第二类曲面积分

.,第十章,第五节,机动目录上页下页返回结束,第二类曲面积分,二、第二类曲面积分的概念与性质,一、有向曲面,三、第二类曲面积分的计算,.,一、有向曲面,观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,机动目录上页下页返回结束,.,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,机动目录上页下页返回结束,.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,播放,机动目录上页下页返回结束,.,定义：,用曲面法向量的指向规定曲面的侧，,规定了侧的曲面称为有向曲面。,机动目录上页下页返回结束,.,曲面侧的具体规定如下：,机动目录上页下页返回结束,.,机动目录上页下页返回结束,.,二、第二类曲面积分,引例:流体流向曲面一侧的流量.,机动目录上页下页返回结束,.,机动目录上页下页返回结束,解：,利用微元法,分割、近似、求和、取极限,.,则该点流速为,单位法向量为.,机动目录上页下页返回结束,1.分割,.,3.求和,机动目录上页下页返回结束,2.近似,则该点流速为：,.,3.取极限,机动目录上页下页返回结束,.,第二类曲面积分的定义：,机动目录上页下页返回结束,.,机动目录上页下页返回结束,.,两类曲面积分之间的关系,机动目录上页下页返回结束,则,则,.,称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;,称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.,称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;,机动目录上页下页返回结束,第二类曲面积分的坐标表示,其中：,.,第二类曲面积分存在的必要条件:,机动目录上页下页返回结束,说明：,.,基本性质：,（1）线性性质：,机动目录上页下页返回结束,.,机动目录上页下页返回结束,解：,.,机动目录上页下页返回结束,解：,.,三、第二类曲面积分的计算法,机动目录上页下页返回结束,.,机动目录上页下页返回结束,.,机动目录上页下页返回结束,则,.,机动目录上页下页返回结束,合一投影法,.,机动目录上页下页返回结束,合一投影法,.,机动目录上页下页返回结束,合一投影法,.,若,则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,机动目录上页下页返回结束,若,则有,(上正下负),分面投影法,.,机动目录上页下页返回结束,解:,合一投影法,.,机动目录上页下页返回结束,合一投影法,.,机动目录上页下页返回结束,解1:,关于y是奇函数,.,例5：,解1,机动目录上页下页返回结束,合一投影法,.,解2,利用两类曲面积分之间的关系,机动目录上页下页返回结束,例5：,.,解:,机动目录上页下页返回结束,思考:下述解法是否正确:,注意：第二类曲面积分没有奇偶对称性！,.,机动目录上页下页返回结束,.,说明：,机动目录上页下页返回结束,.,机动目录上页下页返回结束,.,.,机动目录上页下页返回结束,解:,同理：,所以：原式,分面投影法,.,例8：求,取外侧.,解1:,注意号,其中,机动目录上页下页返回结束,分面投影法,.,类似的,机动目录上页下页返回结束,向yoz平面投影,向zox平面投影,分面投影法,.,例8：求,取外侧.,解2:,其中,机动目录上页下页返回结束,椭球面的参数方程,.,机动目录上页下页返回结束,.,机动目录上页下页返回结束,解2:,.,机动目录上页下页返回结束,奇函数,.,四、内容小结,定义:,机动目录上页下页返回结束,联系:,.,则,机动目录上页下页返回结束,1.合一投影法,计算:,其它情况类似。,.,时，,（上侧取“+”,下侧取“”),机动目录上页下页返回结束,当,2.分面投影法,其它情况类似。,注意：,在第二类曲面积分中，由于积分与曲面的侧有关，因此要慎用对称性。一般的讲，应在曲面积分化为二重积分后再考虑能否利用对称性来化简计算。,.,作业,习题9-5(P288)2，5，6，7，9,机动目录上页下页返回结束,.,解：,机动目录上页下页返回结束,合一投影法,备用题,.,机动目录上页下页返回结束,关于x是奇函数,.,机动目录上页下页返回结束,解1:,.,机动目录上页下页返回结束,解2:,.,3、设,是其外法线与z轴,正向夹成的锐角,计算,解1:,机动目录上页下页返回结束,.,机动目录上页下页返回结束,.,3、设,是其外法线与z轴,正向夹成的锐角,计算,解2:,机动目录上页下页返回结束,.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,机动目录上页下页返回结束,.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,机动目录上页下页返回结束,.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,机动目录上页下页返回结束,.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,机动目录上页下页返回结束,.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,机动目录上页下页返回结束,.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,机动目录上页下页返回结束,.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,机动目录上页下页返回结束,.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,机动目录上页下页返回结束,.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,机动目录上页下页返回结束,.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,机动目录上页下页返回结束,.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,机动目录上页下页返回结束,.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,机动目录上页下页返回结束,.,莫比