存贮论模型LINGO方法

第十一章存贮论模型,1.确定性模型，它不包含任何随机因素;,存贮论的数学模型一般分成两类：,2.带有随机因素的随机存贮模型.,存贮论模型LINGO方法,某电器公司的生产流水线需要某种零件，该零件需要靠订货得到为此，该公司考虑到了如下费用结构：(1)批量订货的订货费12000元次；(2)每个零件的单位成本为10元件；(3)每个零件的存贮费用为0.3元(件月)；(4)每个零件的缺货损失为1.1元(件月)。公司应如何安排这些零件的订货时间与订货规模，使得全部费用最少？,例11.1（问题的引入）,11.1存贮论模型简介,存贮论模型的基本概念,1存贮模型的基本要素,(l)需求率:单位时间内对某种物品的需求量,用D表示,(2)订货批量:一次订货中,包含某种货物的数量,用Q表示.,(3)订货间隔期:两次订货之间的时间间隔,用T表示.,2存贮模型的基本费用,(l)订货费:组织一次生产、订货或采购的费用，通常认为与订购数量无关，记为CD.,(2)存贮费:用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的多少和时间长短有关，记为Cp.,(3)短缺损失费:由于物品短缺所产生的一切损失费用，与损失物品的多少和短缺时间的长短有关，记为Cs.,11.2经济订购批量存贮模型（EOQ）,模型定义：不允许缺货、货物生产(或补充)的时间很短（通常近似为0）.,经济订购批量存贮模型（EOQ）有以下假设：(l)短缺费为无穷，即Cs，(2)当存贮降到零后，可以立即得到补充；(3)需求是连续的、均匀的；(4)每次的订货量不变，订购费不变；(5)单位存贮费不变。,在一个周期内，最大的存贮量为Q，最小的存贮量为0，且需求的连续均匀的，因此在一个周期内，其平均存贮量为Q/2，存贮费用为CpQ/2.,11.2.1基本的经济订购批量存贮模型（EOQ）,一次订货费为CD，则在一个周期（T)内的平均订货费为CDT.由于在最初时刻，订货量为Q，在T时刻，存贮量为0.而且需求量为D且连续均匀变化，因此，订货量Q，需求量D和订货周期T之间的关系为:T=Q/D.,一个周期内的总费用(一个单位时间内(如一年)的平均总费用）,得费用最小的订货量,令,例11.2（继例11.1),设该零件的每月需求量为800件,（1）试求今年该公司对零件的最佳订货存贮策略及费用；,（2）若明年对该零件的需求将提高一倍，则需零件的订货批量应比今年增加多少？订货次数以为多少？,解：,取一年为单位时间，由假设，订货费CD12000元次，存贮费Cp=3.6元(件年)，需求率D=96000件年，代入相关的公式得到：,编写LINGO程序（程序名：exam1102a.lg4）,MODEL:1C_D=12000;2D=96000;3C_P=3.6;4Q=(2*C_D*D/C_P)0.5;5T=Q/D;6n=1/T;7TC=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q;END,计算结果,Feasiblesolutionfoundatiteration:0VariableValueC_D12000.00D96000.00C_P3.600000Q25298.22T0.2635231N3.794733TC91073.60,例11.2,全年的订货次数为,n必须为正整数，,比较n=3与n=4时全年的费用,继续用LINGO程序计算(exam1102b.Lg4),MODEL:1sets:2times/1.2/:n,Q,TC;3endsets4data:5n=3,4;6C_D=12000;7D=96000;8C_P=3.6;9enddata10for(times:11n=D/Q;12TC=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q;13);END,例11.2,Feasiblesolutionfoundatiteration:0VariableValueC_D12000.00D96000.00C_P3.600000N(1)3.000000N(2)4.000000Q(1)32000.00Q(2)24000.00TC(1)93600.00TC(2)91200.00,得到结果,结果解释：全年组织4次订货更好一些，每季度订货一次，每次订货24000件。,例11.2,(2)若明年需求量增加一倍，则需零件的订货批量应比今年增加多少？订货次数以为多少？,用LINGO软件，直接求出问题的整数解。,编写LINGO程序(exam1102c.lg4),例11.2,MODEL:1sets:2order/1.99/:TC,EOQ;3endsets45for(order(i):6EOQ(i)=D/i;7TC(i)=0.5*C_P*EOQ(i)+C_D*D/EOQ(i);8);9TC_min=min(order:TC);10Q=sum(order(i):EOQ(i)*(TC_min#eq#TC(i);11N=D/Q;1213data:14C_D=12000;15D=96000;16C_P=3.6;17enddataEND,例11.2,程序解释：程序第2行中的99不是必须的，通常取一个适当大的数就可以了;第6行计算年订货1,2，99次的订货量，第7行计算在这样的订货量下，年花费的平均总费用。