基本不等式及其应用

基本不等式及其应用 基本不等式及其应用 一、知识结构 二、重点叙述 1. 基本不等式模型 一般地,如果a0,b0,则 立。 我们常把 叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数, ,或 ,当且仅当a=b时等号成 即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。 拓展: 若a、bR,则 2. 基本不等式证明方法 ,当且仅当a=b时等号成立。 3.基本不等式的应用 利用基本不等式证明不等式或比较大小; 利用基本不等式求最值或求范围; 利用基本不等式解决实际问题。 三、案例分析 案例1：(1)（xx天津理）设 的最小值为 A 8 B 4 C 1D (2) （xx海南、宁夏理7）已知 ， ， 成等差数列， 若 成等比数列，则 的最小值是（ ） 分析：（1）由是与的等比中项，得 。用“1代换法”，把 看成，进而利用基本不等式求得最小值。 （2）可用直接法解之。根据等差、等比数列的“等距离”性质，把多元函数 转化为x、y的二元函数，由二元的基本不等式求其最小值。也可以用 特殊值法解决。 解：（1） 是 与 的等比中项， ，得 。 ， 当且仅当即时，“=”成立。故选择C。 成等差数列， 成等比数列， （2）（直接法） ， ，当且仅当时，等号 成立。 。故选D。 成等差数列， 成等比数列分别都为 另解： （特殊值法）令 ，则 ，故选D。 案例2：(1) （xx重庆文）已知A2 B ，则C4 的最小值是（ ） D5 (2)（xx山东理16）函数y=loga (x+3)-1(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n0，则 的最小值为_. 分析：(1)用基本不等式解之，由于两次使用基本不等式，两次的“等号”成立应该“同时”。 (2)抓住函数图象过定点，求得定点A的坐标，建立m、n的线性关系，两次应用基本不等式求得最小值，同样注意两次的“等号”成立是否“同时”？只有“同时”，最小值才存在。 (1)C；（2）8 解：(1)因为， 当且仅当(2)函数 。 点A在直线 ，且，即时，取“=”号。故选C。 的图象恒过定点A， 的坐标为 上，。 m，n0， 当且仅当，且，即时，等号成立。 所以的最小值为8。 的最大值。 ，求ab的取值范围。 案例3：(1)求函数(2)已知正数a、b满足 (3)已知a,b0，求的最大值。 分析：(1)对于无理函数，先平方，再用基本不等式“和定值积最大”求之，注意“等号”成立的条件；(2) 不等式 转化为 是a与b的和与积的等式，利用基本 的二次不等式，解二次不等式可得ab的取值范 围；(3)把化为，按的“和定值”的模型设计基 本不等式，可求得存在性。 解：(1)函数 的最大值，应用基本不等式都要注意“等号”成立的 的定义域为 ， ，。 当且仅当所以函数(2) ， ，即时，等式成立。 的最大值是 。 ，。 ， ，令 ，解得，即 ，。 ，当且仅当 ，则。 ，当且仅当 时，等号成立。 。 时，等号成立。 所以ab的取值范围是 (3) a,b0，且， ， 当且仅当，且， 即时，取得最大值。 所以的最大值为。 案例4：（xx湖北文17） 围建一个面积为360m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x，围建总费用为y(单位：元)。 （）将y表示为x的函数： （）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 分析；画图，理解题意，建立总费用的函数 ，显然 基本不等式及应用 一、考纲要求： 1.了解基本不等式的证明过程 2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 3了解证明不等式的基本方法综合法 ab222 (1)ab2ab(a，bR) (2)ab(a，bR) 2abab2ba(3)()(a，bR) (4)2(a，b同号且不为零) 22ab上述四个不等式等号成立的条件都是ab. 四、算术平均数与几何平均数 ab设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的 2算术平均数不小于它们的几何平均数 2 2 2ab 四个“平均数”的大小关系；a，bR+ ： ? a?b当且仅当a b时取等号. 五、利用基本不等式求最值：设x，y都是正数 a?b ?2 (1)如果积xy是定值P，那么当xy时和xy有最小值2P. 12 (2)如果和xy是定值S，那么当xy时积xy有最大值 . 4 强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。 等：等号成立的条件必须存在. 2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性） 3想一想:错在哪里？ (x?2)，已知函数f(x)?x?1 x?2已知函数f(x)?x?