《导数的四则运算法则练习题一

导数的四则运算法则练习题一 导数的计算 一、选择题 cosx的导数是（ ）C x sinxxsinx?cosxxcosx?cosx? A?2B?sinx C?D xx2x21、函数y? 2、曲线y?x?ex在以下哪个点处的切线斜率等于0 （）A A （0，-1） B（1，0）C （0，1）D（-1，0） 3、函数y?sinx(cosx?1)的导数是（）C 2 A cos2x?cosx B cos2x?sinx C cos2x?cosx D cosx?cosx 4、 曲线y?x?3x上切线平行于x轴的点的坐标是（ ）D A（-1，2）B （1，-2）C（1，2）D （-1，2）或(1,-2) 5、设y?a?x，则y/等于（ ）D A31 2?a?1 2?x B 1 2?xC 1 2?a?1 2?xD?1 2?x 6、若f(x)?2sin(3x?)，则f/()等于（）B 44? A 6 B -6 C 2 D -2 37、曲线y?x?x?2在P点处的切线平行于直线y?4x?1，则此切线方程是（ ）D A y?4x By?4x?4C y?4x?8D y=4x或y=4x-4 2f(x)-8x的值是 （）B x?1x-1 A 5B2 C 4D 不存在 8、已知f(1)=4,f(1)=5 则lim 二、填空题 9、函数y?xtanx的导数是_.sinxcosx?x 2cosx 5210、设f(x)?x?4x?5,则ff/(=_.2 2 211、函数y?(x?1)(x?1)在x?1处的导数是_.4 12 、函数y=log2的导数是_. 三、解答题 13、求函数y?sin(x? 14、 求函数y? 3ex+13(ex+x)ln2 1)的导数。 xx?sinxxcosx?cosx?sinx?xsinx?1的导数。 2x?cosx(x?cosx) 15、曲线y?x?1过点P的切线与曲线y?2x?1相切，求点P的坐标. 22 (? 237,) 33 16、过曲线y=x3上一点P(1,1)作该曲线的切线，求该切线的方程。 y=3x-2或y= 31x+ 44 导数的四则运算法则 一、选择题 1函数f(x)?sin2x的导数f?(x)?（ ） A2sinx 答案：D 2已知函数y?2x3?ax2?36x?24在x?2处有极值，则该函数的一个递增区间是（ ） B2sinx 2C2cosx Dsin2x 3) A(2， 答案：B ?) B(3，?) C(2，D(?，3) ，处的切线与x轴、直线x?2所围成的三角形的面积为（ ） 3曲线y?x3在点(11) A4 3B8 9C8 3D4 9 答案：C 4设f(x)? A?1 答案：D ?，则sintdtf?f?0?x?的值等于（ ） ?2?D1?cos1 B1 C?cos1 ex 5若函数y?在x?x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值（ ） x A等于0 答案：C 6定积分 B等于1 C等于1 2D不存在 ? 2 0sin2xdx的值等于（ ） 2 BA1? 421? 42 C1? 24 D?1 2 答案：A 7某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k?0)，货款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率 0.048)，为使银行获得最大收益，则存款利率为（ ） 为x(x?0， A0.032 答案：A B0.024 2 C0.04 D0.036 28若函数f(x)?xlnx(x?0)的极值点为?，函数g(x)?xlnx(x?0)的极值点为?， 则有（ ） A? 答案：A 9由曲线y?ex，y?e?x以及x?1所围成的图形的面积等于（ ） A2 答案：D 10函数f(x)?x3?3x2?3x?a的极值点的个数是（ ） A2 答案：C B1 C0 D由a确定 B2e?2 C2?B? C? D?与?的大小不确定 1 e De?1?2 e x2 0)的直线l与抛物线y?11经过点(3，的两个交点处的切线相互垂直，则直线l的斜率k2 等于（ ） A?1 6 B?1 3C1 2D?1 2 答案：A 12下列关于函数f(x)?(2x?x2)ex的判断正确的是（ ） f(x)?0的解集是?x|0?x?2?； f( 是极小值，f是极大值； f(x)既没有最小值，也没有最大值 A 答案：D 二、填空题 B C D 2313已知f(x)?x，g(x)?x，若f?