第二章 连续性方程与运动方程

.,第三章连续性方程与运动方程,.,Euler观点和Lagrange观点,Euler观点：流体运动的空间中固定某一位置和体积，分析这点所通过的流体的特性变化来研究整个流体的运动规律。位置和体积固定，质量随时间变化。如岸上观水，地面观测站。Lagrange观点：在流体运动的空间中选择某一固定质量的流体微元，观测者随此质点运动。观测其特征变化来研究整个流体运动规律。质量固定，位置和体积可不固定。如随船观水，气球探测。,.,物理量的时间导数,在动量、热量与质量传递过程中众多物理量如密度、速度、温度等随时间的变化率，是传递过程速率大小的量度。物理量的时间导数有三种：偏导数、全导数和随体导数。下面以测量大气的温度t随时间的变化为例说明之。气温随空间位置和时间变化，可表为tt(x,y,z,)，t为空间对时间的连续函数。,.,偏导数：某固定点处物理参数随时间的变化率。为了测定大气的温度，可以将测温计装于观测站的某个空间位置，观测者记录下不同时刻的空气温度，此时得到的温度随时间的变化以表示之，称为温度t的偏导数。全导数：物理参数由于位置和时间变化而产生的变化率（观测者在流体中以任意速度运动）。测量大气温度也可采用下述方法：将测温计装在飞机上。飞机以一定的速度v在空间飞行。观察者记录下不同时刻的空气温度*此时得到的温度随时间的变化以dtd表示之，称为温度t的全导数。全导数的表达式可由对t进行全微分得到,.,随体导数：观测者随流体随波逐流运动，即观测者在流体中与流体流速完全相同的速度运动。第三种测量大气温度的方法是将测温计装于探空气球上。此时探空气球随空气一起漂动，其速度与周围大气的速度相同。观察者记录下不同时刻的大气温度。如此获得的温度t随时间的变化称为随体导数(Substantialderivatives)亦称拉格朗日导数(Largrangianderivatives)，以Dt/D表示。,.,连续性方程的推导,单组份系统：（输出的质量流率）（输入的质量流率）累积的质量速率0在x左侧面：输入微元体积的质量流率输出微元体积的质量流率,dy,dz,ux,dy,dz,.,连续性方程的推导,于是得到x方向输出与输入微元体积的质量流率之差：同理在y方向：Z方向：,.,连续性方程的推导,（输出的质量流率）（输入的质量流率）累积的质量流率质量衡算：出入累积0,写成向量形式,.,连续性方程的进一步分析,由于密度是空间（x，y，z）和时间的连续函数，即f(x,y,z,），那么的随体导数,将连续性方程,展开，得到,于是,即,为连续性方程的另一表达形式。,.,随体导数的意义,局部导数：表示在空间的一个固定点处随时间的变化；对流导数：表示密度由一点移动到另一点时所发生的变化。；的物理意义为：当流体质点在d时间内由空间的一点（x,y,z)移动到另一点（x+dx,y+dy,z+dz)时，流体密度随时间的变化率。,.,由于,将上式对时间求随体导数，亦即,上式的左侧表示流体微元的体积膨胀速率或形变速率，右侧是速度向量的散度,.,几种特殊情况下连续方程简化,稳态流动，密度不随时间变化，即上式可简化为：对于不可压缩流体，常数，则无论稳态还是非稳态：上式为不可压缩流体的连续性方程。,即,.,例题,某一非稳态二维流场的速度分布为：ux=-2x-42，uy=2x+2y，试证明该流场中的流体为不可压缩流体。解：如流体不可压缩，则速度分量ux,uy,uz满足连续性方程。对于非稳态二维流动uz0,连续性方程化为,.,柱坐标和球坐标连续性方程式,z,x,y,(x,y,z)或（r,）,.,公式回顾：,.,连续性方程式为：,.,.,于是柱坐标连续性方程为,同理，可得球坐标连续性方程,.,运动方程,通过微分动量衡算，可以导出流体的运动方程。运动方程与连续性方程结合起来，可以处理许多流体流动问题。同时运动方程在动量、热量与质量传递过程中也是求解大量有实际意义问题的基础方程。本节在推导运动方程时采用拉格朗日观点。,.,用应力表示的运动方程,任何物体的运动，都遵循动量守恒定律即牛顿第二定律，流体的运动也不例外。将牛顿第二定律应用于运动着的流体时，可理解为：流体的动量随时间的变化率应等于作用在该流体上的诸外力向量之和，即,式中F诸外力向量之和M流体的质量；u流体的速度向量时间。,由于采用拉格朗日观点，故在推导微分动且衡算方程时，可在流场中选一固定质量的流体微元即微元系统，如图23所示，考察该微元系统随环境流体一起流动过程中的动量变化。,.,设在某一时刻，此微元系统的体积为dvdxdydz(注意其体积和位置是随时间改变的)，将牛顿第二定律应用于此微元系统得,式中，为流体的密度；为流体的加速度，之所以采用随体导数是应用了拉格朗观点的缘故；dF为作用在微元系统上的合外力。,根据力学习惯，质量与加速度的乘积，为惯性力dFi，故该式可写成：,其直角坐标系x,y和z方向的分量分别为,.,作用在流体上的外力分析,体积力：(Bodyforce)亦称质量力，是作用在所考察的流体整体上的外力，它本质上是一种非接触力。例如地球引力、带电流体所受的静电力、电流通过流体产生的电磁力等均为体积力。