大学物理课后习题答案第七章a

大学物理课后习题答案第七章a 第七章 振动学基础 一、填空 1简谐振动的运动学方程是简谐振动系统的机械能是 。 2简谐振动的角频率由决定，而振幅和初相位由决定。 3.达到稳定时，受迫振动的频率等于 ，发生共振的条件 。 4质量为10-2的小球与轻质弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8?t?2?)的规律3 做运动，式中t以s为单位，x以m为单位，则振动周期为初相位速度最大值 。 5物体的简谐运动的方程为x?Asin(?t?)，则其周期为 6一质点同时参与同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为x1?0.1cos(?t?)，x2?0.1cos(?t?)，其合振动的振幅为 ，初相位44? 为。 7一质点同时参与两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为x1?0.06cos(?t? 4)，x2?0.05cos(?t?5?)，其合振动的振幅为 ，初相4 位为。 8相互垂直的同频率简谐振动，当两分振动相位差为0或?时，质点的轨迹是 当相位差为 二、简答 1简述弹簧振子模型的理想化条件。 2简述什么是简谐振动，阻尼振动和受迫振动。 ?3?或时，质点轨迹是 。 22 ?3用矢量图示法表示振动x?0.02cos(10t?),(各量均采用国际单位). 6 三、计算题 7.1 质量为1010-3的小球与轻质弹簧组成的系统，按X=0.1cos（8?t+2?/3）的规律做运动，式中t以s为单位，x以m为单位，试求： （1）振动的圆频率，周期，初相位及速度与加速度的最大值； （2）最大恢复力，振动能量； （3）t=1s，2s，5s，10s等时刻的相位是多少？ （4）画出振动的旋转矢量图，并在图中指明t=1s，2s，5s，10s等时刻矢量的位置。 7.2 一个沿着X轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示，如果在t=0时刻，质点的状态分别为： （1）X0=-A； （2）过平衡位置向正向运动； （3）过X=A/2处向负向运动； （4）过X=A 2处向正向运动。 试求出相应的初相位之值，并写出振动方程。 7.3 做简谐振动的小球速度的最大值为0.03ms-1，振幅为0.02m，若令速度具有正最大值的时刻为t=0，试求： （1）振动周期； （2）加速度的最大值； （3）振动的表达式。 7.4 有一系统做简谐振动，周期为T，初位相为零，问在哪些时刻，物体的动能和势能相等？ 7.5 一轻弹簧下挂一质量为0.1的砝码，砝码静止时，弹簧伸长0.05m，如果把砝码向下拉0.02m释放，求其振动频率，振幅和能量。 7.6 如图所示，两轻弹簧与物体m串联置于光滑水平面上，两端固定于墙面。试证，在这种情况下，振动频率为 f? 度 12?K1?K2，式中k1，k2为两弹簧的劲m 系数，m为物体的质量。 7.7已知两个同方向简谐振动： X1=0.05cos（10t+3/5?），X2=0.06cos（10t+1/5?）， 式中x以m计，t以s计。 求合振动的振动和初相位； 另有一同方向简谐振动x3=0.07cos（10t+?），问?为何值时，x1+x3的振幅最小？ ?为何值时，x2+x3的振幅最小？ 用旋转矢量法表示（1）和（2）的结果。 第七章 振动学基础答案 一、填空 1x?Acos?t?，E?121kA或m?2A2 2系统自身的性质，初始条件 22 0.25s,?3强迫力的频率，强迫力的频率等于系统的固有频率 4? 3,0.8?(m/s2) 52? ?,? 2 60.14，0 70.01，? 8直线，正椭圆 4 二、简答 1简述弹簧振子模型的理想化条件。 弹簧为轻弹簧，其质量可忽略。物体可视为质点，所受阻力忽略不计。 2简述什么是简谐振动，阻尼振动和受迫振动。 振动系统在线性回复力作用下，在平衡位置附近做的周期性的振动，称为简谐振动。 系统在阻力作用下作振幅不断减小的振动叫阻尼振动。系统在周期性外力作用下所做的振动叫受迫振动。 ?3用矢量图示法表示振动x?0.02cos(10t?),(各量均采用国际单位). 6 三、计算 7.1 质量为1010-3的小球与轻质弹簧组成的系统，按 X=0.1cos（8?t+2?/3）的规律做运动，式中t以s为单位，x以m为单位，试求： (1)振动的圆频率，周期，初相位及速度与加速度的最大值； (2)最大恢复力，振动能量； (3)T=1s，2s，5s，10s等时刻的相位是多少？ (4)画出振动的旋转矢量图，并在图中指明t=1s，2s，5s，10s等时刻矢量的位置。 