抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程 一、 复习预习 复习双曲线的基本性质，标准方程以及方程的求法、应用 二、知识讲解 (一)导出课题 我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线今天我们将学习第四种圆锥曲线抛物线，以及它的定义和标准方程课题是“抛物线及其标准方程” 请大家思考两个问题： 问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？ 在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？ 问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？ 在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形 引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线 (二)抛物线的定义 1回顾 平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0e1时是椭圆，当e1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？ 2简单实验 如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结 3定义 这样，可以把抛物线的定义概括成： 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 (三)抛物线的标准方程 设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)下面，我们来求抛物线的方程怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？ 让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案： 方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板) 以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MDy轴于D，抛物线的集合为：p=M|MF|=|MD| 化简后得：y2=2px-p2(p0) 方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板 ) 以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MDl于D，抛物线的集合为： p=M|MF|=|MD| 化简得：y2=2px+p2(p0) 方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板 ) 取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32) 抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p=M|MF|=d 2.4.1抛物线及其标准方程 一、三维目标 （一）知识与技能 （1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程 （二）过程与方法 通过“观察”、“思考”、“探究”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想 （三）情感态度与价值观 进一步培养学生合作、交流的能力，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。 二、教学重点 抛物线的定义及标准方程 三、教学难点 抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择） 教学重点：抛物线的标准方程教学难点：抛物线标准方程的不同形式 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体电子白板 教学过程：一、复习引入： （一）复习旧知 在初中，我们学习过了二次函数y?ax2?bx?c，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1）y?4x2，（2）y?4x2的图象（展示两个函数图象）： 2、生活中抛物线的引例 3、回顾椭圆和双曲线的定义 二、讲解新课： P64 信息技术应用（课堂中展示画图过程） 先看一个实验： 如图：点F是定点，l是不经过点F的定直线，D是l上任意一点，过点D作MD?l，线段FD的垂直平分线m交MD于点M。拖动点D，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论） 可以发现，点M随着D运动的过程中，始终有|MD|=|MF|,即点M与定点F和定直线l的距离相等。（也可以用几何画板度量|MD|，|MF|的值 1、 抛物线定义： 平面内与一个定点F和一条定直线l定点F叫做抛物线的焦点，定直线l（定义引入）：注:定点F不在这条定直线l； 思考若定点F在这条定直线l，则点的轨迹是什么？（学生思考、讨论、画图） 此时退化为过F点且与直线 l 垂直的一条直线。 2、推导抛物线的标准方程：比较三种不同的建立坐标系 的方法，选择合适的一种。（略） 如图所示，建立直角坐标系，设KF?p（p?0）, pp 那么焦点F的坐标为(,0)，准线l的方程为x?， 22 p2p 设抛物线上的点M(x,y)，则有(x?)?y2?|x?22 化简方程得 y2?2px?p?0方程y2?2px ?p?0?p （1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F(,0)， 2 p 它的准线方程是x?2 （2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2?2px，x2?2py，x2?2py.3、抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出KF?p（p?0）， (1)y2?2px(p?0), 焦点:(,0)，准线l：x?2 p(2)y2?2px(p?0), 焦点:(?,0)，准线l：x?2 pp (3)x2?2py(p?0), 焦点:(0,)，准线l：y? 22 p (4) x2?2py(p?0), 焦点:(0,?)，准线l：y?2相同点：(1)抛物线都过原点； (2)对称轴为坐标轴； (3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称； 12pp ?