，求函数的 最小值和此时x 的取值x求函数的最小值 3 解：f(x)?x?21x?2 解:f(x)?x?x?2?2 ?x?2 当且仅当x?1即x?1时函数? 当且仅当?3即x?3时，函数xx? x?2? 取到最小值 2. 的最小值是6大家把x?2?最小值？ 入看一看，会有 什么发现？用什么方法求该函数的 11 3、已知两正数x，y满足xy1，则z(x)的最小值为_ xy 111 解一：因为对a0，恒有a2，从而z(x)(y)4，所以z的最小值是4. axy2xy2xy2 解二：zxy)22 xyxy 22 2 xy22(21)，所以z的最小值是21) xy 【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的 2 111yx1?xy?2xy2 【正确解答】 z(x)xyxyxy2， xyxyxyxyxyxy xy212112 令txy，则0 xyz有最小值. 424 误区警示： (1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件3 的满足，这是造成解题失误的重要原因如函数y12x(x0，b0，ab1，求证：4. ab 【证明】 (1)a0，b0，ab1， 11ababba2 ababab2ba1 4(当且仅当ab时等号成立) ab2 11 4.原不等式成立 ab 111 练习：已知a、b、c为正实数，且abc1，求证：1)(1)(1)8. abc 证明：a、b、c均为正实数，且abc1， 111 1)(1)(1) abc ?1a?1b?1c? abc ?bc?ac?ab?2bc2ac2ab 8. abcabc 1 当且仅当abc时取等号 3 考点2 利用基本不等式求最值 (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值 (2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法 例4： (1)设0 2x(2?x)的最大值 【分析】 由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件 【解】 (1)00， yx?42x2x?2x? x2x 22， 2 当且仅当x2x即x1时取等号， 当x1时，函数yx?42x2. 12 (2) x0，求f(x)3x的最小值； x （3）已知:x0,y0.且2x+5y=20,求 xy的最大值. （4）已知y? 4 a，求y的取值范围 a2 4 a2?26， a2 44 显然a2，当a2时，a20a(a2)22 a2a2 当且仅当a2，即a4时取等号， a2当a2时，a20，y0，且xy1，求的最小值 xy x0，y0，且xy1， 3434 ()(xy) xyxy3y4x 772 xy 3y4x 743， xy 4 a的取值范围是(，26，) a2 3y4x 当且仅当，即2x3y时等号成立， xy34 73. xy 练习： 求下列各题的最值 25 (1)已知x0，y0，lgxlgy1，求z的最小值； xy解：(1)由x0，y0，lgxlgy1，可得xy10. 252y5x210xy则2.zmin2.当且仅当2y5x，即x2，y5时等号成立 xy101012 (2)x?0，求f(x)3x的最大值； x12 x0，f(x)3x2 xf(x)的最小值是12. 4 (3)x3，求f(x)x的最大值 x3 44 x3，x30，f(x)x(x3)3 x3x34 (3x)32 3x 4 3x?31， 3x 1212 3x123x，即x2， xx 当且仅当3x，即x1时，等号成立故f(x)的最大值为1. 3x（4）a?0,b?0,4a?b?1，求ab的最大值。 考点3 利用基本不等式求最值的解题技巧 1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值 例3：（1）已知a,b?R?,a?b?3?ab，求ab的最小值。 （2）已知y?2x?x2(0?x?1)，求y的最大值。 b2 ?1，求a?b2的最大值。 （3）已知a,b?R，a?2 ? 2 （4）求函数y? （5）设abc0，求2a 2 2x?1?5?2x的最大值。 11210ac25c的最小值。 aba?ab? A2 B4 C5 D5 【分析】 通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件 11222 【解析】 原式(a10ac25c)aba(ab)aaba(ab) aba?ab? 112 (a5c)aba(ab) aba?ab?01 abab 1 a?ab?4， a?ab? 22 c时，等号成立【答案】 B 25 ab1? 