2016年湖南省永州市高考数学理科预测卷（二）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年湖南省永州市高考数学预测卷（理科）（二） 一、小题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1等比数列 足 ， 1，数列 足 ， = ） A 23 B 19 C 17 D 18 2在 ， c=2， 当 a=的 两解，则 取值范围是（ ） A（ 1， 2） B（ 1， ） C（ ， 2 ） D（ 2， 2 ） 3已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A 24 B 36 C 48 D 54 4有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的 3 个小球上分别标上号码 1、 2、 3，现任取出 3 个，它们的颜色与号码均不 相同的概率是（ ） A B C D 5某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 6九章算术 “勾股 “章有一题： “今有二人同立甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？ ”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3，乙一直向东走，甲先向南走十步，后又斜向北偏东合适方向走了一段后与乙相遇甲、乙各走了多少步？甲、乙分别走多少步？（ ） A 20、 8 B 24、 10 C 、填空题（共 2 小题，每小题 5 分，满分 10 分） 7在平面直角坐标系 ，双曲线 =1 的渐近线与椭圆 + =1（ a b 0）交于第一、二象限内的两点分别为 A、 B，若 外接圆的圆心为（ 0， a），则双曲线 离心率为 _ 第 2 页（共 18 页） 8已知函数 f（ x） =g（ x） =b+x 1），存在实数 a（ a 1），使 y=f（ x）的图象与 y=g（ x）的图象无公共点，则实数 b 的取值范围为 _ 二、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 9设数列的前项和为 是等差数列，已知 ， + + =15 （ ）求数列 通项公式； （ ）令 ，设数列 前 n 项和为 10如图，在四棱锥 P ，底面 矩形， ， 平面 ， E 为线段 的一点 （ ）求证：平面 平面 （ ）若二面角 P E 与二面角 E D 的大小相等，求 长 11某商店每天（开始营业时）以每件 150 元的价格购入 A 商品若干（ A 商品在商店的保鲜时间为 10 小时，该商店的营业时间也恰好为 10 小时），并开始以每件 300 元的价格出售，若前 6 小时内所购进的 A 商品没有售完，则商店对没卖出的 A 商品将以每件 100 元的价格低价处理完毕（根据经验， 4 小时内完全能够把 A 商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进 A 商品）该商店统计了 50 天 A 商品在每天的前 6 小时内的销售量，由于某种原因销售量频数表中的部分数据被污损而不能看清，制成如表（注：视频率为概率） 前 6 小 时内的销售量 N（单位：件） 3 4 5 频数 10 x y （ ）若某天商店购进 A 商品 6 件，在前 6 个小时中售出 4 件，若这些产品被 6 名不同的 顾客购买，现从这 6 名顾客中随机选 2 个进行服务回访，则恰好一个是以 300 元价格购买的顾客，另一个以 100 元购买的顾客的概率是多少？ （ ）若商店每天在购进 5 件 A 商品时所获得的平均利润最大，求 x 的取值范围 12已知椭圆 C： + =1（ a b 0），过椭圆的 右焦点 F 任作一条直线交椭圆 C 于 A，B 两点，过椭圆中心任作一条直线交椭圆 C 于 M， N 两点 （ ）求证： 斜率之积为定值； （ ）若 2a|，试探究直线 直线 倾斜角之间的关系 13已知函数 f（ x） =x+ a R （ ）讨论函数 f（ x）极值点的个数； 第 3 页（共 18 页） （ ）如果区间 1， e（ e=上总存在一点 a（ ）成立，求 a 的取值范围 请考生在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 14如图， 接圆的切线， 延长线交直线 点 D， E， F 分别为弦弦 的点，且 E=F， B， E， F， C 四点共圆 （ ）证明： 