第9行求出所有费用中费用最少的一个，第10行求出最小费用对应的订货量，第11行求出相应的订货次数,经计算得到,Feasiblesolutionfoundatiteration:0VariableValueD96000.00C_P3.600000C_D12000.00TC_MIN91200.00Q24000.00N4.000000,结果解释：一年组织4次订货（每季度1次），每次的订货量为24000件，最优费用为91200元。,模型评价：它在实际使用中的效果并不理想，其原因在于：此模型没有考虑多产品、共同占用资金、库容等实际情况。,11.2.2带有约束的经济订购批量存贮模型,考虑多物品（设有m种物品），带有约束的情况。,(l)Di,Qi,Ci（i=1,2，m）分别表示第i种物品的单位需求量、每次订货的批量和物品的单价；,(2)CD表示实施一次订货的订货费，即无论物品是否相同，订货费总是相同的；,(3)Cpi（i=1,2,m）表示第i种产品的单位存贮费；,(4)J,WT分别表示每次订货可占用资金和库存总容量；,(5)wi（i=1,2,m）表示第i种物品的单位库存占用,1具有资金约束的EOQ模型,对于第i(i=1,2，m）种物品，当每次订货的订货量为Qi时，年总平均费用为,每种物品的单价为Ci，每次的订货量为Qi，则CiQi是该种物品占用的资金.因此，资金约束为,综上所述,2具有库容约束的EOQ模型,具有资金约束的EOQ模型为,3兼有资金与库容约束的最佳批量模型,对于这三种模型，可以容易地用LINGO软件进行求解,例11.3,某公司需要5种物资，其供应与存贮模式为确定型、周期利补充、均匀消耗和不允许缺货模型。设该公司的最大库容量（WT)为1500立方米，一次订货占用流动资金的上限(J)为40万元，订货费（CD）为1000元，5种物资的年需求量Di,物资单价Ci,物资的存贮费Cpi,单位占用库wi如表11-1所示，试求各种物品的订货次数、订货量和总的存贮费用。,例11.3,解：,设Ni是第i(i=1,2,5)物品的年订货次数，,相应的整数规划模型,数,MODEL:1sets:2kinds/1.5/:C_P,D,C,W,Q,N;3endsets45min=sum(kinds:0.5*C_P*Q+C_D*D/Q);6sum(kinds:C*Q)=J;7sum(kinds:W*Q)=W_T;8for(kinds:N=D/Q;gin(N);9data:10C_D=1000;11D=600,900,2400,12000,18000;12C=300,1000,500,500,100;13C_P=60,200,100,100,20;14W=1.0,1.5,0.5,2.0,1.0;15J=400000;16W_T=1500;17enddataEND,exam1103.lg4,计算结果如下：,Localoptimalsolutionfoundatiteration:5903Objectivevalue:142272.8VariableValueReducedCostC_D1000.0000.000000J400000.00.000000W_T1500.0000.000000C_P(1)60.000000.000000C_P(2)200.00000.000000C_P(3)100.00000.000000C_P(4)100.00000.000000C_P(5)20.000000.000000D(1)600.00000.000000D(2)900.00000.000000D(3)2400.0000.000000D(4)12000.000.000000D(5)18000.000.000000,C(1)300.00000.000000C(2)1000.0000.000000C(3)500.00000.000000C(4)500.00000.000000C(5)100.00000.000000W(1)1.0000000.000000W(2)1.5000000.000000W(3)0.50000000.000000W(4)2.0000000.000000W(5)1.0000000.000000Q(1)85.714290.000000Q(2)69.230770.000000Q(3)171.42860.000000Q(4)300.00000.000000Q(5)620.68970.000000N(1)7.000000632.6528N(2)13.00000467.4553N(3)14.00000387.7547N(4)40.00000624.9998N(5)29.00000785.9690,RowSlackorSurplusDualPrice1142272.8-1.00000027271.6940.00000034.0356210.00000040.000000632.652850.000000467.455360.000000387.754770.000000624.99988-0.4963044E-07785.9690,结果解释:总费用为142272.8元，订货资金还余7271.694元，库存余4.035621立方米，(表11-2).,表11-2：物资的订货次数与订货量,注意:LINGO作整数规划的计算较慢.,11.2.3允许缺货的经济订购批量存贮模型,所谓允许缺货是指企业可以在存贮降至零后，还可以再等一段时间然后订货，当顾客遇到缺货时不受损失，或损失很小并假设顾客耐心等待直到新的货补充到来。