当且仅当?a?ab?1 ?a5c ，即a2，b 练习： （1）(xx年浙江)设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_ 2222 解析：4xyxy1，4x4xyy3xy1 332xy22 (2xy)13xy2xy() 22238222 (2xy)1y) (2xy) 85 基本不等式及其应用 一知识结构（博闻强记，是一项很强的能力） a?b?(a?0，b?0)，当且仅当_时，等号成立 1.ab?2 a?b其中和ab分别称为正数a，b的_和_ 2 2.基本不等式的重要变形： a2?b2?_(a，b?R)?ab?_； a?b?_(a，b?R?)?ab?_ 2 a?b222?a?b? 2 经典例题：下列不等式在a、b0时一定成立的是_ 2aba? b2aba? b （1） （2 a? b2a?b2a?b2ab2aba?b （3 （4 2a? ba? b23均值定理 已知x，y?R，则： ? S2 （1）若x?y?S（和为定值），则当x?y时，积xy取得最_值； 4 （2）若x?y?P（积为定值），则当x?y时，和x?y取得最_值2P 利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。 二题型选编(熟能生巧,在有限时间内提高解题效率的最佳方法) 题组一：利用不等式求最值 例1：求下列各题的最值： 4?x的最小值； x?3 52（2）x?R，求f(x)?sinx?1?的最小值； sin2x?1 4（3）0?x?，求f(x)?x(4?3x)的最大值； 3（1）x?3，求f(x)? （4）已知x?0,y?0,且 变式练习： 1设a,b?R，且a?b?3，则2?2的最小值是 第- 1 页 ab19?1,求x?y的最小值。 xy A6 B42 C22D26 2下列不等式中恒成立的是 A x2?214x2?4?2 Bx?2 C?2 D2?3x?2 xxx2?2x2?5 B当x?0时,x?1?2 x3下列结论正确的是 A当x?0且x?1时,lgx?1?2 lgx C当x?2时,x?11的最小值为2 D当0?x?2时,x?无最大值 xx 4若x,y是正实数， 则(x?y)(?1 x4)的最小值为 y A6 B 9 C 12 D 15 5若正数a、b满足ab?a?b?3，则a?b的取值范围是 A9,?) 6,?) C(0,9 D(0,6) 6设y?R，且4y2?4xy?x?6?0，则x的取值范围是 A?3?x?3 B?2?x?3Cx?2或x?3 Dx?3或x?2 7下列函数中最小值是4的是 44 By?sinx? xsinx 12?3,x?0 Cy?21?x?21?x Dy?x?2x?1Ay?x? 8若关于x的方程9?(4?a)?3?4?0有解，则实数a的取值范围是 A(?,?8?0,?)B(?,?4C(?8,4D(?,?8 9已知x?xx51，则函数y?4x?2?的最大值 。 44x?5 2a2?2a?110已知a?2，p?，q?2?a?4a?2则 a?2 Ap?q Bp?q Cp?q Dp?q 11已知函数f(x)?lg(5?x4?m)的值域为R，则m的取值范围是（ ） 5x A.(?4,?) B. ?4,?)C.(?,?4)D. (?,?4 xy12.设x,y?R,a?1,b?1，若a?b? 3，a?b?11?的最大值为。 xy 13若ab1，P lga?lgb，Q?lga?lgb?，Rlg?第- 2 页 12?a?b?，则P、Q、R的大小关系?）2? 是 ； 题组二：利用基本不等式解应用题 例2：某造纸厂拟建一座平 面图形为矩形且面积为162平 的 三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示), 如果 墙建造单价为248 池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计. （1）试污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出 总造价； 方米池四元/米,最低 （2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求 出 最低总造价. 变式练习： 1某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x的函数关系为y?(x?6)2?11(x?N?),则每辆客车营运多少年，其运营的年平均利润最大 少小时？ 3某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需 运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为 4某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房 （1）把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域； （2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？ 25某校要建一个面积为392 m的长方形