接圆的直径； （ ）若 E=过 B， E， F， C 四点的圆的面积与 接圆面积的比值 选修 4标系与参数方程 15选修 4 4：坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 相同的长度单位，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，已知曲线 极坐标方程为 =4线 参数方程为 （ t 为参数， 0 ），射线 =， =+ ， = 与曲线 于（不包括极点 O）三点 A、 B、 C （ I）求证： | | （ ）当 = 时， B， C 两点在曲线 ，求 m 与 的值 选修 4等式选讲 16已知函数 f（ x） =|3x+2| （ ）解不等式 f（ x） 4 |x 1|； （ ）已知 m+n=1（ m， n 0），若 |x a| f（ x） + （ a 0）恒成立，求实数 a 的取值范 围 第 4 页（共 18 页） 2016 年湖南省永州市高考数学预测卷（理科）（二） 参考答案与试题解析 一、小题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1等比数列 足 ， 1，数列 足 ， = ） A 23 B 19 C 17 D 18 【考点】 数列递推式 【分析】 由已知求出等比数列的公比，得到等比数列的通项公式，再由 =得数列 公差为 2 的等差数列，则 求 【解答】 解：在等比数列 ，由足 ， 1，得 ， q=3， 则 ， 则 ， =， 即 2， 又 ， +（ 10 1） （ 2） = 17 故选： C 2在 ， c=2， 当 a=的 两解，则 取值范围是（ ） A（ 1， 2） B（ 1， ） C（ ， 2 ） D（ 2， 2 ） 【考点】 正弦定理 【分析】 正弦定理可得： 得 ，解得 C= 当a=的 两解，可得 2 出即可得出 【解答】 解： 正弦定理可得： A （ 0， ）， 0， 又 C （ 0， ）， ，解得 C= 当 a=的 两解， 2 解得 2 2 ， 则 取值范围是（ 2， 2 ）， 故选： D 第 5 页（共 18 页） 3已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A 24 B 36 C 48 D 54 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个四棱柱，把四棱柱放在长方体中，由三视图求出几何元素的长度，根据勾股定理和正弦定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出答案 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个四棱柱，把四棱柱放在长方体中，如图： 长方体的高是 2、底面是以 3 为边长的正方形， 设 0 是四棱柱外接球的球心， O是上底 外接圆的圆心，则 1， 由三视图得 C=2，则 、 ， 上底 等腰梯形，如图： E= ，则 A= ， 在 ， = = ， 在 ，由正弦定理得， 2 = =2 ，则 ， 四边形 接于同一个圆， 在 ， O2+=6， 该几何体的外接球的表面积 S=44， 故选： A 第 6 页（共 18 页） 4有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的 3 个小球上分别标上号码 1、 2、 3，现任取出 3 个，它们的颜色与号码均不相同的概率是（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 根据排列组合求出，所有的基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可 【解答】 解：红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的 3 个小球上分别标上号码 1、 2、 3，现任取出 3 个，共有 4， 它们的颜色和号码均不相等的取法有 2 1=6 种， 故它们的颜色号码均不相等的概率是 = ， 故选： A 5某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个组合体：左边是半个圆锥，右边是四分之一个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积， 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个组合体： 左边是半个圆锥，右边是四分之一个圆柱（斜切半圆柱）， 且圆柱的底面半径是 1、母线长是 2；圆锥的底面半径、高都是 1， 几何体的体积 V= = = ， 故选： C 第 7 页（共 18 页） 6九章算术 “勾股 “章有一题： “今有二人同立甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？ ”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3，乙一直向东走，甲先向南走十步，后又斜向北偏东合适方向走了一段后与乙相遇甲、乙各走了多少步？甲、乙分别走多少步？（ ） A 20、 8 B 24、 10 C 考点】 三角形中的几何计算 【分析】 设甲、乙相遇经过的时间为 x，由题意画出图形，由勾股定理列出方程求出 x，即可求出答案 【解答】 解：设甲、乙相遇经过的时间为 x，如图： x， 0， x 10， A=90， 即（ 7x 10） 2=102+（ 3x） 2， 解得 x= 或 x=0（舍去）， 甲走了 ，乙走了 ， 故选： D 二、填空题（共 2 小题，每小题 5 分，满分 10 分） 7在平面直角坐标系 ，双曲线 =1 的渐近线与椭圆 + =1（ a b 0）交于第一、二象限内的两点分别为 A、 B，若 外接圆的圆心为（ 0， a），则双曲线 离心率为 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由双曲线 =1，可得渐近线为 y= x，与椭圆方程联立解得 A，利用两点之间的距离公式可得： = a，解得 利用双曲线 即可得出 【解答】 解：由双曲线 =1，可得渐近线为 y= x， 第 8 页（共 18 页） 联立 ，解得 A ， 则 = a， 化为： 4ab+， 解得 =2 双曲线 离心率 = = 故答案为： 8已知函数 f（ x） =g（ x） =b+x 1），存在实数 a（ a 1），使 y=f（ x）的图象与 y=g（ x）的图象无公共点，则实数 b 的取值范围为 （ ， + 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 若 y=f（ x）的图象与 y=g（ x）的图象无公共点，则等价为 f（ x） g（ x） 0 或 f（ x） g（ x） 0 恒成立，利用参数分离法，转化为求函数的最值，构造函数，求函数的导数，利用导数进行求解即可 【解答】 解：若 y=f（ x）的图象与 y=g（ x）的图象无公共点， 则等价 为 f（ x） g（ x） 0 或 f（ x） g（ x） 0 恒成立， 即 b x 1） 0 或 b x 1） 0 恒成立， 即 x 1） b 或 x 1） b 恒成立， 设 h（ x） =x 1），则函数 h（ x）的定义域为（ 1， +）， 函数的导数 h（ x） =2x a = ， 当 a 1 时， ， 故 x （ 1， ）时， h（ x） 0， x （ ， +）时， h（ x） 0， 即当 x= 时，函数 h（ x）取得极小值同时也是最小值 h（ ） = ， 设 G（ a） =h（ ） = ， 则 G（ a）在 1， +）上为减函数， G（ a）的最大值为 G（ 1） = ， 故 h（ x）的最小值 h（ ） ， 第 9 页（共 18 页） 则若 x 1） b， 则 b + 若 x 1） b 恒成立，则不成立， 综上 b + 故答案为：（ ， + 二、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 9设数列的前项和为 是等差数列，已知 ， + + =15 （ ）求数列 通项公式； （ ）令 ，设数列 前 n 项和为 【考点】 数列递推式；数列的求和 【分析】 （ ）由 是等差数列，且 ， + + =15，得到等差数列的公差，求得等差数列的通项公式，进一步求得 由 n 1 即可得出数列 通项公式； （ ）由 ， n+1，得 Sn=n（ n+2）则 n 为奇数， = ， n 为偶数， =2n+1然后分组求和，利用裂项求和及等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ ） 是等差数列， ， + + =15， 3 ，即 = +d（ 3 1），即 5=3+2d，解得 d=1 ， Sn=n n 1=n（ n 1） 2 2（ n 1） =2n+1（ n 2）， 当 n=1 时，也成立 n+1； （ ）由 ， n+1，得 Sn=n（ n+2）， 则 n 为奇数时， = ， n 为偶数时， n+1， 第 10 页（共 18 页） ， 则 =2n+1 c1+1） +（ c2+ =（ 1 ） +（ ） +（ ） +（ 23+25+22n+1） =1 + = 10如图，在四棱锥 P ，底面 矩形， ， 平面 ， E 为线段 的一点 （ ）求证：平面 平面 （ ）若二面角 P E 与二面角 E D 的大小相等，求 长 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）推 导出 而 面 此能证明平面 平面 （ ）过 P、 E 作 垂线，交 M、 N，过 M、 N 作 平行线交 G、 H，则 二面角 P A 的平面角， 二面角 E A 的平面角，由题意得 此能求出 长 【解答】 证明：（ ） 面 又 矩形， D=A， 面 平面 平面 解：（ ）过 P、 E 作 垂线，交 M、 N， 则 底面 底面 过 M、 N 作 平行线交 G、 H，连结 则 二面角 P A 的平面角， 二面角 E A 的平面角， 由题意得 ， ， ， ，解得 第 11 页（共 18 页） 11某商店每天（开始营业时）以每件 150 元的价格购入 A 商品若干（ A 商品在商店的保鲜时间为 10 小时，该商店的营业时间也恰好为 10 小时），并开始以每件 300 元的价格出售，若前 6 小时内所购进的 A 商品没有售完，则商店对没卖出的 A 商品将以每件 100 元的价格低价处理完毕（根据经验， 4 小时内完全能够把 A 商品低价处理完 毕，且处理完毕后，当天不再购进 A 商品）该商店统计了 50 天 A 商品在每天的前 6 小时内的销售量，由于某种原因销售量频数表中的部分数据被污损而不能看清，制成如表（注：视频率为概率） 前 6 小时内的销售量 N（单位：件） 3 4 5 频数 10 x y （ ）若某天商店购进 A 商品 6 件，在前 6 个小时中售出 4 件，若这些产品被 6 名不同的 顾客购买，现从这 6 名顾客中随机选 2 个进行服务回访，则恰好一个是以 300 元价格购买的顾客，另一个以 100 元购买的顾客的概率是多少？ （ ）若商店每天在购进 5 件 A 商品时所获得的平均利润最 大，求 x 的取值范围 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ ）根据排列组合，可以求出总的事件的个数和满足条件的基本事件的个数，根据概率公式计算即可； （ ）设销售 A 商品获得利润为 X，则商店每天购进的 A 商品的件数取值可能为 3 件， 4件， 5 件，分别求出其利润，根据题意列出不等式解得即可 【解答】 解：（ ）恰好一个是以 300 元价格购买的顾客，另一个以 100 元价格购买的顾客的概率是 A， 则 P（ A） = = ； （ ）设销售 A 商品获得利润为 X，（单位，元），以题意，视频率为概率，为追求更多的利润， 则商店每天购进的 A 商品的件数取值可能为 3 件， 4 件， 5 件， 当购进 A 商品 3 件时， 50 3=450， 当购进 A 商品 4 件时， 50 4 60， 当购进 A 商品 5 件时， +150 5 =670 4x， 由题意 670 4x 560，解得 x 28，又知 x 50 10=40， 所以 x 的取值范围为 28， 40 x N* 第 12 页（共 18 页） 12已知椭圆 C： + =1（ a b 0），过椭圆的右焦点 F 任作一条直线交椭圆 C 于 A，B 两点，过椭圆中心任作一条直线交椭圆 C 于 M， N 两点 （ ）求证： 斜率之积为定值； （ ）若 2a|，试探究直线 直线 倾斜角之间的关系 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ ）设 A（ M（ N（ 由 =1， =1，两式相减，得 = ，由此能证明 定值 （ ）当弦 在直线的斜率不存在时， 弦 在直线的斜率均存在时，设弦 弦 斜率分别为 A（ B（ M（ N（ 则直线 方程分别为 y=x c）， y=别与椭圆 C 联立方程组，求出 | |推导出弦 弦 在直线的倾斜角相等或互补 【解答】 证明：（ ）设 A（ M（ N（ 由 =1， =1， 两式相减，得 + =0，即 = ， ， ， 为定值 解：（ ）当弦 在直线的斜率不存在时， | ， |2b， 弦 此椭圆的短轴， 此时， 当弦 在直线的斜率均存在时， 不妨设弦 弦 斜率分别为 A（ B（ M（ N（ x4， 则直线 方程分别为 y=x c）， y= 由 ， 得 ， 第 13 页（共 18 页） ， ， | | = = = ， 同理，由 ， 得 ， ， | | = =2， | ，即 2a =4， 即 2a =4， 即 =（ ， a