(x)?g?(x)?2，则x? 答案：1?3 4x2m?1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围是 在区间(m，2x?114若函数f(x)? 答案：?1?m0 ，4)上的位移是15一个质点以速度v(t)?t?t?6（m/s）运动，则在时间间隔(1 答案：31.5m 2 16已知函数f(x)? 答案：m 三、解答题 1312x?x?2x?m的图象不经过第四象限，则实数m的取值范围是 327 6 0x1，?x，17已知作用于某一质点的力F(x)?（单位：N），试求力F从x?0处，?x2?x?11 运动到x?2处（单位：m）所做的功 答案：解：力F所做的功W? 答：力F所作的功为3J ?10xdx?(x?1)dx?12121x|02?1?2?x2?x?|1?3J 2? 18已知函数f(x)?x3?ax2?bx?cf(x)在点x?0处取得极值，并且在单调区间0，2 5上具有相反的单调性 和4， （1）求实数b的值； （2）求实数a的取值范围 解：（1）f?(x)?3x2?2ax?b，因为f(x)在点x?0处取得极值， 所以f?(0)?0，即得b?0； （2）令f?(0)?0，即3x?2ax?0， 解得x?0或x? 依题意有?22a 32a?0 3 x f?(x) f(x ) (?，0) 0 2?2?2? 0，?a?a，?a ? 333? 0 极大值 ? 0 极小值 ? 2和4，5上具有相反的单调性，所以应有2?因为在函数在单调区间0， 解得?6a?3 2a4， 3 19已知函数f(x)?x3?x?16 ?6)处的切线方程； （1）求曲线y?f(x)在点(2， （2）直线l为曲线y?f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标 解：（1）f?(x)?(x3?x?16)?3x2?1， ?在点(2，?6)处的切线的斜率k?f?(2)?3?22?1?13， ?切线的方程为y?13x?32； （2）设切点为(xx2 0，y0)，则直线l的斜率为f?(x0)?30?1， ?直线l的方程为y?(3x2?x3 0?1)(x0)?x0?x0?16 又直线l过点(0，0)， ?0?(3x23 0?1)(?x0)?x0?x0?16， ，得x3 0?8，?x0?2， ?y0?(?2)3?(?2)?16?26， l的斜率k?3?(?2)2?1?13， ?直线l的方程为y?13x，切点坐标为(?2，?26) 20如图所示，求抛物线y2?2px(p?0)和过它上面的点P?p 1?2，p?的 切线的垂线所围成的平面图形的面积 解：由题意令y?x0)， y?122p?，y?|x?p?1， 2 所以过P1点且垂直于过P1点的抛物线的切线的直线的斜率为?1 其方程为y?p?x?p? ?2? 即2x?2y?3p?0 与抛物线方程联立消去x，得y2?2py?3p2?0， 解得y?p或y?3p 又x?y? p3p，所以所求平面图形的面积为 22?y?p?dy 2p?3S?y?3p2? ?y2313?p?py?y?|?3p 226p?131?999?p2?p2?p2?p2?p2?p2? 26?222?2 ?162p 3 21甲方是一农场，乙方是一工厂由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨） 满足函数关系x?若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格） （1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （2）甲方每年受乙生产影响的经济损失金额y?0.002t（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？ 解：（1）因为赔付价格为s元/ 吨，所以乙方的实际年利润为w?st 由w?2， ?s?2?1000?令w?0，得t?t0? ?s? 当t?t0时，w?0；当t?t0时，w?0， 所以t?t0时，w取得最大值 ?1000?因此乙方取得最大年利润的年产量t0为?； ?（吨）s?2 导数的四则运算法则 1.考查形式与特点 (1).高考对函数概念的考查主要有:求函数的定义域、值域及反函数。这类题型直接通过具体问题找出函数关系，再研究函数的定义域、值域及反函数。 (2).