,T1不缺货时间,T2缺货时间,T周期,S为最大缺货量，CS缺货损失的单价，Q仍为每次的最高订货量，则Q-S为最高存贮量，因为每次得到订货量Q后，立即支付给顾客最大缺货S.,图11-3允许缺货模型的存贮曲线。,一个周期内,平均存贮量,平均总费用,平均存贮量,平均缺货量,例11.4(继例11.2),将问题改为允许缺货模型，且缺货损失费为每年每件13.2元，其他条件不变。求全年的订货次数、订货量以及最优存贮费用,解：,是一个整数规划问题,且取整数.,编写LINGO程序（exam1104a.lg4）,MODEL:1min=0.5*C_P*(Q-S)2/Q+C_D*D/Q+0.5*C_S*S2/Q;2N=D/Q;gin(N);3data:4C_D=12000;5D=96000;6C_P=3.6;7C_S=13.2;8enddataEND,exam1104a.lg4,计算结果,Localoptimalsolutionfoundatiteration:853Objectivevalue:81257.14VariableValueReducedCostC_P3.6000000.000000Q32000.000.000000S6857.1410.000000C_D12000.000.000000D96000.000.000000C_S13.200000.000000N3.000000-3085.716RowSlackorSurplusDualPrice181257.14-1.00000020.000000-3085.716,结果解释:即全年组织3次订货，每次的订货量为32000件，最大缺货量为6857.141件，最优费用为81257.14元。请与例11.2相比较。,如果只求最小费用的订货周期、最大订货量和最大缺货量，只需对平均总费用求关于Q和S的偏导数，求出其极小点,MODEL:1sets:2order/1.99/:TC,EOQ,EOS;3endsets45for(order(i):6EOQ(i)=D/i;7EOS(i)=C_P/(C_p+C_S)*EOQ(i);8TC(i)=0.5*C_P*(EOQ(i)-EOS(i)2/EOQ(i)+C_D*D/EOQ(i)9+0.5*C_S*EOS(i)2/EOQ(i);10);11TC_min=min(order:TC);12Q=sum(order(i):EOQ(i)*(TC_min#eq#TC(i);13S=sum(order(i):EOS(i)*(TC_min#eq#TC(i);,不用求解整数规划，也可以很容易的求出整数解,编写程序(exam1104b.Lg4),14N=D/Q;1516data:17C_D=12000;18D=96000;19C_P=3.6;20C_S=13.2;21enddataEND,Feasiblesolutionfoundatiteration:0VariableValueD96000.00C_P3.600000C_S13.20000C_D12000.00TC_MIN81257.14Q32000.00S6857.143N3.000000,计算结果,11.2.4带有约束允许缺货模型,允许缺货模型。考虑多种类、带有资金和库容约束的数学模型。设Si，CSi分别为第i种物品的最大缺货量、缺货损失单价，其他符号的意义不变.由于Qi是第i种物品的最大订货量，则CiQi是第i种物品占用资金数，QiSi是第i种物品的最大存贮量。,例11.5（继例11.3）,假设缺货损失费（CSi)是物品的存贮费(CPi)的2倍，其他参数不变，试求出各种物品的订货次数、订货量和总的存贮费用。,解：,设Ni是第i物品的年订货次数，,数,MODEL:1sets:2kinds/1.5/:C_P,D,C,W,C_S,Q,S,N;3endsets45min=sum(kinds:0.5*C_P*(Q-S)2/Q+C_D*D/Q+0.5*C_S*S2/Q);6sum(kinds:C*Q)=J;7sum(kinds:W*(Q-S)CV.,令k=U-C是物品出售后的利润，,令h=C-V是物品折扣出售的损失，,将总利润G(Q)的公式改写为,11.4.3模型的求解,例11.10（报童问题）,在街中有一报亭，平均每天出售报纸500份，出售报纸的数量，与来往的人流有关，假设服从Poisson分布，每卖出一份报纸能盈利0.15元.如果卖不出去,只能作为费纸处理，每份报纸亏损0.40元.问：报亭应如何安排报纸的订购量，使得报亭的利润最大？,积分相当于当xQ时的损失函数，,对于Poisson分布，积分可由LINGO中的函数pps计算.,解：,先计算Q,若Q不是整数，该函数采用线性插值计算。