b， ， 弦 弦 在直线的倾斜角相等或互补， 弦 弦 斜率有一个存在，一个不存在时，满足题意 13已知函数 f（ x） =x+ a R （ ）讨论函数 f（ x）极值点的个数； 第 14 页（共 18 页） （ ）如果区间 1， e（ e=上总存在一点 a（ ）成立，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ ）求出函数的定义域，函数的导函数， a 1 时， a 1 时，分别求解函数的单调区间，从而求出极值点的个数； （ ）转化已知条件为函数 h（ x）在 1， e上的最小值 h（ x） 0，利用第（ 1）问的结果，通过 a e 1 时， a 0 时， 1 e a 0 时，分别求解函数的最小值，推出所求 a 的范围 【解答】 解：（ ） f（ x） =x+ 义域为（ 0， +）， f（ x） =1 = = ， 当 0 a 1 1，即 1 a 2 时， 令 f（ x） 0，解得： x 1 或 0 x a 1， 令 f（ x） 0，解得： a 1 x 1， f（ x）在（ 0， a 1）递增，在（ a 1， 1）递减，在（ 1， +）递增， f（ x）有 2 个极值点； a 1=1 即 a=2 时， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， +）递增， f（ x）没有极值点； a 1 1 即 a 2 时，令 f（ x） 0，解得： x a 1 或 x 1， 令 f（ x） 0，解得： 1 x a 1， f（ x）在（ 0， 1）递增，在（ 1， a 1）递减，在（ a 1， +）递增， f（ x）有 2 个极值点 当 a 1 0，即 a 1 时，令 f（ x） 0，解得： x 1，令 f（ x） 0，解得： 0 x 1， f（ x）在（ 0， 1）递减，在（ 1， +）递增， f（ x）有 1 个极值点； 综上：当 1 a 2，或 a 2 时， f（ x）有 2 个极值点，当 a 1 时 f（ x）有 1 个最小值点；a=2 时 f（ x）没有极值点； （ ）由题意可知，在 1， e上存在一点 a（ ）成立， 即在 1， e上存在一点 得 f（ 0， 即函数 f（ x）在 1， e上的最小值 f（ x） 0， 当 a 1 e，即 a e+1 时， h（ x）在 1， e上单调递减， f（ x） f（ e） =e+ a 0， a ， e+1，此时存在 f（ 0 成立； 当 a 1 1，即 a 2 时， f（ x）在 1， e上单调递增， f（ x） f（ 1） =1+1 a 0， a 2，故 a=2 当 1 a 1 e，即 2 a e+1 时， f（ x） f（ a 1） =a 2 a 1） 0， 第 15 页（共 18 页） 0 a 1） 1， 0 a 1） a， 0 f（ a 1） a 2， 此时存在 f（ 0 成立 综上可得所求 a 的范围是： a 2 请考生在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 14如图， 接圆的切线， 延长线交直线 点 D， E， F 分别为弦弦 的点，且 E=F， B， E， F， C 四点共圆 （ ）证明： 接圆的直径； （ ）若 E=过 B， E， F， C 四点的圆的面积与 接圆面积的比值 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ I）由已知与圆的切线的性质可得 用 B， E，F， C 四点共圆，可得 0，即可证明 （ 接 于 0，可得过 B， E， F， C 四点的圆的直径为 E，有 C，又 A=2得 B可得出 【解答】 （ I）证明： 接圆的切线， A，由题设知： = ， 故 B， E， F， C 四点共圆， 0 0，因此 接圆的直径 （ 2）解：连接 0， 过 B， E， F， C 四点的圆的直径为 由 E，有 C， 又 A=2 而 B 故 B， E， F， C 四点的圆的面积与 外接圆面积的比值为 第 16 页（共 18 页） 选修 4标系与参数方程 15选修 4 4：坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 相同的长度单位，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，已知曲线 极坐标方程为 =4线 参数方程为 （ t 为参数， 0 ），射线 =， =+ ， = 与曲线 于（不包括极点 O）三点 A、 B、 C （ I）求证： | | （ ）当 = 时， B， C 两点在