2017-2018学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）期中数学试卷

2017-2018学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）期中数学试卷一、选择意（本大题共10小题，每小题3分，满分30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）ABCD2（3分）在平面直角坐标系中，点A（3，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（）A（3，1）B（3，1）C（3，1）D（3，1）3（3分）一元二次方程x22x7=0用配方法可变形为（）A（x+1）2=8B（x+2）2=11C（x1）2=8D（x2）2=114（3分）设x1，x2是一元二次方程x22x3=0的两根，则=（）A2B2C3D35（3分）将抛物线y=2x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线为（）Ay=2（x3）24By=2（x+3）24Cy=2（x3）2+4Dy=2（x+3）2+46（3分）若抛物线y=x2+2x+c与y轴交点为（0，3），则下列说法不正确的是（）A抛物线口向上B当x1时，y随x的增大而减小C对称轴为x=1Dc的值为37（3分）设A（2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）Ay1y2y3By1y3y2Cy3y2y1Dy3y1y28（3分）ABC是等边三角形，点P在ABC内，PA=2，将PAB绕点A逆时针旋转得到P1AC，则P1P的长等于（）A2BCD19（3分）在一次会议中，每两人都握了一次手，共握手21次，设有x人参加会议，则可列方程为（）Ax（x+1）=21Bx（x1）=21CD10（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x21012y116323则当y6时，x的取值范围是（）A1x3B3x3Cx1或x3Dx3二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11（3分）若x=2是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a= 12（3分）如图所示，将一个含30角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是 13（3分）抛物线y=+5的顶点坐标是 14（3分）关于x的一元二次方程kx2x+1=0有实数根，则k的取值范围是 15（3分）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y=，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为 m16（3分）如图，已知 RtABC中，AC=BC，C=90，D为AB边的中点，EDF=90，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB的延长线于E、F下面结论一定成立的是 （填序号）CD=AB；DE=DF；SDEF=2SCEF；SDEFSCEF=SABC三、解答题（本大题共9小题，满分102，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）（1）x22x8=0（2）（x2）（x5）+1=018（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点的坐标分别为（1，1），B（3，1），C（1，4）（1）画出ABC绕点C顺时针旋转90后得到的A1B1C（2）画出ABC关于点P（1，0）对称的A2B2C219（9分）某购物网站今年8月份的销售额为110万元，10月份的销售额达到133.1万元，求该购物网站8月份到10月份销售额的月平均增长率20（10分）如图，BAD是由BEC在平面内绕点B逆时针旋转60得到，且ABBC，连接DE（1）DBE的度数（2）求证：BDEBCE21（12分）已知关于x的一元二次方程x2（k+1）x+1=0（1）若方程有两个实数根，求k的取值范围（2）若方程的两根x1，x2是一个矩形两邻边的长，矩形的面积为5，求k的值22（12分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积23（12分）已知二次函数y=x22mx+m23（m是常数）（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都有两个交点（2）当m的值改变时，该函数的图象与x轴两个交点之间的距离是否改变？若不变，请求出距离；若改变，请说明理由24（14分）如图所示，已知在直角梯形OABC中，ABOC，BCx轴于点CA（1，1）、B（3，1）动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0t4），OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；（2）求S与t的函数关系式；（3）将OPQ绕着点P顺时针旋转90，是否存t，使得OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由25（14分）如图，已知直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将AOB绕点O顺时针旋转90后得到COD（1）点C的坐标是 ，线段AD的长等于 （2）点M是CD的中点，抛物线y=x2+bx+c经过点C、M求b和c的值如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在抛物线y=x2+bx+c上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由2017-2018学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择意（本大题共10小题，每小题3分，满分30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）ABCD【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误故选：C2（3分）在平面直角坐标系中，点A（3，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（）A（3，1）B（3，1）C（3，1）D（3，1）【分析】关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点B的坐标【解答】解：点A坐标为（3，1），点B的坐标为（3，1）故选：D3（3分）一元二次方程x22x7=0用配方法可变形为（）A（x+1）2=8B（x+2）2=11C（x1）2=8D（x2）2=11【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，即可确定出结果【解答】解：一元二次方程x22x7=0用配方法可变形为（x1）2=8，故选：C4（3分）设x1，x2是一元二次方程x22x3=0的两根，则=（）A2B2C3D3【分析】因为x1，x2是一元二次方程x22x3=0的两根，所以x1+x2=2，x1x2=3，利用整体代入的思想解决问题即可【解答】解：x1，x2是一元二次方程x22x3=0的两根，x1+x2=2，x1x2=3，=2，故选：A5（3分）将抛物线y=2x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线为（）Ay=2（x3）24By=2（x+3）24Cy=2（x3）2+4Dy=2（x+3）2+4【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可【解答】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的解析式是y=2（x+3）24，故选：B6（3分）若抛物线y=x2+2x+c与y轴交点为（0，3），则下列说法不正确的是（）A抛物线口向上B当x1时，y随x的增大而减小C对称轴为x=1Dc的值为3【分析】由条件可求得点c的值，再利用二次函数解析式，逐项判断即可【解答】解：y=x2+2x+c与y轴交点为（0，3），c=3，故D正确，不符合题意，抛物线解析式为y=x2+2x3=（x+1）24，抛物线开口向上，对称轴为x=1，当x1时，y随x的增大而增大，故A、C正确，不符合题意，B不正确，故选：B7（3分）设A（2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=（x+1）2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）Ay1y2y3By1y3y2Cy3y2y1Dy3y1y2【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得y1，y2，y3的值，比较大小即可【解答】解：A（2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=（x+1）2+2上的三点，y1=（2+1）2+2=1，y2=（1+1）2+2=2，y3=（2+1）2+2=7，127，y1y2y3，故选：A8（3分）ABC是等边三角形，点P在ABC内，PA=2，将PAB绕点A逆时针旋转得到P1AC，则P1P的长等于（）A2BCD1【分析】根据等边三角形的性质推出AC=AB，CAB=60，根据旋转的性质得出CP1ABPA，推出AP1=AP，CAP1=BAP，求出PAP1=60，得出APP1是等边三角形，即可求出答案【解答】解：ABC是等边三角形，AC=AB，CAB=60，将PAB绕点A逆时针旋转得到P1AC，CP1ABPA，AP1=AP，CAP1=BAP，CAB=CAP+BAP=CAP+CAP1=60，即PAP1=60，APP1是等边三角形，P1P=PA=2，故选：A9（3分）在一次会议中，每两人都握了一次手，共握手21次，设有x人参加会议，则可列方程为（）Ax（x+1）=21Bx（x1）=21CD【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x1）次，x人共需握手x（x1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手21次”，据此可列出关于x的方程【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x1（次）；依题意，可列方程为：=21；故选：D10（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x21012y116323则当y6时，x的取值范围是（）A1x3B3x3Cx1或x3Dx3【分析】由点（0，3）、（1，2）、（2，3）在二次函数y=ax2+bx+c上，可得出a0以及抛物线的对称轴为直线x=1，利用二次函数的性质可找出当x=3时y=6，再由抛物线开口向上即可找出当y6时x的取值范围【解答】解：点（0，3）、（1，2）、（2，3）在二次函数y=ax2+bx+c上，a0，二次函数图象的对称轴为直线x=1当x=1时，y=6，当x=3时，y=6当y6时，x的取值范围为1x3故选：A二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11（3分）若x=