2016-2017学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期中数学试卷

2016-2017学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）把抛物线y=3x2向上平移一个单位，则所得抛物线的解析式为（）Ay=3（x+1）2By=3x2+1Cy=3（x1）2Dy=3x212（3分）一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是（）A摸出的四个球中至少有一个球是白球B摸出的四个球中至少有一个球是黑球C摸出的四个球中至少有两个球是黑球D摸出的四个球中至少有两个球是白球3（3分）若P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与P的位置关系是（）A在P内B在P上C在P外D无法确定4（3分）有长度分别为2cm，3cm，4cm，7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是（）ABCD5（3分）如图是我市环北路改造后一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为4m，水面最深地方的高度为1m，则该输水管的半径为（）A2mB2.5mC4mD5m6（3分）下列说法不正确的是（）A圆是轴对称图形，它有无数条对称轴B圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边C弦长相等，则弦所对的弦心距也相等D垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧7（3分）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）ABCD8（3分）已知二次函数y=x23x，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且3x1x2x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是（）Ay1y2y3By1y2y3Cy2y3y1Dy2y3y19（3分）已知二次函数y=x2x+a（a0），当自变量x取m时，其相应的函数值y0，那么下列结论中正确的是（）Am1的函数值小于0Bm1的函数值大于0Cm1的函数值等于0Dm1的函数值与0的大小关系不确定10（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的顶点为P，其图象与x轴有两个交点A（m，0），B（1，0），交y轴于点C（0，3am+6a），以下说法：m=3；当APB=120时，a=；当APB=120时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得ABM是顶角为120的等腰三角形；抛物线上存在点N，当ABN为直角三角形时，有a正确的是（）ABCD二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11（4分）将y=2x212x12变为y=a（xm）2+n的形式，则mn= 12（4分）O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是 13（4分）甲、乙玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲心中任选一个数字，记为m，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n若m、n满足|mn|1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是 14（4分）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：b24c0；3b+c+6=0；当1x3时，x2+（b1）x+c0；，其中正确的有 15（4分）已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C，我们称以A为顶点且过点C，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC为抛物线p的“梦之星”直线若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为 16（4分）如图，在等腰RtABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 三、解答题（共7小题，满分66分）17（10分）如图电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于 ；（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率18（8分）已知二次函数的顶点坐标为（2，2），且其图象经过点（3，1），求此二次函数的解析式，并求出该函数图象与y轴的交点坐标19（8分）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长20（8分）已知函数y=mx26x+1（m是常数）（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值21（8分）高致病性禽流感是比SARS传染速度更快的传染病为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3km范围内为扑杀区；离疫点3km5km范围内为免疫区，对扑杀区与免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，在扑杀区内公路CD长为4km（1）请用直尺和圆规找出疫点O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求这条公路在免疫区内有多少千米？22（12分）如图，东湖隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系（1）求该抛物线的解析式（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面高度相等，如果灯离地面的高度不超过8.5m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？23（12分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设此抛物线与直线y=x在第二象限交于点D，平行于y轴的直线与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，连接BM、CM、NC、NB，是否存在m的值，使四边形BNCM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由2016-2017学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）把抛物线y=3x2向上平移一个单位，则所得抛物线的解析式为（）Ay=3（x+1）2By=3x2+1Cy=3（x1）2Dy=3x21【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可【解答】解：根据题意，y=3x2向上平移一个单位得y=3x2+1故选：B2（3分）一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是（）A摸出的四个球中至少有一个球是白球B摸出的四个球中至少有一个球是黑球C摸出的四个球中至少有两个球是黑球D摸出的四个球中至少有两个球是白球【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断【解答】解：A、是随机事件，故A选项错误；B、是必然事件，故B选项正确；C、是随机事件，故C选项错误；D、是随机事件，故D选项错误故选：B3（3分）若P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与P的位置关系是（）A在P内B在P上C在P外D无法确定【分析】根据P点坐标和勾股定理可计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断它们的关系【解答】解：圆心P的坐标为（5，12 ），OP=13，OP=r，原点O在P上故选：B4（3分）有长度分别为2cm，3cm，4cm，7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是（）ABCD【分析】根据三角形的三边关系求出共有几种情况，根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率【解答】解：长度为2cm、3cm、4cm、7cm的四条线段，从中任取三条线段共有2.3.4，2.3.7，3.4.7，2.4.7四种情况，而能组成三角形的有2、3、4；共有1种情况，所以能组成三角形的概率是故选：D5（3分）如图是我市环北路改造后一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为4m，水面最深地方的高度为1m，则该输水管的半径为（）A2mB2.5mC4mD5m【分析】先过点O作ODAB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r，则OD=r1，在RtAOD中，利用勾股定理即可求出r的值【解答】解：如图所示：过点O作ODAB于点D，连接OA，ODAB，AD=AB=4=2m，设OA=r，则OD=r1，在RtAOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r1）2+22，解得r=2.5m故选：B6（3分）下列说法不正确的是（）A圆是轴对称图形，它有无数条对称轴B圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边C弦长相等，则弦所对的弦心距也相等D垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧【分析】根据垂径定理以及圆的相关知识进行解答【解答】解：A、圆是轴对称图形，过圆心的每条直线都是圆的对称轴，故A正确；B、若圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，则此弦一定不是直径，由垂径定理知，B正确；C、在同圆或等圆中，弦长相等，则弦所对的弦心距才相等；故C错误；D、此结论是垂径定理，故D正确；故选：C7（3分）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）ABCD【分析】先找出每个图形的“直径”，再根据所学的定理求出其长度，最后进行比较即可【解答】解：连接BC，则BC为这个几何图形的直径，过O作OMBC于M，OB=OC，BOM=BOC=60，OBM=30，OB=2，OMBC，OM=OB=1，由勾股定理得：BM=，由垂径定理得：BC=2；连接AC、BD，则BD为这个图形的直径，四边形ABCD是菱形，ACBD，BD平分ABC，ABC=60，ABO=30，AO=AB=1，由勾股定理得：BO=，BD=2BO=2；连接BD，则BD为这个图形的直径，由勾股定理得：BD=2；连接BD，则BD为这个图形的直径，由勾股定理得：BD=，22，选项A、B、D错误，选项C正确；故选：C8（3分）已知二次函数y=x23x，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且3x1x2x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是（）Ay1y2y3By1y2y3Cy2y3y1Dy2y3y1【分析】首先一个求出二次函数y=x23x的对称轴是x=3，函数开口向下，然后根据在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小即可判定y1，y2，y3的大小【解答】解：二次函数y=x23x，对称轴是x=3，函数开口向下，而对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，3x1x2x3，y1，y2，y3的大小关系是y1y2y3故选：A9（3分）已知二次函数y=x2x+a（a0），当自变量x取m时，其相应的函数值y0，那么下列结论中正确的是（）Am1的函数值小于0Bm1的函数值大于0Cm1的函数值等于0Dm1的函数值与0的大小关系不确定【分析】根据二次函数的性质解题【解答】解：设x1，x2是方程x2x+a=0的两根，x1+x2=1，x1x2=a，|x1x2|=，a0，1，|x1x2|1，当自变量x取m时，其相应的函数值y0，当自变量x取m1时，那么m1的函数值y010（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的顶点为P，其图象与x轴有两个交点A（m，0），B（1，0），交y轴于点C（0，3am+6a），以下说法：m=3；当APB=120时，a=；当APB=120时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得ABM是顶角为120的等腰三角形；抛物线上存在点N，当ABN为直角三角形时，有a正确的是（）ABCD【分析】把A、B两点的坐标分别代入抛物线的解析式得到式和式，将两式相减即可得到m=，即可得到C（0，3a3b），从而得到c=3a3b，代入式，就可解决问题；设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，则有PGx轴，只需求出点P的坐标就可解决问题；在第一象限内作MBA=120，且满足BM=BA，过点M作MHx轴于H，如图1，只需求出点M的坐标，然后验证点M是否在抛物线上，就可解决问题；易知点N在抛物线上且ABN为直角三角形时，只能ANB=90，此时点N在以AB为直径的G上，因而点N在G与抛物线的交点处，要使点N存在，点P必须在G上或G外，如图2，只需根据点与圆的位置关系就可解决问题【解答】解：点A（m，0）、B（1，0）在抛物线y=ax2+bx+c上，由得am2bmab=0，即（m+1）（amab）=0A（m，0）与B（1，0）不重合，m1即m+10，m=，点C的坐标为（0，3a3b），点C在抛物线y=ax2+bx+c上，c=3a3b，代入得a+b+3a3b=0，即b=2a，m=3，故正确；m=3，A（3，0），抛物线的解析式可设为y=a（x+3）（x1），则y=a（x2+2x3）=a（x+1）24a，顶点P的坐标为（1，4a）根据对称性可得PA=PB，PAB=PBA=30设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，则有PGx轴，PG=AGtanPAG=2=，4a=，a=，故正确；在第一象限内作MBA=120，且满足BM=BA，过点M作MHx轴于H，如图1，在RtMHB中，MBH=60，则有MH=4sin60=4=2，BH=4cos60=4=2，点M的坐标为（3，2），当x=3时，y=（3+3）（31）=2，点M在抛物线上，故正确；点N在抛物线上，ABN90，BAN90当ABN为直角三角形时，ANB=90，此时点N在以AB为直径的G上，因而点N在G与抛物线的交点处，要使点N存在，点P必须在G上或G外，如图2，则有PG2，即4a2，也即a，故正确故选：D二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11（4分）将y=2x212x12变为y=a（xm）2+n的形式，则mn=90【分析】首先利用配方法把一般式转化为顶点式，求出m和n的值，进而得出mn的值【解答】解：y=2x212x12=2（x26x+9）1812=2（x3）230，m=3，n=30，mn=9012（4分）O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是4OP5【分析】因为O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=4，即OP的最小值为4，所以4OP5【解答】解：如图：连接OA，作OMAB与M，O的直径为10，半径为5，OP的最大值为5，OMAB与M，AM=BM，AB=6，AM=3，在RtAOM中，OM=4，OM的长即为OP的最小值，4OP5故答案为：4OP513（4分）甲、乙玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲心中任选一个数字，记为m，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n若m、n满足|mn|1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与m、n满足|mn|1的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：画树状图得：共有16种等可能的结果，m、n满足|mn|1的有10种情况，甲、乙两人“心有灵犀”的概率是：=故答案为：14（4分）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：b24c0；3b+c+6=0；当1x3时，x2+（b1）x+c0；，其中正确的有【分析】由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b24c0；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1x3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+cx，继而可求得答案，由图象可知c=3，函数y=x2+bx+c的对称轴x=，得出b=3，即可求得=3【解答】解：函数y=x2+bx+c与x轴无交点，b24ac0；故错误；当x=3时，y=9+3b+c=3，3b+c+6=0；故正确；当1x3时，二次函数值小于一次函数值，x2+bx+cx，x2+（b1）x+c0故正确；函数y=x2+bx+c经过点（0，3），（3，3），函数y=x2+bx+c的对称轴x=，c=3，b=3，=3，故正确；故答案为15（4分）已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C，我们称以A为顶点且过点C，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC为抛物线p的“梦之星”直线若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为y=x22x3【分析】先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交点C的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x2+2x+1的顶点A坐标（1，0），接着利用点C和点C关于x轴对称得到C（1，4），则可设顶点式y=a（x1）24，然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式【解答】解：y=x2+2x+1=（x+1）2，A点坐标为（1，0），解方程组得或，点C的坐标为（1，4），点C和点C关于x轴对称，C（1，4），设原抛物线解析式为y=a（x1）24，把A（1，0）代入得4a4=0，解得a=1，原抛物线解析式为y=（x1）24=x22x3故答案为y=x22x316（4分）如图，在等腰RtABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是【分析】取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=4，则OC=AB=2，OP=AB=2，再根据等腰三角形的性质得OMPC，则CMO=90，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长【解答】解：取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，在等腰RtABC中，AC=BC=2，AB=BC=4，OC=AB=2，OP=AB=2，M为PC的中点，OMPC，CMO=90，点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，M点的路径为以EF为直径的半圆，点M运动的路径长=21=故答案为三、解答题（共7小题，满分66分）17（10分）如图电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于；（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率【分析】（1）根据概率公式直接填即可；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率【解答】解：（1）有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是；（2）画树状图如右图：结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，小灯泡发光的概率是18（8分）已知二次函数的顶点坐标为（2，2），且其图象经过点（3，1），求此二次函数的解析式，并求出该函数图象与y轴的交点坐标【分析】设二次函数的解析式为y=a（x2）22，再把顶点坐标为（2，2），点（3，1）代入即可得出二次函数的解析式，令x=0，即可得出该函数图象与y轴的交点坐标【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x2）22，把（3，1）代入y=a（x2）22，得a（32）22=1，解得a=3，所以二次函数的解析式为y=3（x2）22，当x=0时，y=342=10，所以函数图象与y轴的交点坐标（0，10）19（8分）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长【分析】由E是弧AC的中点，可得：OEAC根据垂径定理得：AD=AC，又OD=OEDE，故在RtOAD中，运用勾股定理可将OA的长求出【解答】解：E为弧AC的中点，OEAC，AD=AC=4cm，OD=OEDE=（OE2）cm，OA=OE，在RtOAD中，OA2=OD2+AD2即OA2=（OE2）2+42，又知0A=OE，解得：OE=5，OD=OEDE=3cm20（8分）已知函数y=mx26x+1（m是常数）（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值【分析】（1）根据解析式可知，当x=0时，与m值无关，故可知不论m为何值，函数y=mx26x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）（2）应分两种情况讨论：当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答【解答】解：（1）当x=0时，y=1所以不论m为何值，函数y=mx26x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；（2）当m=0时，函数y=mx26x+1的图象与x轴只有一个交点；当m0时，若函数y=mx26x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx26x+1=0有两个相等的实数根，所以=（6）24m=0，m=9综上，若函数y=mx26x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或921（8分）高致病性禽流感是比SARS传染速度更快的传染病为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3km范围内为扑杀区；离疫点3km5km范围内为免疫区，对扑杀区与免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，在扑杀区内公路CD长为4km（1）请用直尺和圆规找出疫点O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求这条公路在免疫区内有多少千米？【分析】（1）在内圆（或外圆）任意作出两条弦，分别作出者两条弦的垂直平分线，它们的交点就是疫点（即圆心O）；（2）利用垂径定理求出AB、CD的长度，问题解决【解答】解：（1）（2）如图连接OA、OC，过点O作OEAB于点E，CE=CD=2km，AE=AB，在RtOCE中，OE=km，在RtOAE中，AE=2km，AB=2AE=4km，因此AC+BD=ABCD=44（km）答：这条公路在免疫区内有（44）千米22（12分）如图，东湖隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系（1）求该抛物线的解析式（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，