对数与对数运算教案

对数与对数运算教案 2.2.1 对数与对数运算（三课时） 教学目标：1理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质 2理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程 3熟练运用对数的性质和对数运算法则解题 4对数的初步应用. 教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则 教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导 教学方法：学导式 教学过程设计 第一课时 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？ 20 生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2）=1.07220，所 20 以20年后国民生产总值是原来的1.072倍 师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题也就是上面学习的指数问题 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？ 师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4 x 倍列方程得:1.072=4 我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题 师：（板书）一般地，如果a（a0，a1）的x次幂等于N，就是a?N，那么数x就叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式 对数这个定义的认识及相关例子: (1)对数式logaN实际上就是指数式中的指数x的一种新的记法 (2)对数是一种新的运算是知道底和幂值求指数的运算 实际上a?N这个式子涉及到了三个量a，x，N，由方程的观点可得“知二求一”知道a，x可求N，即前面学过的指数运算；知道x（为自然数时）、N可求a，即初中学过的开根号运算， ?a；知道a,N可以求x，即今天要学习的对数运算，记作logaN= x因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数请同学注意这种运算的写法和读法 师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数 师：（板书）对数logaN（a0且a1）在底数a=10时，叫做常用对数(mon logarithm)，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数(natural logarithm)，记作lnN，其中e是个无理数，即e2.718 28? 师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式为了更深入认识并记忆 x x 1?1? (1)5 ?625;(2)2?;(3)?5.73 64?3? 4 ?6 m 练习2 把下列对数形式写成指数形式： (1)log116?4;(2)lg0.01?2;(3)ln10?2.303 2 练习3 求下列各式的值： （两名学生板演练习1，2题（过程略），一生板演练习三） 2 因为2=4，所以以2为底4的对数等于2 因为5=125，所以以5为底125的对数等于3 （注意纠正学生的错误读法和写法） 例题（教材第73页例题2） 师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？ 生：a0且a1；xR；NR 师：NR？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零） x 生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而a=N中N总是正数 师：要特别强调的是：零和负数没有对数 师：定义中为什么规定a0，a1？ （根据本班情况决定是否设置此问） 生：因为若a0，则N取某些值时，x可能不存在，如x=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，x不存在，如log02不存在；当N为0时，x可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，x不存在，如log13不存在，N为1时，x可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值因此，我们规定：a0，a1 x （此回答能培养学生分类讨论的数学思想这个问题从a=N出发回答较为简单） 练习4 计算下列对数： 3 lg10000，lg0.01，2log4，3log27，10lg105，51og1125 2 35 师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想 生：2生：3 log24 =4这是因为log4=2，而2=4 2 2 log327lg105 =27这是因为log327=3，而3=27 =105 logN 1og1125 3 生：10 生：我猜想aa?N，所以55=1125 师：非常好这就是我们下面要学习的对数恒等式 师：（板书） alogaN?N（a0，a1，N0）（用红笔在字母取值范围下画上曲线） （再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明）（学生讨论，并口答） 生：（板书） 证明：设指数等式a=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以a=aa?N 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义 b 师：（分析小结）证明的关键是设指数等式a=N因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明 b b logN 师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件 生：a0，a1，N0 师：接下来观察式子结构特点并加以记忆 （给学生一分钟时间） 师：（板书）2 =？24=？ log8log2 生：22=8；24=2 师：第2题对吗？错在哪儿？ 师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？ （经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式） 生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式aa?N （师用红笔在两处a上重重地描写） 师：最后说说对数恒等式的作用是什么？ 生：化简！ 