表面力：流体团与其周围环境流体(有时可能是固体壁面)在界面上产生的相互作用力称为表面力(surfaceforce)。表面力又称为机械力，本质上是一种接触力。流体的压力、由于粘性产生的剪力均属表面力，以Fs表示。Fs可以分解为两个分量：一个与作用表面相切，称为切向表面力或剪切力，另一个与作用表面相垂直，称为法向力。,.,体积力,令fB表示单位质量流体所受的质量力，其在直角坐标x，y，z方向上的分量分别为X，Y和Z，则,根据上述定义，可知所考察的流体微元上所受的质量力为,写成坐标分量形式为,.,表面力,单位面积上的表面力定义为表面应力或机械应力，表面应力亦可分解为法向应力和剪应力，一般记为。xy第一个下标表示应力分量的作用面与x轴垂直。第二个下标x、y、z表示应力方向为x轴、y轴和z轴方向。xx表示法向应力分量。拉伸方向（向外）为正，压缩方向（向内）为负。这三个表面应力分量中一个是法向应力分量xx另外两个是剪应力分量xy和xz。小微元流体在运动时，由于法向应力和剪应力的存在，使其发生形变。,.,六个表面，每一表面的机械应力均可分解成三个平行于x、y、z三个坐标轴的应力分量36=18个在x、y、z方向上各有六个。当小微元体体积缩小为一点时，相对表面上的法向应力与切线应力都是相应地大小相等、方向相反的。故只需采用9个机械应力就可以完全表达：3个法向分量，6个切线分量。,.,现将上图中的流体微元在xy平面的一个相应的平面分离出来加以考察。环绕该平面四周所作用的4个剪应力，可表示在右图中。由图可见，假如有一根平行于z轴的轴线或z轴本身穿过该流体微元的形心O点时，显然，出于上述这四个剪应力对于上述的旋转轴线产生力矩，而会使流体微元围绕旋转轴旋转起来。由力学的知识可知对于旋转轴线所产生的力矩应该等于流体微元的质量、旋转半径的平方以及角加速度三者的乘积。,dy/2dx/2odx/2dy/2,x,y,力矩质量旋转半径2角加速度,.,力矩质量旋转半径2角加速度,当小微元体积趋近于0使旋转半径趋近于0得，,同理：,.,用应力表示的运动方程,作用在流体微元系统上的合外力为体积力与表面力之和，即,下面首先考察微元流体系统在x方向上受到的体积力和表面力。显然,由前面的讨论可知,.,X方向表面力,简化后：,.,X方向总的外力分量dFx,又因为,则有,同理,上三式叫以应力表示的动量衡算方程，也称为以应力表示的粘性流体的运动方程，它是进一步推导奈维斯托克斯(Navier-Stokes)方程的基础。,.,问题与讨论,.,牛顿型流体的本构方程,对于牛顿型流体的一维流动，当速度梯度与y轴方向相同时，剪应力与剪切速率(或形变速率)成正比，即,剪应力,.,与速度关联起来,对于三维流动情况要复杂得多，每一剪应力与其相应两方向的形变速率有关。经分析推导，其关系为,.,法向应力,与速度关联起来,流体静止时，法向应力在数值上即为流体的静压力。当流体流动时，这一关系并不成立。它是由两部分组成的：其一是流体的压力，它使流体微元承受压缩，发生体积形变；其二由流体的粘性作用引起，它使流体微元在法线方向上承受拉伸或压缩发生线性形变。,.,下面六个剪应力和法线应力方程是直角坐标下牛顿型流体的本构方程,A,.,粘性流体的运动微分方程（Navier-Stokes方程）,将本构方程代入上式动量衡算方程，得：,整理，得,.,粘性流体的运动微分方程（Navier-Stokes方程）,5个未知数，ux，uy，uz，p加上连续性方程和状态方程f(，p)=0，5个方程，原则上可解。但由于非线性偏微分方程，目前还无法求其通解。为此，需根据实际加以简化，去掉一些项，使之可解。,运动方程的最终形式为,.,柱坐标,.,球坐标,.,球坐标,.,讨论,可以写成向量方程：,惯性力质量力压力粘性力,.,讨论,推导时假定剪应力和法向应力与变形速率为线性，假定带有一定任意性。故不能肯定N-S是流体运动真实描述，目前也没有求出N-S方程的普遍解，但就已知各别解均与实验结果吻合；方程原则上使用于层流和湍流。但实际上只能直接用于层流（湍流太复杂）；方程在一定条件下可以得到简化；,.,方程简化,对于不可压缩流体=const，则,即,代入下面Navier-Stokes方程,得到，,或者,.,将方程展开，得,.,重力项的处理,X方向受力分析：,体积力：,表面力：,受力平衡：,.,同理，得到：,叫做（EulersEquation）欧拉方程,代入不可压缩NS，得,定义pd=p-ps，其中pd为流体的动力压力(dynamicpressure)，简称动压力，它是流体流动所需要的压力，则上式化得,.,.,FluentModeling,.,混合过程动量传递,.,作业,试写出大气压力p对时间的全导数和随体导数，说明该全导数和随体导数的物理意义。对于下述各种运动情况，试采用适当坐标系的一般化连续性方程描述，并结合下述具体条件将一般化连续性方程加以简化，指出简化过程的依据。(1)在矩形截面管道内可压缩流体作稳态一维流动；(2)在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动；(