湖北省松滋市涴市镇初级中学八年级上数学《13.1 平方根》课件

13.1 平方根,涴市中学八年级数学组,某教学模具厂要制面积如下表所示的正方形模具，你能帮他们计算出这些正方形模具的边长是多少吗？,1,3,4,6,1.4,1.5,5,这些正方形模具的边长和面积是什么关系呢？,新课导入,1理解平方根和算术平方根的概念，了解平方与开平方的关系；2学会平方根、算术平方根的表示方法；3会用计算器求一个数的算术平方根；4理解无限不循环的含义，能用夹值法估计一个数的算术平方根的大小范围；5理解被开方数越大，它的算术平方根也越大，被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律,教学目标,知识与能力,1发展数感，经历认识平方根的概念，经历总结发现正数、负数、零的平方根的情况；2会求一个数的平方根；3理解开平方与平方互为逆运算；4通过学习算数平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维；,5通过探究 的大小，培养估算意识，了解从两个方向无限逼近的数学思想,过程与方法,1通过学习算术平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维；2通过探究被开方数扩大（缩小）与它的算术平方根扩大（缩小）的规律，培养观察能力，抽象概括能力； 3培养优算意识，了解两个方向无限逼近的数学思想；,情感态度与价值观,4体验“无限不循环”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数；5通过用计算器求值及近似值计算，提高运算能力和动手能力； 6通过利用计算器求值体验现代科技产品迅速、精确的功能，激发学习知识的兴趣,1平方根的概念、算术平方根的定义；2探索被开方数扩大（缩小）与算术平方根扩大（缩小）的规律；3用计算器求一个正数的平方根的程序 ；4体验“无限不循环”的含义,教学重难点,重点,1平方根的概念和平方根的表示方法；2利用平方根定义解决问题；3用夹值法估计一个（无理）数的大小；4准确用计算器求解一个正数的平方根,难点,知识要点,规定：0的算术平方根是0,一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数,是算术平方根的运算符号,a的算术平方根也是非负数，即 ,其中：,表示a的算术平方根,被开方数a是非负数，即a0,下列各式中哪些有意义？哪些无意义？,答：有意义的是：,无意义的是：,想一想,例1求下列各数的算术平方根：（1）400 （2） （3）0.0025,解：（1）因为202=400，所以400的算术平方根为20，即 =20,（3）因为0.052=0.0025，所以0.0025的算术平方根为0.05，即 =0.01,（2）因为 = ，所以 的算术平方根是 ，即 = ,例2填空（1）121 的算术平方根是_； 0.25 的算术平方根是_； 0 的算术平方根是_ （2）100 的算术平方根是_； 25 的算术平方根是_； 0.81 的算术平方根是_,0,0.9,5,10,11,0.5,比较结果：1 4 9 16 2536，,被开方数大的数算术平方根也大,解：,例3 求下列各数的算术平方根，并用“ ” 分别把被开方数和算术平方根连接起来1，4，9，16，2536,结论,解：设这个正方形原来的边长为a，则其原来的面积为a2又设变大后的正方形的边长为b，则b2=4a2=(2a)2,所以，正方形的面积变为原来的4倍，则其边长变为原来的2倍,例4 一个正方形的面积变为原来的4倍，其边长变为原来的多少倍？,正方形的面积扩大n倍，那么其边长对应扩大 倍,结论,某气垫厂接到订单，要求把两块面积为1的正方形材料，缝成一块正方形的气垫面，你有没有办法进行设计，帮助他们解决这个问题？缝成的这个大正方形的边长是多少呢？,想一想,如图，把两个小正方形材料沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形气垫面小正方形的对角线长度即为大正方形的边长,设大正方形的边长为x，则 x2=2.由算术平方根的意义可知 x=,有多大呢？,接着往下计算，可以发现 =1.414 213 56，是一个无限不循环小数,想一想,12=1，22=4，1 2；1.42=1.96，1.52=2.25，1.4 1.5；1.412=1.999 396，1.4152=2.002 225，1.414 1.415,第一个发现这样数的人是希伯索斯，但他却被抛进了大海，你想知道这其中的曲折离奇吗？ 这得追溯到2500年前，有个叫毕达哥拉斯的人，他是一个伟大的数学家，他创立了毕达哥拉斯学派，这是一个非常神秘的学派，他们以领袖毕达哥拉斯为核心，认为毕达哥拉斯是至高无尚的，他所说的一切都是真理,无限不循环小数的发现,读一读,毕达哥拉斯认为“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即都可用有理数来描述,但后来，这学派的一位年轻成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示，这就动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，他们试图封锁这一发现，然而希伯索斯偷偷将这一发现传播出去，这为他招来了杀身之祸，在他逃回家的路上，遭到毕氏成员的围捕，被投入大海,无限不循环小数的计算：借助于计算器,无限不循环小数：即无理数，是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数 无限不循环小数是不能转化为分数的,常见无限不循环小数：圆周率，自然对数的底数e， ,知识要点,例5 用计算器求下列各式的值（精确到0.01）：,解：,例6 用计算器计算下列各数的值，有什么规律？