师：请打开书74页，做练习4（生口答略） 师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质 师：负数和零有没有对数？并说明理由 x 生：负数和零没有对数因为定义中规定a0，所以不论x是什么数，都有a0，这 x 就是说，不论x是什么数，N=a永远是正数因此，由等式x=logaN可以看到，负数和零没有对数 师：非常好由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的知识来研究对数 师：（板书）性质1：负数和零没有对数 师：1的对数是多少？ 生：因为a=1（a0，a1），所以根据对数定义可得1的对数是零 师：（板书）1的对数是零 师；底数的对数等于多少？ 1 生：因为a=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于1 师：（板书）底数的对数等于1 师：给一分钟时间，请牢记这三条性质 练习：课本第74页练习1、2、3、4题。 作业：课本第86页习题2.2A组题第1、2题。 logN log82 log2 第二课时 师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下 a?a?a生： mnm?n (m,nZ)；(am)n?amn (m,nZ)；(ab)n?an?bn (nZ)， 师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则（板书） （1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即 loga（MN）=logaM+logaN （请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明） 师：我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式 pq 师：（板书）设logaM=p，logaN=q，由对数的定义可以写成M=a，N=a所以 pqp+q MN=aa=a， 所以 loga（MN）=p+q=logaM+logaN 即 loga（MN）=logaM+logaN 师：这个法则的适用条件是什么？ 生：每个对数都有意义，即M0，N0；a0且a1 师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆 生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算 师：非常好例如，（板书）log2（3264）=？ 生：log2（3264）=log232+log264=5+6=11 师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用降级运算它使计算简化 师：（板书）log62+log63=？ 生：log62+log63=log6（23）=1 师：正确由此例我们又得到什么启示？ 生：这是法则从右往左的使用是升级运算 师：对对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用真正领会法则的作用！ 师：（板书）（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数 师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习 （给学生三分钟讨论时间） pq 生：（板书）设logaM=p，logaN=q根据对数的定义可以写成M=a，N=a所以 师：非常好他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的大家再想一想，在证明法则（2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论那么，我们是否还有其它证明方法？ 生：（板书） 师：非常漂亮他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2）他的证法要比书上的更简单这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用事实上，这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛 师：法则（2）的适用条件是什么？ 生：M0，N0；a0且a1 师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆 生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算 师：（板书）lg20-lg2=？ 师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法 师：（板书） 例1 计算： （学生上黑板解，由学生判对错，并说明理由）： （1）log93+log927=log9327=log981=2； （3）log2（4+4）=log24+log24=4； 生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则（板书） 生：第（3）题错！法则（1）的内容是： 生：第（4）题错！法则（2）的内容是： 师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时要特别注意什么？ 对数与对数运算 教案 XX大学数学与统计学院 XXX 一、教学目标 1、知识目标：理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转换；理解对数的运算性质，形成知识技能； 2、能力目标：通过实例让学生认识对数的模型，让学生有能力去解决今后有关于对数的问题，同时让学生学会观察和动手，通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一，锻炼学生的动手能力； 3、分析目标：通过让学生分组进行探究活动，在探究中分析各种思维的技巧，掌握对数运算的重要性质。 二、教学理念 为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，从学习中体会快乐。本节课我引导学生从实例出发，引发学生的思考，从中认识对数的模型，体会对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动，学生讨论的方式来加深理解，很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 三、教法学法分析 1、教法分析 新课程标准之处教师是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性。本着这一原则，在教学过程中我主要采用以下教法：实例引入法、开放式探究法、启发式引导法。 2、学法分析 “授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识。