在每年的高题中，以中等难度题型新颖的考查函数的性态即函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图象的对称性等，近两年，以组合形式一题多角度考查函数性质的高考题正成为新的热点。 (3).以比较容易的中档题来考查函数性质的灵活运用，在考查函数内容的同时也考查能否用运动、变化的函数观点观察问题、分析问题、解决问题。 (4).函数的最值问题在高考试卷中几乎年年出现，它们是高考中的重要题型之一特别是函数在经济生活中的应用问题，大多数都是最值问题，这类考题在近几年考查明显增加此类考题一要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧。二要灵活、准确地列出模型函数 (5).近几年为了突出函数在中学数学中的主线地位，高考强化了对函数推理、论证能力(代数推理题是高考的热点题型)及探索性问题的综合考查，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度这类试题或者是函数与其他知识的糅合，或者是多种方法的渗透，每道考题都具有鲜明的特色，值得深思 (6).函数与解析几何、不等式、方程、数列、参数范围、导数等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题综合在一起编拟的新颖考题，成为近几年高考中的高档解答题，以综合考查应用函数知识分析、解决问题的能力坝I试对函数思想方法的理解与灵活运用，等价转化及数形结合和分类讨论等解题策略和掌握程度这类试题每年至少会有一个 (7).高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下三个方面：运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率问题也是导数的一个重要作用，并且也是高考考查的重点内容之一.函数y=f(x)在X=Xo处的导数，表示曲线在点P(x0,f(x0)处的切线斜率运用导数的有关知识，研究函数的单调性是导数的又一重点应用，在高考中所占的地位是比较重的 2.命题趋势 由于函数在数学中具有举足轻重的地位，它仍必将是高考的一个热点，而且对能力的考查还将高于课程标准 (1)对函数的概念、基本性质及图象的考查主要以小题的形式出现 (2)函数与不等式、数列、向量、解析几何等知识的综合问题会以解答题形式出现，属于理解、灵活运用层次，难度较大 (3)通过函数应用题考查建立函数模型及解读信息的能力，将是高考命题的热点之一 (4)新课程新增内容中与函数有关的内容函数连续与极限、导数是考查的重点，所占比重将进一步加大. 典例剖析 2 例1. 已知函数f(x)=|x-2ax+b|(xR)给出下列命题： f(x)必是偶函数； f(0)=f(2)时,f(x)的图象必关于直线x=1对称； 若a-b0，则f(x)在区间0，+上是增函数； 2 f(x)有最大值|a-b| 其中正确的命题的序号是_ 解析： 显然是错误的； 由f(O)=f(2)有|b|=|4-4a+b|, 22而f(x+1)=|(x+1)-2a(x+1)+b|=|x+(2-2a)x-2a+b+l|, 22f(1-x)=|(1-x)-2a(1-x)+b|=|x-(2-2a)x-2a+b+1|， f(x+1)f(l-x)故f(x)不是关于x=1对称，所以不对 22f(x)=|(x-a)+b-a|， 22当a-b0时，b-a0， 22所以f(x)=(x-a)+b-a， 故当xa时f(x)单调递增的故正确 222当a-b0时,f(a)=|b-a|=a-b 其图象如图，所以错误 剖析： 函数的性质是试题考查的热点之一，本题涉及了函数的单调性、奇偶性、对称性以及最值，综合性较强对于多项选择填空题，由于各选项相互独立，解答时应逐一检验判断 /*例2. 已知二次函数y=f(x)经过点(0，10)，导函数f(x)=2x-5，当x(n，n+1 (xN) 时，f(x)是整数的个数记为an (1)求数列an的通项公式； (2)令bn=24，求数列an+bn的前n项和Sn(n3). anan?1 /2解析: (1) 由 f(x)=2x-5 可以设此二次函数为f(x)=x-5x+c(c为常数) 因f(x)图象过(0，10)，故c=10，故二次函数为f(x)=x-5x+10=(x- 因x(n，n+1)(nN)时，f(x)为整数的个数为an f(x)在(1，2)上的值域为4，6，al=2. f(x)在(2，3)上的值域为*25215)+，又2415，4，a2=1 4 当n3时，f(x)在(n，n+1)上单调递增，其值城为(f(n)，f(n+1) an=f(n+1)-f(n)=2n-4 ?2(n?1)? an=?1(n?2) ?2n?4(n?3)? (2)令=an+bn，则c1=a1+b1=4，c2=a2+b2=3, 当n3时 Sn=c1+c2+(c3+?