解：（1）将小球的振动方向与简谐振动的方程比较： X=Acos（?t+?） x=0.1cos（8?t+ 圆周率：?8?； 2?） 3 2?1=s； ?4 2?初相位： ?= 3 2dx速度： v=-A?sin（?t+?）=-0.18?sin（8?t+?） 3dt周期：T= Vmax=0.18?=2.5m/s 加速度： a=dv2=-?2Acos（?t+?）= （8?）20.1cos（8?t+?） 3dt amax=0.1（8?）2=6.4?2=63.1m/s2 （2）最大恢复力： F=m amax =1010-363.1N=0.631N 1KA2=0.032 J 2 222(3)t=1s 8? ?=?t+?=8?1+?=8? 333 222t=2s时16?=8?2+?=16? 333 222t=3s时40?=8?5+?=40? 333 222t=3s时80? ?=810+?=80?333 2(4)当t=1s时 ?=8?，矢量的位置和t=0时重合。 3 2 当t=2s时 ?=16?，矢量的位置和t=0时重合。 3 2 当t=5s时 ?=40?，矢量的位置和t=0时重合。 3 2 当t=10s时 ?=80?，矢量的位置和t=0时重合。 3振动能量： E=EK+ EP= 7.2 一个沿着X轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示，如果在t=0时刻，质点的状态分别为： （1）X0=-A； （2）过平衡位置向正向运动； （3）过X=A/2处向负向运动； 第七章 静电场中的导体和电介质 一、基本要求 1掌握导体静电平衡的条件及静电平衡时导体电荷的分布规律； 2学会计算电容器的电容； 3了解介质的极化现象及其微观解释； 4了解各向同性介质中D和E的关系和区别； 5了解介质中电场的高斯定理； 6理解电场能量密度的概念。 二、基本内容 1导体静电平衡 （1）静电平衡条件：导体任一点的电场强度为零 （2）导体处于静电平衡时：导体是等势体，其表面是等势面；导体表面的场强垂直于导体表面。 （3）导体处于静电平衡时，导体内部处处没有净电荷存在，电荷只能分布在导体的表面上。 2电容 （1）孤立导体的电容C? q V 电容的物理意义是使导体电势升高单位电势所需的电量。电容是导体的重要属性之一，它反映导体本身具有储存电荷和储存电能的能力。它的大小仅由导体的几何形状、大小和周围介质决定，与导体是否带电无关。 （2）电容器的电容 C? q VA?VB q为构成电容器两极板上所带等量异号电荷的绝对值。VA?VB为A、B两极间电 势差。电容器电容与电容器形状、大小及两极间介质有关，与电容器是否带电无关。 （3）电容器的串并联 串联的特点：各电容器的极板上所带电量相等，总电势差为各电容器上电势差之和。等效电容由 1111 进行计算。 ? CC1C2Cn 并联的特点：电容器两极板间的电势差相等，不同电容器的电量不等，电容大者电量多。等效电容为C?C1?C2?Cn。 （4）计算电容的一般步骤 设两极带电分别为?q和?q，由电荷分布求出两极间电场分布。 由VA?VB?E?dl求两极板间的电势差。 AB 根据电容定义求C?3电位移矢量D q VA?VB 人为引入的辅助物理量，定义D?0E?P，D既与E有关，又与P有关。说明D不是单纯描述电场，也不是单纯描述电介质的极化，而是同时描述场和电介质的。定义式无论对各向同性介质，还是各向异性介质都适用。 对于各向同性电介质，因为P?e?0E，所以D?0?rE?E。 4D，E，P之间的关系 D?0E?P 对各向同性电介质D?E。D的高斯定理：?D?dS?qi D线起于正自由电荷，止于负自由电荷。 5电场能量 ?e? 1 D?E 2 1 We?edV?D?EdV 2VV 三、习题选解 7-1如图所示，在一不带电的金属球旁有一点电荷?q，金属球半径为R，已知?q与金属球心间距离为r。试求：（1）金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度E及此时球心处的电势V；（2）若将金属球接地，球上的净电荷为多少？ 解：（1）由于导体内部的电场强度为零，金属球上感应的电荷在球心处产生的电场强度E与点电荷?q在球心处产生的电场强度E?大小相等，方向相反。 E?E? q4?0r2 题7-1图 E的方向由O指向?q 点电荷?q在球心处的电势为 Vq? q4?0r 金属球表面感应电荷在球心的电势为VR，由于球表面感应电荷量总和为零， VR?dq4?0R ? 14?0 dq?0 R s s 故球心电势为Vq和VR的代数和 V?Vq?VR? q4?0r （2）若将金属球接地，金属球是一个等势体，球心的电势V?0。