； 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即 442 不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项， 方程右端为?2px、左端为y2； 图形关于y轴对称时，y为一次项， x为二次项， 方程右端为?2py，左端为x（2）开口方向在x轴（或y轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号； 开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，三、讲解范例： 例1 （1）已知抛物线标准方程是y2?6x （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，2）（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程 （4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程 分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p即可； （2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p，问题易解。 33 解析：（1）p?3，焦点坐标是（，0）准线方程是x? 22p （2）焦点在y轴负半轴上，2， 2 所以所求抛物线的标准方程是x2?8y （3）因为准线方程是 x = 1，所以 p =2 ，且焦点在 x 轴的负半轴上，所以所求抛物线的标准方程是 y2?4x. （4）（2）经过点A（2，3）的抛物线可能有两种标准形式：y22px或x2 9 2py点A（2，3）坐标代入，即94p，得2p 2 4 点A（2，3）坐标代入x22py，即46p，得2p 3 94 所求抛物线的标准方程是y2?x或x2y 23 课堂练习： 1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F（3，0）； 1 4 （3）焦点到准线的距离是2。 2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2 = 20x(2)x2 =y (3)2y2+5x =0 (4)x2 +8y =0 点评：练习时注意（1）由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；（2）p表示焦点到准线的距离故p0；（3）根据图形判断解有几种可能 例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。 五、备用练习： 1抛物线x24y上的点M到焦点的距离是10，求M2、拓展：(xx.辽宁高考）已知F是抛物线的焦点，A、B是y2?x AF?BF?3则线段AB的中点到Y轴的距离为 该抛物线上的两点， 34 75 C D 4 4 五、小结 ： 、4 七、板书（略） 八、教学反思 （2）准线方程 是x =- 抛物线及其标准方程教学设计 一、设计理念： 1、遵循新教材对圆锥曲线课程的设置，从生活实例和圆锥曲线知识本身的内在联系出发。 2、重视数学概念的发生、发展过程，在概念的形成过程中培养学生用类比的思想提出问题，猜想结论 3、重视学生的学习过程，在教学中充分体现“教师主导、学生主体”的教学理念，注重培养学生创新思维，独立思考、相互交流、合作探究的能力 二、设计思路： 1、以类比的思想出发，巩固旧知，引出新知 课本采取的是以二次函数表示抛物线引入，这里，采用了比较传统的类比椭圆和双曲线的定义出发，结合第二定义进行合理的猜想，引入几何画板，借助多媒体直观展示圆锥曲线的形成过程，进而给出定义。 类比求前两种曲线方程的步骤求抛物线标准方程 2、加强“数量关系”与“平面图形”的结合 根据抛物线的方程刻画图形，这里不是简单的要求学生记忆一次表示对称轴，符号决定开口，而是从X和Y的取值范围刻画图形。 3、重视课本思考题的设置，合理的增加探究题 这里除了课本的思考题外，增加了探讨“二次函数表示抛物线，那么抛物线是否表示二次函数？”的问题，加强学生对函数对应的本质的再次理解 三、学情分析： 1、学生已有的知识储备情况 抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线.一是学生很早就认识了抛物线，二是学生有了探索圆锥曲线的基本方法和认知，这对于圆锥曲线的后续学习有借鉴、迁移的作用。不管从生活实例还是从二次函数的图像是抛物线等等出发，可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识. 这节课的授课对象是我校的学生，他们的数学基础知识比较扎实，具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能，有较好的学习习惯和方法. 2、预计的学生在本节课学习中的难度及对策 1、坐标系的建立 对策：这里教师不作引导，由学生自己选择建系方式，再将学生的结果用投影仪展示出来，并进行归纳，预设出原点在焦点、在抛物线顶点和在准线与X轴交点这三种可能的， 2.求抛物线的方程 对策：全班分三组完成，求出不同建系方式下的抛物线方程.通过比较，明确第2种建系方式所得的抛物线方程最简洁，并把这个方程叫做抛物线的标准方程. 3.明确抛物线标准方程的四种形式 对策：从以上推导出的一种形式的抛物线进行数形结合分析，先从形得角度出发求焦点坐标和准线方程，再从数的角度出发通过研究量X和Y的取值范围刻画抛物线图形，进而得出结论：一次决定对称轴，符号决定开口。最后分组口答剩余三种图形对应的方程或方程对应的图形。 4.两个思考题的探究 思考一： 你能说明y?ax2(a?0)的图像为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标和准线方程。对策：引导学生从抛物线定义及其标准方程的形式上进行解答 思考二： 二次函数表示的图形是抛物线，那么以上四种抛物线的图形是否都表示二次函数呢？ 对策：引导学生从函数的实质，即对应关系的角度进行分析，从而加深对函数的理解 四、教学目标及分解 据对教材和学情的分析，遵循普通高中数学课程标准对本节的教学要求，我将这节课的教学目标、重点和难点设置为： 教学目标： 1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程； 2.掌握抛物线的几何图形，定义和标准方程； 3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法，体会类比法，直接法，待定系数法和数形结合思想在数学中的应用 4