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文档简介

第四节误差分析和解的精度改进,一、向量与矩阵的范数二、解的误差分析基本问题解的稳定性,数值分析,数值分析,定义,一、向量范数公理,数值分析,数值分析,二.几种常用线性空间的范数,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,例：证明,注意：1.等价性不等于互相代替，即在同一问题中不能混用不同的范数。2.在无限维空间中，向量范数的等价性不成立。,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,（2）算子范数,定义:设|x|是Rn上的向量范数,ARnn,则A的非负函数,称为矩阵A的算子范数,注1:矩阵的算子范数由向量范数所导出,如,注2:算子范数满足相容性,其中,ARnn,xRn,10/18,二、解的误差分析基本问题解的稳定性,数学稳定性:对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起输出数据（即数学问题的解）有很大扰动，则称数学问题是病态问题，否则称为良态问题。,数值方法的稳定性:一个算法如果输入数据有扰动（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。,引例.Hilbert矩阵的病态性,方程组Ax=b1的解为x1A(x+x)=b+b,方程组Ax=b的解为x,xx1=-2.427.0-64.842.0T,2/18,数据计算结果,证闭,前面介绍的列主元法解决了Gauss消元法由于小主元的出现所导致的舍入误差的积累，从而出现的失真的问题。但列主元法也有缺点，当方程中出现比例因子时，列主元法就无能为力了。,列主元法求解x1=x2=1,按行比例消元法:将每个方程乘上一个适当的比例因子，使方程组的最大系数的绝对值不超过1，然后再做列主元消元。,（2）（行）比例增减改善,例4应用按比例消元法求解方程组,算法按行比例列主元高斯消元法解线性方程组Ax=b,判断方程组病态的经验:用主元消去法求解时出现小主元(A非奇).某些行(或列)近似线性相关.A的元素间数量级相差很大,且无规律.,求解“病态”方程组的方法和措施:,求解“病态”方程组,轻度病态：1
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