设球上净电荷为q?。球面上的电荷在球心处的电势为 VR?dq4?0R s ? 14?0Rq4?0r dq? s q?4?0R 点电荷?q在球心的电势为Vq? 由电势叠加原理V?VR?Vq?0 VR?Vq q?4?0R ? q4?0r q? Rq r 7-2如图所示，把一块原来不带电的金属板 B移近一块已带有正电荷?Q的金属板A，平行放置。 1234 设两板面积都是S，板间距是d，忽略边缘效应。求： Q （1）B板不接地时，两板间的电势差； （2）B板接地时，两板间电势差。 题7-2图 解：（1）如图，设A、B两金属板各表面的面电荷密度分别为?1、?2、?3、?4。由静电平衡条件可知 ?1?2?3?4 ?2?2?2?2?0?0000 ? ?1?2?3?4?0?2?02?02?02?0 ?1?4 解得 ? ?2?3 又 ?4?3?0?1S?2S?Q 故 ?1?2?4? Q 2S ?3? 两板间为匀强电场，电场强度 Q 2S E? ?1?2?3?4Q ? 2?02?02?02?02?0S Qd 2?0S 两板间的电势差 U?Ed? ?1?4?0? Q （2）若B板接地，则有? ?23?S? 两板间的电场强度E? ?2?3Q ? 2?02?0?S0 Qd ?0S 两板间的电势差U?Ed? 7-3A、B为靠得很近的两块平行的大金属平板，板的面积为S，板间距离为 d，使A、B板带电分别为qA、qB，且qA?qB。求： （1）A板内侧的带电量； （2）两板间的电势差。 解：（1）如图，设A、B两板各表面的 电荷面密度分别为?1、?2、?3、?4。 ?S?2S?qA 由题意 ?1 ?3S?4S?qB又由静电平衡条件（参考题7-2）得 ?1?4 ? ?2?3 题7-3图 qA?qB? ?4?12S 由、解得 ? q?q?AB 23?2S? 故板内侧的带电量q2?2S? qA?qB 2 习题精解 7-1一条无限长直导线在一处弯折成半径为R的圆弧，如图7.6所示，若已知导线中电流强度为I,试利用比奥萨伐尔定律求：（1）当圆弧为半圆周时，圆心O处的磁感应强度；（2）当圆弧为1/4圆周时，圆心O处的磁感应强度。 解（1）如图7.6所示，圆心O处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。因为圆心O位于直线电流AB和DE的延长线上，直线电流上的任一电流元在O点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB和DE段在O点不产生磁场。 根据比奥萨伐尔定律，半圆弧上任一电流元在O点产生的磁感应强度为 dB? ?0Idl 2 4?R 方向垂直纸面向内。半圆弧在O点产生的磁感应强度为B? ? ?R ?0Idl?0I?0I ?R? 4?R24?R24R 方向垂直纸面向里。 （2）如图7.6（b）所示，同理，圆心O处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。因为圆心O位于电流AB和DE的延长线上，直线电流上的任一电流元在O点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB和DE段在O点不产生磁场。 根据毕奥萨伐尔定理，1/4圆弧上任一电流元在O点产生的磁感应强度为 dB? ?0Idl 4?R2 方向垂直纸面向内，1/4圆弧电流在O点产生的磁感应强度为 ?R B? ? 2 ?0Idl?0I?R?0I ? 4?R24?R228R 方向垂直纸面向里。 7.2 如图7.7所示，有一被折成直角的无限长直导线有20A电流，P点在折线的延长线上，设a为，试求P点磁感应强度。 解 P点的磁感应强度可看作由两段载流直导线AB和BC所产生的磁场叠加而成。AB段在P点所产生的磁感应强度为零，BC段在P点所产生的磁感应强度为B? ?0I (cos?1?cos?2) 4?r0 式中?1? ? 2 ,?2?,r0?a 。所以 B? ?0I? (cos?cos?)?4.0?105(T) 4?a02 方向垂直纸面向里。 7-3 如图7.8所示，用毕奥萨伐尔定律计算图中O点的磁感应强度。 解 圆心 O处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成， AB段在P点所产生的磁感应强度为 B? ?0I ?cos?1?cos?2? 4?r0 1 式中?1?0,?2? ? 6 ,r0?r2 ，所以 B? ?0I?0I?cos0?cos?1? 2?r?6?2?r? 方向垂直纸面向里。 同理，DE段在P点所产生的磁感应强度为 B?