解析几何重要公式和结论

解析几何重要公式和结论 平面解析几何的公式与结论 1.直线的五种方程 （1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k) （2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距). （3）两点式 (4)截距式 y?y1y2?y1x?y ? x?x1x2?x1 (y1?y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2). ?1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b?0) ab （5）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0). 2.两条直线的平行和垂直 (1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2 l1|l2?k1?k2,b1?b2; l1?l2?k1k2?1. (2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零, l1|l2? A1A2 ?B1B2 ?C1C2 ； l1?l2?A1A2?B1B2?0； 3四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y?y0?k(x?x0)(除直线x?x0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x?x0)?B(y?y0)?0,其中A,B是待定的系数 (2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为 (A1x?B1y?C1)?(A2x?B2y?C2)?0(除l2)，其中是待定的系数 (3)平行直线系方程：直线y?kx?b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程与直线 Ax?By?C?0平行的直线系方程是Ax?By?0(?0)，是参变量 (4)垂直直线系方程：与直线Ax?By?C?0 (A0，B0)垂直的直线系方程是Bx?Ay?0,是参变量 4.点到直线的距离 d? |Ax?By?C| 结论：若直线Ax?By?C?0穿过线段AB (其中A(X1,Y1)B(X2,Y2)则直线分AB的比值为 (点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0). =- Ax1?By1?CAx2?By2?C 5. Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域 设直线l:Ax?By?C?0，则Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域是： 若B?0，当B与Ax?By?C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与Ax?By?C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若B?0，当A与Ax?By?C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax?By?C异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 6. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 (x?a)?(y?b)?r. （2）圆的一般方程 x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F0). 2 22 2 2 22 （3）圆的参数方程 ? ?x?a?rcos?y?b?rsin? . （4）圆的直径式方程 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2). 7. 圆系方程 (1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?(x?x1)(y1?y2)?(y?y1)(x1?x2)?0 ?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?(ax?by?c)?0,其中ax?by?c?0是直线AB的方程,是待定的系 数 (2)过直线l:Ax?By?C?0与圆C:x2?y2?Dx?Ey?F?0的交点的圆系方程是 x?y?Dx?Ey?F?(Ax?By?C)?0,是待定的系数 2 2 (3) 过圆C1:x2?y2?D1x?E1y?F1?0与圆C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0的交点的圆系方程是 x?y?D1x?E1y?F1?(x?y?D2x?E2y?F2)?0,是待定的系数 2 2 2 2 8.点与圆的位置关系 点P(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种 若d? 2 2 2 d?r?点P在圆外;d?r?点P在圆上;d?r?点P在圆内. 9.直线与圆的位置关系 直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种: d?r?相离?0; d?r?相切?0; d?r?相交?0. Aa?Bb?CA?B 2 2 其中d?. 10.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d d?r1?r2?外离?4条公切线; d?r1?r2?外切?3条公切线; r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线; d?r1?r2?