学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在学法选择上，我主要采用：观察发现法、小组讨论法、归纳总结法。 四、教材分析 本节讲对数的概念和运算性质主要是为后面学习对数函数做准备。这在解决一些日常生活问题及科研中起着十分重要的作用。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 五、教学重点与难点 重点 ：（1）对数的定义； （2）指数式与对数式的相互转化及其条件。 难点 ：（1）对数概念的理解； （2）对数运算性质的理解； （3）换底公式的应用。 六、课时安排：1个课时 七、教学过程 （一）创设情境，引入课题 问题：我们能从关系y?13?1.01x中，算出任意一个年头x的人口总数，反之，如果问“哪一年的人口总数可达到18亿，20亿，30亿?”，该如何解决？ 抛出问题，让学生思考，这就引出这节课将要学习的问题，即对数与对数运算的问题，以及指数与对数如何相互转换的问题。 （二）讲授新课 1对数的定义 x 一般地，如果a?N(a?0,且a?1),那么数x叫做以a为底N的对数，记 作 x?logaN(a?0,且a?1,N?0)， 其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 2. 两种特殊的对数 当底数为10时，称这种对数为常用对数，记为lgN?log10N； ?时，称这种对数为自然对数，记为 当底数为无理数e?2.71828 lnN?logeN。 3指数式与对数式的相互转化及其条件 当a?0,且a?1时，有如下关系 ax?N x?logaN 底数底数 指数 对数 幂 真数 通过以上直观图示可以看出，指数式与对数式虽然表示的是两种不同的运 算，但都表示a,x,N三个数之间的数量关系，在a?0,且a?1的条件下，这两种运算可以相互转化，它们互为逆运算。 例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式 （1）54?625；（2）2?6? m 1 ； 64 ?1? (3)?5.73； （4）log116?4； ?3?2（5）lg0.01?2； （6）ln10?2.303 解：（1）log5625?4（2）log2 1 ?6 64 ?4 ?1? （3）log15.73?m （4）?16 ?2?3（5）10?2?0.01 （6）e2.303?10 课堂练习1：把下列指数式写成对数式 (1)2?8 (2)2? 3 5 1 ?113 ? 2 (3)2?(4)273 23 ?1 课堂练习2：把下列对数式写成指数式 11(3)lo?(4)2log?4 (1)log39?2 (2)log1?253235 481 4. 探究对数运算的特殊性质 负数和零没有对数，即N?0； 1的对数为0，即loga1?0； 底数的对数为1，即logaa?1； 两种对数恒等式：alogaN?N和logaaN?N。 5. 探究对数的运算法则 由指数函数与对数函数的关系，可以很容易得到对数的运算性质，看如下的一个例子： 当a?0，且a?1，M?0，N?0时，由于 am?an?am?n 故可以设 M?am，N?an 那么 MN?am?n 由对数的定义可以得到 logaM?m，logaN?n， logaM?N?m?n 将m和n分别带入，那么可以得到如下结论： logaM?N?logaM?logaN 可以以此为例，让学生在课堂上推导出如下运算性质的另外两个公式： 对数运算性质： 如果a?0，且a?1，M?0，N?0，那么： （1）logaM?N?logaM?logaN （2）loga M ?logaM?logaN N （3）logaMn?nlogaM（n?R） 6. 引入实例，加深对公式的理解 例2求下列各式的值 （1）log2(47?25)； （2）lg； 解：（1） log 4 7 ? （2） lg2 5)2( ?log247?log225?7log24?5log22?7?2?5?1 ?19 ?lg102?5 25 对数与对数运算（1） 高一年级组 周晓光 1、教材的地位和作用 对数作为高一新教材的内容，被安排在第一册第二章函数中，共分三个课时完成，对数的概念是第一课时。对数概念对于高一新生来说是一个全新的概念，此前已学过指数和指数函数，明白了指数运算是：已知底数和指数求幂值，而对数是：已知底数和幂值求指数，二者是互逆关系，对数概念的学习，既加深了学生对指数的理解，又为后面对数的运算性质及对数函数的学习做了充分准备，起到了承前启后的重要作用。 2、教学目标 (1) 知识目标：理解对数的概念，了解对数与指数的互逆关系，掌握对数的性质。 (2) 能力目标：通过教学，培养学生类比，分析，转化能力，提高理解和运用数 学符号的能力 (3) 情感目标：培养学生的类比，分析，归纳能力，严谨的思维品质，探究意识。 3、教学重点与难点 重点：对数式与指数式的互化，对数的性质. 难点：对数概念的理解，对数性质的推导 重难点突破：在理解对数定义的基础上，探究对数的性质关键是抓住指数与对数之间的关系，从而推导出其它结论由学生自主探究后，引导学生填写表格。在学生得出表格后，教师再加以升华，推理得到对数式中真数的范围，以及常用的对数式。 教学过程 一，引入： 由上节课的例8知在关系y?13?1.01x中，可以算出任意一个年头x的人口总数，反之，如何求哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿 分析：上述问题实际上就是18?13?1.01x?幂值，求指数，来引入本节课 二新课讲授 首先，我们给出对数的定义： 1813 ?1.01 x 中求出x，即已知底数和 一般地，如果ax=N (a0且a1)，那么数x就叫做以a为底N的对数。 记作：x=logaN 其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 如：1.01x? 2 1813 ?x?log1.01 1813 （x就叫做以1.01为底 1813 的对数） 4?16?x?log216 （同上） (1)根据对数的定义，我们可以得到对数和指数间的关系： 分析观察：当a0且a1时，ax=N ?x=logaN（互逆关系）填下表 (2) 对数式中的真数N即是指数式中的幂，根据之前学习过的指数函数的性质，分析：N的范围是(0,)，即真数的范围应该是(0,)， (3) 两种常见的对数：常用对数，自然对数 常用对数：以10为底的对数,即把log10N简记为 lgN 自然对数：以无理数 e=2.71828为底的对数，即把logeN简记为 lnN (4) 探究：对数的性质 用对数表示x你能得到什么结论？ ax?1,ax?a? loga1?0,logaa?1（1的对数为零，底的对数为1） 2x?3，2x?0?负数和零没有对数。 对数恒等式：alog Na ? 设 ax?N则 x?logaN a loga N ?a?N x 意图：教师建立了一个有助于学生进行探究的平台，学生通过动手操作、 观察、联想、类比、思考、分析、探索，在此过程中，通过讨论， 协作构建起新知识，充分调动学生探