微积分练习题和答案1

微积分练习题和答案1 微积分1期末模拟考试 一、填空题（每题3分，共18分） ex?1 1 li?； x?0?x 2. ?()dx? xsin?x；c 3.设函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)，则f(x)有_个极值点; 4.设f(x)的一个原函数为e，则?f(x)dx? ，?f? (x)dx? 。 ?x 5.函数f(x)?arctanx在?0,1?上满足拉格朗日中值定理的点? 。 6.设f(x)=sinx, 则 ?f?2x?dx? ?11?7.?2 ?x?a(x?a)? ?dx .(附加题，可不做) ? 8. 99 (2x?3)dx?. (附加题，可不做) ? 二、选择题（每题3分，共30分） 1.设?f(x)dx?A、 1?x ?C，则f(x)?（ B ） 1?x ?22?2x2x B、 C、 、 (x?1)2(x?1)2(x?1)2(x?1)2 2.设f?(x)连续，下列等式错误的是（ D ） A、C、 ? ? f(x)dx?f(x)B、 ? ?f?(x)dx?f(x)?C ?f(2x)dx ? ?f(2x) D、?f?(2x)dx?f(2x)?C 3.设?f(x)dx?C，则?xf(x2)dx?（ A ） A、1sinx?C B、1C 22C 、1sin2CD、1sin2x?C 2x 4.设 ? x f(x)dx?sinex?C，则?f(lnx)?（ C ） A、sine?C B、sin(lnx)?C 5.设函数f(x)在x?x0处取得极大值，则必有（D）。 A.f?(x0)=0；C. f?(x0)?0； B.f?(x0)?0； D.f?(x0)=0或者f?(x0)不存在. 6.函数f(x)?lnx及其图形在区间(1,?)上( B )。 A. 单调减少上凹; B.单调增加上凸; C. 单调减少上凸; D.单调增加上凹. 7.如果f(x)?( A ),那么f?(x)?0。 A.arcsinx?arosx；C.sinx?cosx； B.sec2x?tanx； D.lnx?arosx. 8.函数y?x?arctanx在(?,?)内（ A ） A.单调递增 B.单调递减 C.不单调 D.不连续 9.设f(x)?x，则x?0是f(x) 的（ D ） 23 A.间断点 B.可导点 C.驻点 D.极值点 10. （ C ） A.asintB.atantC.asectD. acost 三、 解下列各题（每小题4分，共8分） ex?e?x?2 1.求lim； x?01?cosx ?1ln(1?x)? ?2.求lim； x?0?xx2? 1 x 3.求lim(cosx) x?0 2 .(附加题，可不做) 四、求不定积分（每小题5分，共30分） ; 1.?1?x 2. ; 3. 34x (2x?e?cos5x)dx; ? 4. 2 x?lnxdx; 5. ? ; 6. dx ?x(1?x2); 7. ;(附加题，可不做) 8. ;(附加题，可不做) 1?x?x2 ;(附加题，可不做) 9.?2 (1?x) 2 10.2sin ? (附加题，可不做) 11.设函数f(x)的一个原函数为lnx，求不定积分xf?(x)dx。(附加题，可不做) ? 习题11解答 1 设f(x,y)?xy? x 11x1 ，求f(?x,?y),f(,),f(xy,), yxyyf(x,y) 11xy 1xy yx xy 2 2 解f(?x,?y)?xy? xy ；f(,)?;f(xy,)?x?y; 1f(x,y) ? yxy 2 ?x 2 设f(x,y)?lnxlny，证明：f(xy,uv)?f(x,u)?f(x,v)?f(y,u)?f(y,v) f(xy,uv)?ln(xy)?ln(uv)?(lnx?lny)(lnu?lnv)?lnx?lnu?lnx?lnv?lny?lnu?lny?lnv?f(x,u)?f(x,v)?f(y,u)?f(y,v) 3 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）f(x,y)? ?x 2 ? 2 y?1; 2 （2）f(x,y)? 4x?y 2 ln(1?x?y) xa 22 2 ; （3）f(x,y)?1? yb 22 ? zc 22 ; （4）f(x,y,z)? x? 2 y? 2 z 2 . ?x?y?z 解（1）D?(x,y)x?1,y?1 ? （2） D?(x,y)0?x2?y2?1,y ? 222 ?xy （3） D?(x ,y)2?2?ab? （4）D?(x,y,z)x?0,y?0,z?0,x2?y2?z2?1 4求下列各极限： （1）lim 1?xyx?y 2 2 ? 1?00?1 ?1 x?0y?1 = （2）lim ln(x?ex?y2? 2 y)2 x?1y?0 ? ln(1?e)?0(2? ?ln2 （3）lim xy?4xy x?0y?0 ?lim xy?4)(2?xy(2? xy?4) x?0y?0 xy?4) ? 