内切?1条公切线; 0?d?r1?r2?内含?无公切线. 11.圆的切线方程 (1)已知圆x?y?Dx?Ey?F?0 若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是 x0x?y0y? D(x0?x) 2 ? E(y0?y) 2 ?F?0. ? E(y0?y) 2 ?F?0表示过两个切点的切点弦方程 2 2 当(x0,y0)圆外时, x0x?y0y? D(x0?x) 2 过圆外一点的切线方程可设为y?y0?k(x?x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线 斜率为k的切线方程可设为y?kx?b，再利用相切条件求b，必有两条切线 (2)已知圆x?y?r 2 2 2 过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0x?y0y?r; 斜率为k 的圆的切线方程为y?kx?2 第一讲 直线与圆 一、选择题 1已知直线l1的方向向量a(1,3)，直线l2的方向向量b(1，k)若直线l2经过点 (0,5)且l1l2，则直线l2的方程为 ( ) Ax3y50 Bx3y150 Cx3y50 Dx3y150 解析：l1l2，ab0. 11 1，. 13k0，k，b?3?31 l2方程为yx5， 3即x3y150. 答案：B xy 2若直线1通过点M(cos ，sin )，则( ) abAa2b21 Ba2b21 1111C.1D.1 abab xy 解析：直线1通过点M(cos ，sin )，我们知道点M在单位圆上，此问题可 abxy 转化为直线1和圆x2y21有公共点，圆心坐标为(0,0)，由点到直线的距离 ab公式有 |1|11 1?1，故选D. abab 答案：D 3(xx福建)以抛物线y24x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ( ) Ax2y22x0 Bx2y2x0 Cx2y2x0 Dx2y22x0 解析：抛物线y24x的焦点为(1,0)，满足题意的圆的方程为(x1)2y21，整 理得x2y22x0，故选D. 答案：D 4(xx江西)直线ykx3与圆(x3)2(y2)24相交于M，N两点，若|MN|3， 则k的取值范围是 ( ) 33 ，0? B.?0，) A.?4?4? |3k1| k1 解析：圆心(3,2)到直线的距离d 则|MN|2 4? ?|3k1|2 ?k1? 5k6k33 23，解得k0，故选A. 4k1 答案：A 5(xx湖北)若直线yxb与曲线y34xx有公共点，则b的取值范围是( ) A122，122 B12，3 C1,12 D12，3 解析：y34xx变形为(x2)2(y3)24(0x4，1y3)，表示以(2,3) 为圆心，2为半径的下半圆，如图所示 若直线yxb与曲线y34xx有公共点，只需直线yxb在图中两直线之 间(包括图中两条直线)，yxb与下半圆相切时，圆心到直线yxb的距离为2， 即 |23b| 2，解得b122或b122(舍去)，b的取值范围为12 2 b3.故选D. 答案：D 二、填空题 6(xx全国)若直线m被两平行线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段 的长为22，则m的倾斜角可以是： 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是_(写出所有正确答案的序号) 解析：两直线xy10与xy30之间的距离为 |31| 2，又动直线l1与l2 2 所截的线段长为22，故动直线与两线的夹角应为30，因此只有适合 答案： 7(xx四川理)若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A、B两点， 且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_ 解析： 高而基培训中心内部资料 如图所示，在RtOAO1中， OA5，O1A5，OO15， AC525 2， 5 AB4. 答案：4 8(xx课标全国)过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2,1)，则圆C的方 程为_ 解析：由已知kAB0，所以AB的中垂线方程为x3. 过B点且垂直于直线xy10的直线方程为 y1(x2)，即xy30， ?x3，联立解得? ?y0，? 所以圆心坐标为(3,0)， 半径r?43?10?2， 所以圆C的方程为(x3)2y22. 答案：(x3)2y22 9(xx山东)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被圆C 所截得的弦长为2 2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为 _ 解析：设圆心A(x0,0)，x00，r|AC|x01，|BC|2，由直线l方程可知BCA 45，所以r2，x03，lAB，kAB1，AB方程为y1(x3)，即xy 30. 答案：xy30 三、解答题 10已知mR，直线l：mx(m21)y4m和圆C：x2y28x4y160. (1)求直线l斜率的取值范围； 解析几何部分公式、方法、技巧荟萃 直线和圆的方程 （1）与直线Ax?By?C?0平行的直线方程为：Ax?By?m?0(m?C) 与直线y?kx?b平行的直线为：y?kx?m(m?b)与直线Ax?By?C?0垂直的直线方程为：Bx?Ay?m?0 与直线y?kx?b(k?0)垂直的直线为：y? 1kx?m （2 （3 （4）l1 l1（5 AB? 2?x1?（此即弦长公式） 【注】该公式在圆锥曲线上有着广泛的应用，但在抛物线的焦点弦问题上，最好能从焦 半径公式入手简化计算量，另外用该公式时，求出值往往要用判别式验证。 （6）点P(x0,y0)到直线Ax?By?C? 0的距离d? 两平行直线l1:Ax?By?C1?0与l2:Ax?By?C2?0的距离： d? （注意：应用该公式时一定要使得l1与l2的A，B一致） （7） 求曲线C1:f(x,y)?0关于点(x0,y0)对称的曲线C2： 在曲线C2上任取一点(x,y)关于(x0,y0)对称的点为(2x0?x,2y0?y)代入曲线 （8 ?22 （9）二元二次方程Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0表示圆?B?0 ?22 ?D?E?4AF?0 二元二次方程x?y?Dx?Ey?F?0表示圆?D?E?4F?0 2222 其中圆心为(? D2 ,? E2 )，半径为r? 2 （10）已知点P(x0,y0)在圆x2?y2?Dx?Ey?F?0的外部，过P作圆的切线，切点分 别为A,B ，则切线长PA?PB? （11）若直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2有公共点， 则 （即圆心到直线的距离小于或等于半径！） （12）给定点P(x0,y0)和圆(x?a)2?(y?b)2?r2，则： ?r 【（13 （14【推广】过两曲线C1:f(x,y)?0与C2:g(x,y)?0的曲线系方程为： f(x,y)?g(x,y)?0（不含曲线C2） 2222 （15）过两圆C1:x?y?D1x?E1y?F1?0与C2:x?y?D2x?E2y?F2?0的交点 的直线（公共弦）的方程为：(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0 椭圆 （1）椭圆的一般式方程：mx2?ny2?1(m?0,n?0,m?n) （2）椭圆的面积公式S?ab （3） 椭圆的第一定义：PF1?PF2?常数(即2a）?定点距离(即2c) （其中F1,F2称为焦点，a为长半轴长，c为半焦距，P为椭圆上任一点） （3 a（4 （5（6） （7）?(0?P?FQ 2 )（只需证明P?F?Q?F?0即可！） 2 （8）已知P为椭圆上任一点，?F1PF2?,则S?FPF?btan 1 2 ? 2 （其中b为短半轴长） 【注】关于?F1PF2,很多资料书称之为焦点三角形，经常给定该三角形的一些条 件，求椭圆的离心率、面积、周长等；此时须记：因为它是出现在椭圆里的特殊三角形，所以在解题时能立马想到椭圆第一定义、余弦定理、正弦定理等知识。 （9）椭圆的通径（过焦点与长轴垂直的弦）端点的坐标是(?c,? b 2 a ) 双曲线部分 （1）双曲线的一般式方程：mx2?ny2?1(mn?0) xa 22 （2） 双曲线? yb 22 ?(?0)与双曲线 xa 22 ? yb 22 ?1共渐近线为： xa ? yb ?0 （3（3（4）双曲线焦半径公式：F1为左焦点（下焦点） F2为右焦点（上焦点） PF1?a?ex0（或a?ey0） PF2?a?ex0（或a?ey0） （适合）平面解析几何（直线与圆）所有公式 1.两点间距离公式：两点A?x1,y1?,B?x2,y2?. AB? x 2 ?x1?y2?y1 2 2 2.点到直线距离公式：P?x0,y0?，直线Ax?By?C?0. Ax0?By0?C d? 22 A?B x1?y1x2?y2? 3.中点坐标：A(x,y)和B?x,y?的中点坐标为?,? 2?2 （x?x）4.斜率公式: 已知两点A?x1,y1?，B?x2,y2?， 1 1 2 2 1 2 y2?y1 则k? x2?x1 已知倾斜角?，则k ?tan? 5.斜率的取值范围：k?,? 6.倾斜角范围：? ?0，180? ? ? 7.直线方程的五种形式： （1）点斜式方程：点A?x0,y0?， 斜率k.y?y0?k?x?x0? （2）斜截式方程：斜率k，截距b.或给点?0,b?.截距b是坐标，有+,有-,有0。y?kx?b （3）两点式方程:A(x1,y1),B?x2,y2? (x1?x2且y1?y2) y?y1x?x1 则（x?x,且y?y） ? y2?y1x2?x1 1 2 1 2 （4）截距式方程.横截距a，纵截距b或给点?a,0?，?0,b? xy 则?1（a?0且b?0） ab （5）一般式方程：适合与所有条件，最后统一写成方程形式 Ax?By?C?0(A2?B2?0) 8.两条直线的位置关系 （1）相交?（一般式）A1B2?A2B1?0 A1B1 ?（一般式）?(A2B2?0) A2B2 ?（斜截式）k1?k2 （2）平行?（一般式）A1B2?A2B1?0且B1C2?C1B2?0或 A2C1?A1C2?0 A1B1C1 ?（一般式）?(A2B2C2?0) A2B2C2 ?（斜截式）k1?k2且b1?b2 （3）重合?（一般式）A1?A2,B1?B2,C1?C2(?0) A1B1C1 ?（一般式）? A2B2C2 ?（一般式）A1B2?A2B1?0且B1C2?C1B2?0或 A2C1?A1C2?0 ?（斜截式）k1?k2且b1?b2 （4）垂直?（一般式）A1A2?B1B2?0 ?（斜截式）k1k2?1 9.一般式方程Ax?By?C?0（B?0，保证斜率k存在）与斜截 AC 式方程y?kx?b关系：k?,b? BB 10.常用结论 （1）与Ax?By?C?0平行的直线方程为 Ax?By?D?0(D?C)必须写 Bx?Ay?D?0 （2）与Ax?By?C?0垂直的直线方程为 （3）两条平行直线Ax?By?C1?0与Ax?By?C2?0之间的 C1?C2 距离d? 22 A?B 11.圆的方程 （1）标准方程：?x?a?y?b?r。适用于给圆心?a,b?， 2 2 2 半径r的情况（2）一般方程：x 2 ?y2?Dx?Ey?F?0。适用于过三点的情 2 ?DE? 况。是圆前提：D?E?4F?0.圆心坐标?,?.半径 ?22? D2?E2?4F r? 2 222 12.点与圆的位置关系：点?x,y?.圆?x?a?y?b?r 2 （1）点在圆上?x 2 ?a?y?b?r 00 2 2 （2）点在圆内?x0（3）点在圆外