,积分可由函数ppl计算，,写出相应的LINGO程序(exam1110.lg4),由题意,x=max(0,Q),MODEL:1data:2mu=500;3k=0.15;4h=0.40;5enddata6pps(mu,Q)=k/(k+h);7E_G=k*mu-h*(Q-mu)-(k+h)*ppl(mu,Q);END,Feasiblesolutionfoundatiteration:0VariableValueMU500.0000K0.1500000H0.4000000Q485.8747E_G70.93096RowSlackorSurplus10.00000020.000000,即报亭每天订购报纸486份，每天盈利70.93元。,设在某食品店内，每天对面包的需求服从的正态分布已知每个面包的售价为1.50元，成本为每个0.90元，对当天末售出的其处理价为每个0.60元，问该商店每天应生产多少面包，使预期的利润为最大？,例11.11,解：,计算Q，再计算出期望总利润。,LINGO只提供了标准正态分布函数psn(Z),和标准正态线性的损失函数pol(Z)，,用函数psn和pol计算式积分,需要作变换,则,根据题意，,写出相应的LINGO程序（exam1111.lg4),MODEL:1data:2mu=300;3sigma=50;4U=1.50;5C=0.90;6V=0.60;7enddata8psn(Z)=(U-C)/(U-V);9Z=(Q-mu)/sigma;10free(Z);11E_G=U*mu-C*Q+V*(Q-mu)-(U-V)*sigma*psl(Z);END,Feasiblesolutionfoundatiteration:0VariableValueMU300.0000SIGMA50.00000U1.500000C0.9000000V0.6000000Z0.4307274Q321.5364E_G163.6380RowSlackorSurplus10.00000020.00000030.000000,结果解释：即商店每天生产322个面包，可以使总利润达到最大，预期的最大利润为163元。,例11.12（航空机票超订票问题）,某航空公司执行两地的飞行任务己知飞机的有效载客量为150人。按民用航空管理有关规定：旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票航空公司为了遇免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机载客数但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情况下，航空公司让超员旅客改乘其他航班，并给旅客机票价的20作为补偿。现假设两地的机票价为1500元，每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少张票？使该公司的预期损失达到最小,解：,设飞机的有效载客数为N，超订票数为S(即售出票数为NS)，k为每个座位的盈利值，h为改乘其他航班旅客的补偿值设x是购票末登机的人数，是一随机变量，其概率密度为f(x).当时，有S-x个人购后，不能登机，航空公司要为这部分旅客进行补偿。当xS时，有x-S个座位没有人坐，航空公司损失的是座位应得的利润，因此，航空公司的损失函数为,满足方程,的S是函数EL(S)的极小值点，使航空公司的损失达最小。,设每位旅客购票末登机的概率为p，共有m个旅客，则恰有x旅客未登机的概率是即x服从二项分布。因此,积分应用二项分布计算。,LINGO软件中提供了二项分布函数:,当x和（或）S不是整数时，采用线性插值计算。,假设机票价就是航空公司的盈利,相应的LINGO程序（exam1112.lg4）,根据题意，,MODEL:data:N=150;p=0.04;k=1500;h=300;enddatapbn(p,N+S,S)=k/(k+h);END,Feasiblesolutionfoundatiteration:0VariableValueN150.0000P0.4000000E-01K1500.000H300.0000S8.222487RowSlackorSurplus10.000000,计算结果,exam1112.lg4,结果解释：超订的票数在89张之间，即每班售出的票数在158159张之间。,例11.13（再解超订票问题）,所有参数不变，问航空公司多售出多少张票？使该公司的预期利润达到最大，并计算出相应的利润.,解：,计算超订票的整数解及预期的利润值。,设飞机的有效载客数为N，超订票数为S(即售出票数为N+S)，k为每个座位的盈利值，h为改乘其他航班旅客的补偿值,若不超订票（即S=0），则盈利的期望值为,E0=每个座位的盈利飞机座位有乘客的期望值,=kN(1p).,若超订票数为1(即S=1)，盈利的期望值为,E1=不超订票时盈利的期望值+,P该旅客乘机P该旅客有座位每个座位的盈利-,P该旅客乘机P该旅客无座位该旅客的补偿,=E0+(1p)PN个旅客至少有1人不乘机k,(1p)PN个旅客至多有0人不乘机h,=E0+(1-p)1-pbn(p,N,0)k-(1-p)pbn(p,N,0)h,=E0+(1-p)k-(k+h)pbn(p,N,0).,若超订票数为i(即S=i)，盈利的期望值为,Ei=超订票数为i-1盈利的期望值+,P该旅客乘机P该旅客有座位每个座位的盈利-,P该旅客乘机P该旅客无座位该旅