圆弧段在P点所产生的磁感应强度为B? ?0I?5?0I? cos?cos?1? ?2?r?6?2?r? ? 2? 30 ?0Idl?0I2?0I ?r?22 4?r4?r36r ?0I?0I?0I 1?1? ?2?r?2?r?6r O点总的磁感应强度为 B?B1?B2?B3? 方向垂直纸面向里。 7-4 如图7.9所示，两根长直导线沿半径方向接到粗细均匀的铁环上的A、B两点，并与很远处的电源相接，试求环中心O点的磁感应强度。 解 因为O点在两根长直导线上的延长线上，所以两根长直导线在O点不产生磁场，设第一段圆弧的长为l1，电流强度为I1，电阻为R1，第二段圆弧长为l2，电流强度为I2，电阻为R2，因为1、2两段圆弧两端电压相等，可得 I1R1?I2R2 电阻R? 1 ，而同一铁环的截面积为S和电阻率是相同的，于是有 S I1l1?I2l2 由于第一段圆弧上的任一线元在O点所产生的磁感应强度为 dB1? ?0I1dl 4?R2 方向垂直纸面向里。 第一段圆弧在O点所产生的磁感应强度为 B1? ? l1 ?0I1dl?0I1l1 ?22 4?R4?R 方向垂直纸面向里。 同理，第二段圆弧在O点所产生的磁感应强度为 B2?方向垂直纸面向外。 ? l2 ?0I2dl?0I2l2 ? 4?R24?R2 2 铁环在O点所产生的总磁感应强度为 B?B1?B2? ?0I1l1?0I2l2 ?0 4?R24?R2 7-5 在真空中有两根互相平行的截流长直导线L1和L2，相距0.1m，通有方向相反的电流如图7.10所示，求L1,L2所决定的平面内位于L2两侧各距L2为0.05mI1?20A,I2?10A， 的a,b两点的磁感应强度为B。 解 截流长直导线在空间产生磁感应强度为 B? ?0I 2?x 长直导线在a,b两点产生磁感应强度为 B1a?方向垂直纸面向里 长直导线L2在a,b两点产生的磁感应强度为B2a?长直导线L2在a点产生磁感应强度为 Ba?B1a?B2a?方向垂直纸面向里 在b点产生磁感应强度为 ?0I1?0I1 ,B1b? 2?0.052?0.15 ?0I2?0I2 ,B2b? 2?0.052?0.05 ?0I1?0I2 ?1.2?10?4(T) 2?0.052?0.05 Bb?B1b?B2b? ?0I1?0I2 ?1.33?10?5(T) 2?0.152?0.05 方向垂直纸面向外 7-6 如图7.11（a）所示载流长直导线中的电流为I，求通过矩形面积CDEF的磁通量。 解在矩形平面上取一矩形面元dS?ldx（如图7.11（b）截流长直导线的磁场穿过该面 ?0I?I dS?0ldx 2?x2?x b?I?Ilb0 通过矩形面积的总磁通量为?m?ldx?0ln a2?x2?a 7-7 一载流无限长直圆筒，内半径为a，外半径为b，传到电流为I，电流沿轴线方向流动， 元的磁通量为 d?m? 并均匀的分布在管的横截面上，求磁感应强度的分布。 解 建立如图7.12所示半径为r的安培回路，由电流分布的对称性，L上各点B值相等，方向沿圆的切线，根据安培环路定理有 ?B?dl?cos?dl?B?dl?B2?r?I? L L L ?0I? 可得 B? 2?r 其中I?是通过圆周L内部的电流. 3 当r?a时，I?0,B?0 ?0Ir2?a2I(r2?a2) 当a?r?b时， I? ,B? b2?a22?rb2?a2 当r?b时，I?I?,B? ?0I 2?r 7-8 一根很长的电缆由半径为R1的导体圆柱，以及内外半径分别为R2和R3的同轴导体圆柱构成。电流I从一导体流出，又从另一导体流回，电流都沿轴线方向流动，并均匀分布在其横截面上，设r为到轴线的垂直距离，试求磁感应强度随r的变化。 解 由电流分布具有轴对称性，可知相应的磁场分布也具有轴对称性，根据安培环路定理，有 ?B?dl?b?dl?B2?r?I? L L ?0I? 可得 B? 2?r 其中是通过圆周L内部的电流， ?IrIr2 当r?R时， I?2,B?0 R12?R12 当R1?r?R2时， I?I,B? ?0I 2?r 222 ?0IR32?r2I(r2?R2)I?R3?r?,B?当R2?r?R3 时， I?I? 222 R32?R2R32?R22?rR32?R2 当r?R3时，I?0,B?0 7-9一根很长的同轴电缆，由一导线圆柱（半径为a）和一同轴的导线圆管（内、外半径分 别为b、c）构成。使用时，电流I从一导体流出，从另一导体流回。设电流都是均匀分布在导体的横截面上，求：（1）导体圆柱内（rc）各点处磁感应强度的大小。 解 如图7.13所示，由电流分布具有轴对称性可知，相应的磁场分布也具有轴对称性。根据安培环路定理有 可得 B? ?Bdl?B?dl?B2?r?I? L L ?0I? 2?r 其中I?是通过圆周L内