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一、偏导数的定义及其计算法,第二节偏导数和全微分,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如在处,解,证,解,例,证,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,、偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在连续.,一元函数中在某点可导连续，,多元函数中在某点偏导数存在连续，,4、偏导数的几何意义,如图,几何意义:,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,二、高阶偏导数,解,解,问题：,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,解,课堂思考题,思考题解答,不能.,例如,解,证,原结论成立,解,不存在,解,解,解,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,三、全微分的定义,全增量的概念,全微分的定义,事实上,四、可微的条件,证,总成立,同理可得,一元函数在某点的导数存在微分存在,多元函数的各偏导数存在全微分存在,？,例如，,则,当时，,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，,证,（依偏导数的连续性）,同理,习惯上，记全微分为,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,解,所求全微分,解,解,所求全微分,证,多元函数连续、可导、可微的关系,证,令,则,同理,不存在.,证,五、复合函数的为分法：链式法则,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数称为全导数.,解,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,链式法则如图示
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