2是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a=0【分析】方程的根就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把x=2代入关于x的一元二次方程x2+2xa=0，就可以求出a的值【解答】解：把x=2代入x2+2x+a=0，得（2）2+2（2）+a=0，解得a=0故答案为：012（3分）如图所示，将一个含30角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是150【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解【解答】解：直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C在同一条直线上，旋转角是CAC=18030=150故答案为：15013（3分）抛物线y=+5的顶点坐标是（1，5）【分析】根据顶点式函数解析式写出顶点坐标即可【解答】解：二次函数y=+5的顶点坐标是（1，5）故答案为（1，5）14（3分）关于x的一元二次方程kx2x+1=0有实数根，则k的取值范围是k且k0【分析】根据二次项系数非零及根的判别式0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论【解答】解：关于x的一元二次方程kx2x+1=0有实数根，解得：k且k0故答案为：k且k015（3分）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y=，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为16m【分析】根据题意，把y=4直接代入解析式即可解答【解答】解：根据题意B的纵坐标为4，把y=4代入y=x2，得x=8，A（8，4），B（8，4），AB=16m即水面宽度AB为16m故答案为：1616（3分）如图，已知 RtABC中，AC=BC，C=90，D为AB边的中点，EDF=90，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB的延长线于E、F下面结论一定成立的是（填序号）CD=AB；DE=DF；SDEF=2SCEF；SDEFSCEF=SABC【分析】连接CD，如图，利用直角三角形斜边上的中线性质可对进行判断；再证明CDEBDF可对进行判断；利用DEF我等腰直角三角形得到DE=EF，根据三角形面积公式得到SDEF=DE2=EF2=（CE2+CF2），SCEF=CECF，则可对进行判断；然后计算SDEFSCEF=（CFCE）2=BC2=SABC，则可对进行判断【解答】解：连接CD，如图，C=90，D为AB边的中点，CD=AD=DB，即CD=AB，所以正确；CA=CB，C=90，ABC=45，CDBD，DCE=135，DBF=135，EDF=90，CDE=BDF，在CDE和BDF中，CDEBDF，DE=DF，所以正确；DEF我等腰直角三角形，DE=EF，SDEF=DE2=EF2，而EF2=CE2+CF2，SDEF=（CE2+CF2），而SCEF=CECF，SDEFSCEF=（CE2+CF2）CECF=（CFCE）2=（BC+BFCE）2=BC2=SABC，所以错误故答案为三、解答题（本大题共9小题，满分102，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）（1）x22x8=0（2）（x2）（x5）+1=0【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程【解答】解：（1）（x4）（x+2）=0，x4=0或x+2=0，所以x1=4，x2=2；（2）x27x+11=0，=（7）2411=5，x=，所以x1=，x2=18（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点的坐标分别为（1，1），B（3，1），C（1，4）（1）画出ABC绕点C顺时针旋转90后得到的A1B1C（2）画出ABC关于点P（1，0）对称的A2B2C2【分析】（1）分别作出点A、B绕点C顺时针旋转90后得到的对应点，再顺次连接可得；（2）分别作出点A、B、C关于点P的对称点，再顺次连接可得【解答】解：（1）如图，A1B1C即为所求；（2）如图，A2B2C2即为所求19（9分）某购物网站今年8月份的销售额为110万元，10月份的销售额达到133.1万元，求该购物网站8月份到10月份销售额的月平均增长率【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），参照本题，如果设平均增长率为x，根据“今年8月份的销售额为110万元，10月份的销售额达到133.1万元”，即可得出方程【解答】解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x，根据题意，得：110（1+x）2=133.1，解得：x1=0.1=10%，x2=2.1（不符合题意，舍去）答：该购物网站8月份到10月份销售额的月平均增长率为10%20（10分）如图，BAD是由BEC在平面内绕点B逆时针旋转60得到，且ABBC，连接DE（1）DBE的度数（2）求证：BDEBCE【分析】（1）根据旋转的性质可得DB=CB，ABD=EBC，ABE=60，然后根据垂直可得出DBE=CBE=30，（2）由（1）中的条件可根据SAS证明BDEBCE【解答】解：（1）BAD是由BEC在平面内绕点B旋转60而得，DB=CB，ABD=EBC，ABE=60，ABBC，ABC=90，DBE=CBE=30，（2）证明：在BDE和BCE中，BDEBCE（SAS）21（12分）已知关于x的一元二次方程x2（k+1）x+1=0（1）若方程有两个实数根，求k的取值范围（2）若方