为a、b、c。 求证：a2b2=c2。 证明：拼成如图所示，其等量关系为4S+S小正=S大正4 例2已知：在ABC中，C=90，A、B、C的对 边为a、b、c。 求证：a2b2=c2。 分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。 左边S=4 1 ab（ba）2=c2，化简可证。 2 A B 1 abc2 2 a 右边S=（a+b）2 左边和右边面积相等，即 4 1 abc2=（a+b）2 2 b 化简可证： 例3在RtABC，C=90 已知a=b=5,求c。 已知a=1,c=2, 求b。 已知c=17,b=8, 求a。 已知a：b=1：2,c=5, 求a。 已知b=15，A=30，求a，c。 例4已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。 分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。 例5已知：如图，等边ABC的边长是6cm。 求等边ABC的高。 A D 求SABC。 分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。欲求高CD，可将其置身于Rt ADC或RtBDC中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求 b b B C AD=CD= 1 AB=3cm，则此题可解。 2 D 例6已知：在RtABC中，C=90，CDBC于D，A=60，CD=3， 求线段AB的长。 各年级各科 一对一针对性教学 3-6人精品班 常年招生 随到随学 1 分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对C互余角，及30或45特殊角的特殊性质等。 要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。或欲求AB，可由分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊AB?AC?BC， 2 2 A D B 角，求出AC=2和BC=6。 例7已知：如图，ABC中，AC=4，B=45，A=60，根据题设可知什么？ 分析：由于本题中的ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得ACB=75。在学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及SABC。让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？ 小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出如何作辅助线？ 解略。 例8已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种B C较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。 解：延长AD、BC交于E。 A=60，B=90，E=30。 AE=2AB=8，CE=2CD=4， BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=48=4。 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=2。 S四边形ABCD=SABE-SCDE= 11 ABBE-CDDE=63 22 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形 的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。 例4（教材P76页探究3） 分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。 变式训练：在数轴上画出表示?1,2?2的点。 课堂练习 1。 2 各年级各科 一对一针对性教学 3-6人精品班 常年招生 随到随学 2如图，直角ABC的主要性质是：C=90，（用几何语言表示） A 两锐角之间的关系：； 若D为斜边中点，则斜边中线 ； 若B=30，则B的对边和斜边：； 三边之间的关系：。 222 3ABC的三边a、b、c，若满足b= ac，则 =90； 若满 足b2c2a2，则B是角； 若满足b2c2a2，则B是 角。 4根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。 5填空题 在Rt ABC，C=90，a=8，b=15，则c= 。 B在RtABC ，B=90，a=3，b=4，则c= 。 在 RtABC，C=90，c=10，a：b=3：4 ，则a= ，b= 。 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。 已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为 。 已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。 6已知：如图，在ABC中，C=60，AB=4， A B bEAC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。 7已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。 B 8小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。 9如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是米。 A 2题图 3题图4题图 10如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。 11如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因 技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？ C 12ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则各年级各科 一对一针对性教学 3-6人精品班 常年招生 随到随学 3 SABC 13ABC中，若A=2B=3C，AC=2 则,cm， C=度，BC=，SABC 14ABC中，C=90，AB=4，BC=2，CDAB于D，则，ABC 15已知：如图，ABC中，AB=26，BC=25，AC=17， 求SABC。 课后练习 1已知在RtABC中，B=90，a、b、c是ABC的三边，则 c=。（已知a、b，求c） a=。（已知b、c，求a） b=。（已知a、c，求b） 2如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有abc，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。 3在ABC中，BAC=120，AB=AC=10cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。 4已知：如图，在ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。 求证：AD2AB2=BDCD 若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。 D5填空题 在RtABC，C=90， 如果a=7，c=25，则b= 。 如果A=30，a=4，则b= 。 如果A=45，a=3，则c= 。 如果c=10 ，a-