,规律：被开方数扩大（缩小）100倍，它的算术平方根扩大（缩小）10倍,解：,结论,能用一块面积为100cm的正方形纸片沿着边的方向裁出一块面积为90cm的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2吗？,想一想,解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm根据边长与面积的关系得,答：不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片,因此长方形的长应为 cm,因为1512.25，所以 3.5所以 10.5，所以长方形纸片的长大于原正方形的长（10cm ）,宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度v（米/秒）要大于第一宇宙速度v1（米/秒），小于第二宇宙速度v2（米/秒），其中v12=gR，v22=2gR，g9.8米/秒2，R6400000米（地球半径），求v的范围,练一练,所以7900 v 11200,答： 要使宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行，必须使它的速度大于7900米/秒，小于11200米/秒,要做一张边长是4cm的方桌面，它的面积是多少？,这个问题实际上就是求：42=？的问题根据乘方运算，可知42=16cm2,想一想,16cm2,我们知道，(4)2=16，但4不符合题意所以，方桌面的边长应是4cm,反过来，要做一张面积是16cm2的桌面，它的边长是多少cm？,知识要点,一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根,求一个数的平方根（二次方根）的运算，叫做开平方，开平方运算的结果就是平方根,平方与开平方互为逆运算,平方根的表示法：,一个非负数a的平方根用符号表示为： ， 读作：“正、负根号a”，其中a叫做被开方数,即：如果x2=a，则x= ,注意,（1） 表示非负数a的正的平方根，即算数平方根， 表示非负数a的负的平方根；（2） 表示非负数a的平方根， 与 互为相反数；（3） 在 中，a0,（4）( )2a (a0)，,（5）一个正数有两个平方根，它们互为相反数零的平方根是零负数没有平方根,区别：1定义不同； 2个数不同；3表示法不同； 4取值范围不同,平方根与算术平方根的联系与区别：,联系：1算术平方根是平方根的一种；2只有非负数才有算术平方根和平方根； 30的算术平方根和平方根都是0,例7 求下列各数的平方根：（1）25；（2）81；（3）0.16；（4）121,解：（1）因为(5)2=25，所以25的平方根是5；（2）因为(9)2=81，所以81的平方根是9；（3）因为(0.4)2=0.16，所以0.16的平方根是0.4；（4）因为(11)2=121，所以121的平方根是11,已知一个自然数的算术平方根是n，则与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是多少？,解：因为这个数的算术平方根是n，所以这个自然数为n2，那么与它相邻的下一个自然数为n2+1 所以下一个自然数的平方根是 ,想一想,已知a6与2a9是m的平方根，试求m的值,解：因为a6与2a9是m的平方根，则a6与2a9相等或互为相反数 当 a6=2a9时，得a=15 所以m=152=225 当a62a9=0时，得a=1，所以m=1 所以，m的值为225或1,练一练,一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根,正数a的算术平方根记作： ,1算数平方根,0的算术平方根还是0,课堂小结,2平方根,一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根,性质：,一个正数的平方根有两个，它们互为相反数,0的平方根还是0,负数没有平方根,平方根的表示法：,3无理数,即无限不循环小数无理数不能写成分数的形式,1(8)2的平方根是_，算术平方根是_；,8,8,2 的平方根是_，算术平方 根是_；,3,3,3若x2=49，则 x=_，若 =9，则x=_；,7,4若(x-2)2=36，则x=_；,9,8或4,随堂练习,5对于正数a， 等于_；,a,7下列各数中，不一定有平方根的是（ ） A2x2+5 B|x|+2 C D|a|-2,6对于任意数a， 等于_ _ _,若a是正数，则等于a；若a是负数，则等于a；若a是0，则等于0,D,D,8已知 有意义，则下列说法正确的是( ) A一定是正数 Bx一定是负数 Cx一定是非负数 Dx一定是非正数,9已知(2x)2=36，y是(-5)2的正的平方根，求代数 式5x-3y的值,10一个数的两个平方根分别是 3a+2 与 5a-10，求这个数,解：因为一个数的平方根互为相反数， 所以， （3a+2）(5a-10)=0 所以 a=1,习题答案,5（1）29.44；（2）0