14 （4）lim sin(xy)y x?2y?0 ?lim sin(xy)xy x?2y?0 ?x?2 5证明下列极限不存在： （1）lim x?0y?0 x?yx?y ; （2）lim xy 2 2 22 2 x?0y?0 xy?(x?y) （1）证明 如果动点P(x,y)沿y?2x趋向(0,0) 则lim x?yx?y x?2xx?2x ?3； x?0 y?2x?0 ?lim x?0 如果动点P(x,y)沿x?2y趋向(0,0)，则lim x?yx?y y?0 x?2y?0 ?lim 3yy y?0 ?3 所以极限不存在。 （2）证明 如果动点P(x,y)沿y?x趋向(0,0) xy 2 2 2 2 2 则lim x?0y?x?0 xy?(x?y) ?lim xx 44 x?0 ?1； 如果动点P(x,y)沿y?2x趋向(0,0)，则lim所以极限不存在。 6指出下列函数的间断点： （1）f(x,y)? y?2xy?2x 2 xy 2 2 22 2 x?0 y?2x?0 xy?(x?y) ?lim 4x 4 4 2 x?0 4x?x ?0 ； （2）z?lnx?y。 解 （1）为使函数表达式有意义，需y2?2x?0，所以在y2?2x?0处，函数间断。 （2）为使函数表达式有意义，需x?y，所以在x?y处，函数间断。 习题12 1（1）z? ?z?x xy ? yx , ?z?x ? 1y ? yx 2 ， ?z?y ? 1x ? xy 2 . (2)?ycos(xy)?2ycos(xy)sin(xy)?ycos(xy)?sin(2xy) ?z?y ?xcos(xy)?2xcos(xy)sin(xy)?xcos(xy)?sin(2xy) (3) ?z?x ?y(1?xy) y?1 y?y(1?xy) 2y?1 , 1?zz?y x1?xy , lnz=yln，两边同时对y求偏导得?ln(1?xy)?y ?z?y ?zln1(?xy)? xy1?xy ?(1?xy)ln1(?xy)? y xy1?xy ; (4) ?z?x 1?x? 2yxx y3 1 y 2 ? x?2yx(x?y) 3 3 ?z ,?y ? xx? 2 yx 2 ? ;3 x?y 1 ?u (5)?x ? yz x z ?1 , ?u?y ? 1z y x z lnx, ?u?z ? yz 2 y x z lnx ; (6) ?u?x ? z(x?y) z?12z 1?(x?y) , ?u?y ? z(x?y) z?12z 1?(x?y) , ?u?z ? (x?y)ln(x?y)1?(x?y) 2z z ; 2.(1) zx?y,zy?x,zxx?0,zxy?1,zyy? ; (2) zx?asin2(ax?by),zy?bsin2(ax?by), zxx?2acos2(ax?by),zxy?2abcos2(ax?by),zyy?2bcos2(ax?by). 2 2 3 fx?y?2xz,fy?2xy?z,fz?2yz?x,fxx?2z,fxz?2x,fyz?2z, fxx(0,0,1)?2,fxz(1,0,2)?2,fyz(0,?1,0)?0. 222 4 zx?2sin2(x? t2 ),zt?sin2(x? t2 y t2 ),zxt?2cos2(x? t2)?0. t2 ),ztt?cos2(x? t2 ) 2ztt?zxt?2cos2(x? )?2cos2(x? 5.(1) zx? 12 yx 2 y e, zy? x 1x ex,dz? yx 2 y edx? x 1x y exdy; (2) z?ln(x 2 ?y),zx? 2 xx?y 2 2 ,zy? yx?y 2 2 ,dz? xx?y 2 2 dx? yx?y 2 2 dy; (3)zx 2 yx ?2 , zy?2 y2x?y1?()1? x ? y1 ?ydx?xdyxx ?2dz? ,; 222 y2x?yx?y()x yz (4) ux?yzx yz?1 ,uy?zx yz?1 yz lnx,uz?yx yz lnx, lnxdz. du?yzxdx?zxlnxdy?yx yz 6. 设对角线为z,则z? 22 x?y,zx? xx?y 2 2 ,zy? yx?y 2 2 , dz? xdx?ydyx?y 2 2 当x?6,y?8,?x?0.05,?y?0.1时,?z?dz? 6?0.05?8?(?0.1) 6?8 2 2 =-0.05(m). 7. 设两腰分别为x、y,斜边为z,则z?zx? xx?y 2 2 x?y, 22 ，zy? yx?y 2 2 , dz? xdx?ydyx?y 2 2 , 设x、y、z的绝对误差分别为?x、?y、?z, 当x?7,y?24,?x?x?0.1,?y?z?dz? 7?0.1?24?0.1 7?24 2 2 y ?0.1时, z?7?24 22 ?25 =0.124,z的绝对误差?z?0.124 z的相对误差 ?zz ? 0.12425 ?0.496%. 8. 