厦门大学网络教育线性代数复习题B

厦门大学网络教育2011-2012学年第二学期线性代数复习题B一、选择题（每小题3分，共18分）1设行列式 ，则（ ）。A； B；C； D。2已知为阶非零方阵，为阶单位矩阵，若，则（ ）。A不可逆，不可逆； B不可逆，可逆；C可逆，可逆； D不可逆，可逆。3向量，线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。A，； B，；C，； D，。4若3阶方阵及，都不可逆，则的特征多项式中常数项为（ ）。A； B ； C； D。5下列命题错误的是（ ）。A相似矩阵有相同的特征多项式；B个维向量必线性相关；C矩阵是阶正交矩阵的充分必要条件是；D若矩阵的秩是，并且存在阶子式，则其所有的阶子式全为。6下列命题正确的是（ ）。A若，为同阶方阵，且，则也是对称阵； B若，且，其中为零矩阵，则；C齐次线性方程组（是矩阵）有唯一解的充分必要条件是； D设非齐次线性方程组有无穷多解，则相应的齐次线性方程组有唯一解。二、填空题(每小题3分,共18分) 7设矩阵，其中，均为四维列向量，且已知行列式，则行列式 。8若，当_时，。9与正交，则 。10已知3阶矩阵的特征值为，则矩阵（为三阶单位矩阵）的特征值为 。11设为可逆矩阵，且，则 。12若，均可逆，则可逆，且 。三、计算题(共64分)13行列式计算（10分）求行列式，其中，是阶行列式，主对角线上的元素为，其余元素为。14求解矩阵方程（10分）设，求。15线性方程组的计算（12分）设有线性方程组，问取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无限多解时求其通解。16向量组计算（10分）已知向量组，试求，的一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。17设二次型可通过正交变换化成标准型，求参数及使用的正交变换（20分）说明：（1）先将二次型表示成矩阵形式（2分）；（2）求出的值（5分）；（3）求出对应于特征值的特征向量（6分）；（4）将这些特征向量正交单位化（3分）；（5）最后写出所作的正交变换（4分）。请按上述五步顺利给出解题过程。一、选择题（每小题3分，共18分）1B。解：由行列式的性质可知。2C。解：由于，因此，均可逆，故选C。3C解：显然有，所以，线性相关，故选C。4A。解：根据定理5.1知，设是的特征值，则必有，于是不可逆，又及，都不可逆，那么，不可逆，知的特征值为，而的特征多项式中常数项的值等于。5D。解：A正确，相似矩阵有相同的特征多项式（5.2性质5）。B正确，个维向量必线性相关（定理2.5 ）。C正确，矩阵是阶正交矩阵的充分必要条件是，这是正交矩阵的定义。D错误，矩阵的秩是，若其所有的阶子式全为，则的任何阶子式都为，这与矩阵的秩为矛盾（注意矩阵的秩是，说明其存在一个阶非零子式）。6A。解：A正确，若，为同阶方阵，且，则，则也是对称矩阵。B错误，反例：，记，但。注意矩阵乘法不满足消去律，当，只有可逆时，才有。C错误，齐次线性方程（是矩阵）有唯一解的充分必要条件是。D错误，非齐次线性方程组有无穷多解，则的秩小于的列秩，即的秩小于方程未知数的个数，是相应的齐次线性方程组有无穷多解的充要条件。二、填空题(每小题3分,共18分) 7解：。8解：，又，故。9因为，正交，所以，则。10解：由，可知是的特征值，于是由的特征值，可知的特征值为，。11解：为可逆矩阵，则可写成一系列初等矩阵的乘积，由左乘得到，相当于可通过初等行变换把变成，由于初等变换不改变矩阵的秩，故，而，所以。12解：由且、可逆可知，可逆，设矩阵，使得，即，则，故；，则；，故，；，则，故所以。三、计算题(共64分)13解： （将各列分别加到第1列得） 再将第一行乘以分别加到其余各行，得14解：由，可得。由于，而，所以可逆，则。因此。15解：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有。（1）当且时，方程组有唯一解。（2）当时，方程组无解。（3）当时，方程组有无限个解，这时，由此便得通解（可任意取值）即，()。16解： 将向量，看成一个矩阵的列向量组，得矩阵对矩阵仅施以初等行变换，把化为阶梯形矩阵因此向量组，是向量组，的一个极大线性无关组，且，。17解：（1）二次型，其中，。由题意知的特征值为,。将代入，得，得，于是。（3）下面求特征向量：当时，解得方程组的基础解系为。