程的两根x1，x2是一个矩形两邻边的长，矩形的面积为5，求k的值【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系以及矩形的面积，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再结合（1）的结论即可确定k的值【解答】解：（1）方程x2（k+1）x+1=0有实数根，=（k+1）241（k2+1）=2k30，解得：k（2）根据题意得：x1x2=k2+1=5，解得：k=4，k，k=422（12分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积【分析】（1）根据AB为xm，BC就为（244x）m，利用长方形的面积公式，可求出关系式（2）由（1）可知S和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长；（3）根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可【解答】解：（1）AB=x米，BC=（244x）米，S=ABBC=x（244x）=4x2+24x（0x6）；（2）S=4x2+24x=4（x3）2+36，0x6，当x=3时，S有最大值为36平方米；（3），4x6，当x=4时，花圃的最大面积为32平方米23（12分）已知二次函数y=x22mx+m23（m是常数）（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都有两个交点（2）当m的值改变时，该函数的图象与x轴两个交点之间的距离是否改变？若不变，请求出距离；若改变，请说明理由【分析】（1）证明判别式0即可证得；（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2m，x1x2=m23，计算|x1x2|=2【解答】（1）证明：y=x22mx+m23，a=1，b=2m，c=m23，=b24ac=4m24（m23）=120，函数的图象与x轴有两个公共点；（2）解：设x22mx+m23=0的两个根为x1、x2，则x1+x2=2m，x1x2=m23，|x1x2|=2，当m的值改变时，该函数的图象与x轴两个交点之间的距离不变，其距离为224（14分）如图所示，已知在直角梯形OABC中，ABOC，BCx轴于点CA（1，1）、B（3，1）动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0t4），OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；（2）求S与t的函数关系式；（3）将OPQ绕着点P顺时针旋转90，是否存t，使得OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）设出此抛物线的解析式，把A、B两点的坐标代入此解析式求出a、b的值即可；（2）由与t的取值范围不能确定，故应分三种情况进行讨论，当0t2，重叠部分的面积是SOPQ，过点A作AFx轴于点F，在RtOPQ中利用三角形的面积公式及特殊角的三角函数值即可求出其面积；当2t3，设PQ交AB于点G，作GHx轴于点H，OPQ=QOP=45，则四边形OAGP是等腰梯形，重叠部分的面积是S梯形OAGP，由梯形的面积公式即可求解；当3t4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S五边形OAMNC因为PNC和BMN都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABCSBMN，进而可求出答案；（3）根据图形旋转的性质可求出将OPQ绕着点P顺时针旋转90时P、Q两点的坐标，再根据抛物线的解析式即可求出t的值【解答】解：（1）解法一：由图象可知：抛物线经过原点，设抛物线解析式为y=ax2+bx（a0）把A（1，1），B（3，1）代入上式得，解得，所求抛物线解析式为y=x2+x；解法二：A（1，1），B（3，1），抛物线的对称轴是直线x=2设抛物线解析式为y=a（x2）2+h（a0），把O（0，0），A（1，1）代入得解得所求抛物线解析式为：y=（x2）2+（2）分三种情况：当0t2，重叠部分的面积是SOPQ，过点A作AFx轴于点F，A（1，1），在RtOAF中，AF=OF=1，AOF=45，在RtOPQ中，OP=t，OPQ=QOP=45，PQ=OQ=tcos45=t，S=（t）2=t2当2t3，设PQ交AB于点G，作GHx轴于点H，OPQ=QOP=45，则四边形OAGP是等腰梯形，重叠部分的面积是S梯形OAGPAG=FH=t2，S=（AG+OP）AF=（t+t2）1=t1当3t4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S五边形OAMNC因为PNC和BMN都是等腰直角三角形，所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABCSBMNB（3，1），OP=t，PC=CN=t3，BM=BN=1（t3）=4t，S=（2+3）1（4t）2 S=t2+4t；（3）存在t1=1，t2=2将OPQ绕着点P顺时针旋转90，此时Q（t+，），O（t，t）当点Q在抛物线上时，=（t+）2+（t+），解得t=2；当点O在抛物线上时，t=t2+t，解得t=125（14分）如图，已知直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将AOB绕点O顺时针旋转90后得到COD（1）点C的坐标是（0，3），线段AD的长等于4（2）点M是CD的中点，抛物线y=x2+bx+c经过点C、M求b和c的值如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在抛物线y=x2