定积分的背景—面积和路程问题

定积分的背景面积与路程问题,高二数学选修2-1第四章定积分,以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算？,我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的.那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题.定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用.本节我们将了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念.,图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，通常称这样的平面图形为曲边梯形.,a,b,曲边梯形定义：,我们把由直线x=a，x=b(ab)，y=0和曲线y=f(x)所围成的图形叫作曲边梯形.,探究点1曲边梯形的定义,对曲边梯形概念的理解：,（1）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面图形.（2）曲边梯形与“直边图形”的主要区别在于前者有一边是曲线段而“直边图形”的所有边都是直线段.,探究点2估计曲边梯形的面积,我们曾经用正多边形逼近圆的方法(即“以直代曲”的思想)计算出了圆的面积，能否也用直边形(如矩形)逼近曲边梯形的方法求阴影部分的面积呢？,割圆术,问题1图中阴影部分是由抛物线，直线以及x轴所围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积S.,分析首先，将区间0，15等分，如图所示.,图(1)中，所有小矩形的面积之和（记为S1)显然大于所求的曲边梯形的面积，我们称S1为S的过剩估计值，有,（1）,图(2)中，所有阴影小矩形的面积之和(记为s1)显然小于所求曲边梯形的面积，我们称s1为S的不足估计值，有,.,（2）,思考：我们可以用S1或s1近似表示S，但是都存在误差，误差有多大呢？提示：二者之差为S1-s1=0.2,如图(3)中阴影所示，无论用S1还是用s1来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过0.2.,（3）,1,(4),不足估计值为,二者的差值为S2-s2=0.1，此时，无论用S2还是用s2来表示S，误差都不超过0.1.,结论：区间分得越细，误差越小.当被分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都会趋于曲边梯形的面积.,.,.,通过下面的演示我们如何做到使误差小于0.01.,输入数字，点击确定.,练一练：,求曲线y=x3与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积的估计值，并写出估计误差.（把区间0，15等分来估计）,解析把区间0，15等分，以每一个小区间左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足估计值和过剩估计值，如下：,估计误差不会超过-=0.2,探究点3估计变速运动的路程,已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t,我们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢？,问题2想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度v（单位：m/s)是时间t的函数：,请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s.,分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是v(0)=25m/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离：s=255=125(m)但显然，这样的误差太大了.为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距离.首先，将滑行的时间5s平均分成5份.我们分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4)近似替代汽车在01s、12s、23s、34s、45s内的平均速度，求出滑行距离s1：,由于v是下降的，所以显然s1大于s,我们称它为汽车在5s内滑行距离的过剩估计值.用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分别近似替代汽车在01s、12s、23s、34s、45s内的平均速度，求出汽车在5s内滑行距离的不足估计值：,不论用过剩估计值s1还是不足估计值表示s，误差都不超过：,要对区间多少等分时，才能保证估计误差小于0.1？,为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小，用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其速度误差就越小.比如，将滑行时间5s平均分成10份.用类似的方法得到汽车在5s内滑行距离的过剩估计值s2：,结论滑行时间等分得越细，误差越小.当滑行时间被等分后的小时间间隔的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值就趋于汽车滑行的路程.,汽车在5s内滑行距离的不足估计值：,无论用s2还是表示汽车的滑行距离s，误差都不超过,抽象概括,前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题，对于变速运动路程的步骤：,分割区间,过剩估计值不足估计值,逼近所求路程,所分区间长度趋于0,估计值趋于所求值,变式练习,汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=-t2+2,（单位：km/h),那么它在0t1(单位：h)这段时间内行驶的路程s是多少？（将行驶的时间1h平均分成10份）,解析分别用v(0)，v(0.1)，v(0.2)，v(0.9)近似替代汽车在00.1h，0.10.2h，0.80.9h，0.91h的平均速度，求出汽车在1h时行驶的路程的过剩估计值,=v(0)+v(0.1)+v(0.2)+v(0.9)0.1=1.715(km).,分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，v(1)近似替代汽车在00.1h，0.10.2h，0.80.9h,0.91h的平均速度，求出汽车在1h时行驶的路程的不足估计值,=v(0.1)+v(0.2)+v(0.3)+v(1)0.1=1.615(km),无论用还是估计汽车行驶的路程s,估计误差都不会超过1.715-