+)=7+(a3+?+an)+(b3+?+bn) =7+2?(2n?4)444(n-2)+?+ 22?44?6(2n?4)(2n?2) =7+(n-1)(n-2)+2(1110n ?112?)=n-3n+. 22n?2n?1 剖析: 本题主要体现导数与函数、数列方面的综合应用. 3.应试对策 (1).由于函数内容固有的重要性，预计在以后高考试题中所占比例仍远远大于在课时和知识点中的比例(约为20)，既可以“低档题”选择、填空形式出现(如集合、映射、函数基本性质以及反函数多属此类)。也可以“中档题”、“高档题”的形式出现(多与其他问题联系在一起) (2).考试的热点内容仍以考查函数的定义域、值域、反函数及图象，运用函数性质的题型为主，其中对运用函数奇偶性、单调性、周期性、对称性的题型是重点考查内容，应予以高度重视关于函数性质的考题中，使用具体函数的约占12，而使用抽象函数的约占，33所以，针对这种高考命题形势，在复习函数性质时，应着重强化将具体函数的有关内容进行延伸，以适应高考命题的要求 (3).应充分注意函数的图象题型，这类考题往往在选择题中出现会处理“读图题型”和函数图象的平移变换、伸缩变换、对称变换等问题，灵活运用函数的图象与对称性解题 (4).在注意函数应用性问题、探索性问题和以函数为载体的综合性问题的同时，更要注意函数与导数的交叉题型. (5).导数是新教材增加的内容，近几年的高考试题与时俱进，逐步加深有关导数的高考题主要考查导数的几何意义、函数的单调性、极值，应用问题中的最值由于导数的工具性，好多问题用导数处理显得简捷明了用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为高考命题重点应引起高度注意考查的方向还是利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间a，b上的最大值或最小值，或利用求导法解应用题研究函数的单调性或求单调区间等，这些已成为高考的一个新的热点问题利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点. 高考中导数问题的六大热点 导数部分内容，由于其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题因此在高考新课程卷中占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，常以一小一大或二小一大的试题出现，分值1217分下面例析导数的六大热点问题，供参考 一、运算问题 是指运用导数的定义、常见函数的导数、函数和差积商的导数，及复合函数、隐函数的导数法则，直接求出其导数的运算问题 例1已知a?0,n为正整数.设y?(x?a),证明y?n(x?a) 证明：因为(x?a)?nnn?1 ?C k?0nkn(?a)n?kxk， 所以y?k(?a) k?0nn?kxk?1k?1n?kk?1x?n(x?a)n?1 ?nCn?1(?a)k?0n 例2 已知y(x1)，用定义法求y 求y2x3x42232?的导数 xx2 已知函数f(x) f?(1)2，求a的值 分析：对于运用导数的定义，即ylim?y，即可解决；对于可应用(uv)v?x?0?x u以及(x?)?x?1解之；对于是逆向型的复合函数导数运算问题，用yx?yu?ux及方程思想即可解决 ?y(x?x?1)2?(x?1)2 ?lim(2x?2?x)2x2 解析： ylimlim?x?0?x?x?0?x?0?x 由法则，即得y4x334?3 2xx 11?12 f?(x)(ax1)2?2ax，即f?(1)a(a1)22，解得a2 2 二、切线问题 是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题，其中： 曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的斜率k，倾斜角为?，则tan?kf?(x0) 其切线l的方程为：yy0f?(x0)(xx0)若曲线yf(x)在点P