设内半径为r，内高为h，容积为V，则 V?rh,Vr?2?rh,Vh?r,dV?2?rhdr?rdh, 2 2 2 当r?4,h?20,?r?0.1,?h?0.1时, ?V?dV?2?3.14?4?20?0.1?3.14?4?0.1?55.264(cm). 2 3 习题13 y x ? ) 2 1. dudx ? ?fdx?xdx ? ?fdy?ydx ? ?fdz?zdx ? 1?( zxyz ax4 1?( 2 2 zxyz ? xyzxyz 2 ?ae) 2 ax ? 1?( ?2a(ax?1) ) 2 = yz?axz?2axy(ax?1) z?xy?f?x 3 2 2 2 = (ax?1)e(1?ax) 2 2ax (ax?1)?xe . 3 4 2. ?z?x ? ?f?x = ? ? 2 22 ?x?x?y 2 2 ?arcsin? 4x 4 x?y = 4xarcsin 4 ?x?y 4 x?y ?z?y ?f?y ? ? xln(x?y)(1?x?y)(x?y) 2 2 2 2 44 4y 4 3 4 ?f?y 2 = ? ? 2 ?y?x?y 42 2 ?arcsin? x?y = 4yarcsin 4 3 ?x?y 4 2 x?y ? yln(x?y)(1?x?y)(x?y) 2 2 2 2 4 . 3. (1) ?u?x?u?x?u?x =2xf1?ye xy f2, ?u?y =?2yf1?xe 1z xy f2. (2) = 1y ?f1, ?u?y =? xy 2 ?f1?f2, ?u?z =? yz 2 ?f2. (3) =f1?yf2?yzf3, ?u?y =xf2?xzf3, ?u?z =xyf3. 微积分测试题答案 一、选择题(每题2分) 1、设?x?定义域为（1,2），则?lgx?的定义域为（） A、（0,lg2） B、（0，lg2? C、（10,100） D、（1,2） 2、x=-1是函数?x?=x2?xxx2?1的（） A、跳跃间断点 B、可去间断点 C、无穷间断点 D、不是间断点 3 、试求 x?0A、?1 4 B、0 C、1 D、? 4、若 yx?x y ?1，求y?等于（） A、 2x?y2y?xB、y?2x2y?xC、2y?xx?2y 2x?y D、2x?y 5、曲线y? 2x 1?x 2 的渐近线条数为（） A、0B、1 C、2 D、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A、y2 ?x (x?R? ,y?R? ) B、y2 ?x2 ?1 C、y?x2 D、y?lnx (x?0) 二、填空题（每题2分） 1 、_2、 、设 （(n?)1x fx)?milx?nx2?1 ，则() fx的间断点为_ 3、已知常数 a、b,lim x2?bx?a x?11?x ?5，则此函数的最大值为_ 4、已知直线 y?6x?k是 y?3x2 的切线，则 k?_ 5、求曲线 xlny?y?2x?1，在点（，11）的法线方程是_ 三、判断题（每题2分） 1、函数y?x2 1?x 2 是有界函数( )2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、若lim ? ?，就说?是比?低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) ? 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点( ) sin1x 四、计算题（每题6分）1、求函数 y?x 1 的导数 2、已知f(x)?xarctanx?ln(1?x2），求dy 2 tanx?sinx 2x?0xsinx 3、已知x2?2xy?y3?6，确定y是x的函数，求y?4、求lim x(cosx)5 、计算 6、计算lim ?x?0五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x件时的总收益为R（x)?100x?x，总成本函数为C(x)?200?50x?x，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数y?x? 2 1 22 1 的图形（12分） x 1x 六、证明题（每题6分） f()?A 1、用极限的定义证明：设limf(x)?A,则lim? x? x?0 2、证明方程xe?1在区间（0,1）内有且仅有一个实数 一、选择题 1、C 2、C3、A4、B5、D 6、B 二、填空题 1、x?0 2、a?6,b?7 3、18 4、35、x?y?2?0 三、判断题 1、 2、 3、 4、 5、 四、计算题 1、 x y?（x?（e sin 1 x )?)? 1sinlnxx 1111? ?ecos(?2)lnx?sin?xxxx? 1sin 1111x ?x(?2coslnx?sin) xxxx 1 sinlnxx dy?f?(x)dx 112x ?(arctanx?x?)dx22 1?x21?x ?arctanxdx 3、 解： 2x?2y?2xy?3y2y?0 2x?3y ?y?2 2x?3y ?y? 4、 解： 2)2 (2?