一些特殊矩阵特征值得求法与应用 (2)

本科毕业设计题 目：一些特殊矩阵特征值的求法与应用作 者： 高英学 号： 2010012491所属学院： 金融与数学书院专业班级：应数1002班指导教师： 赵建中职 称： 院长完成时间： 2014 年 4月 10日皖西学院教务处制 独创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。学生签名： 日期： 年 月 日 论文版权使用授权书本人完全了解皖西学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意皖西学院可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)学生签名： 日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 目录摘要IAbstractII第1章 绪论11.1 课题研究背景及目的11.2 研究现状11.3研究方法21.4研究内容2第2章几类特殊矩阵的概念及主要性质22.1 正交矩阵22.2 幂零矩阵22.3 对称矩阵32.4 三对角矩阵4第3章矩阵特征值的求法与应用43.1 一般矩阵的求法与应用43.2 特殊矩阵的求法与应用7结语20致谢20参考文献21 摘 要 主要介绍了正交矩阵、幂零矩阵、对称矩阵、三对角矩阵等特殊矩阵的相关概念以及这些矩阵的主要性质，同时介绍了这四类矩阵的特征值的求法及其应用，并结合例题体现了特殊矩阵在实际问题中的应用.关键词：正交矩阵 、幂零矩阵 、对称矩阵、 三对角矩阵； 特征值； 应用 Abstract Mainly introduces the orthogonal matrix, nilpotent matrices, symmetric matrices, and other special tridiagonal matrix of the matrix related concept and the main properties of the matrix, at the same time introduces the four kinds of characteristic value of matrix calculation methods and its application, and combined with examples, embodies the special matrix in the application of the practical problems.Keywords: orthogonal matrix, nilpotent matrices, symmetric matrices and tridiagonal matrix; Characteristic value; application 第一章 绪论 1.1课题研究背景及目的 在高等代数中矩阵是研究问题很重要的工具，在讨论矩阵的性质时给出了矩阵特征值的定义，但对矩阵特征值的性质研究很少，对特殊矩阵的特征值性质的研究更少，而特殊矩阵的特征值对研究特殊矩阵有很重要的意义。我们在研究矩阵及学习有关数学知识时，经常要讨论一些特殊矩阵的性质。为此，本文围绕对合矩阵、正交矩阵、对角矩阵、可逆矩阵等特殊矩阵给出了其主要性质并加以证明，同时列举了一些相关应用。1.2 研究现状 矩阵理论作为数学的一个重要分支，具有极为丰富的内容。它不仅是学习数值分析、最优化理论以及概率统计等数学学科的基础，而且在其他许多科学技术领域，如控制理论、力学、电学、信息科学与工程等，都有十分重要的应用。矩阵特征值问题的研究一直是矩阵理论中的热门领域，特征值问题在工程上和科学上应用广泛，如机件和机械的振动问题，量子力学、最优控制理论等实际问题 目前，对矩阵特征向量和特征值进行研究的文献也是举不胜数，而且越来越多的专家和学者正在进行更加深入的研究和拓展1.3研究方法 主要通过对一般矩阵的研究来要论特殊矩阵特征值的求法1.4研究内容(1） 描述正交矩阵、幂零矩阵、对称矩阵、三对角等特殊矩阵的基本概念和主要性质。(2）描述几个特殊矩阵特质值的求解过程，并说明具体的求解思路和求解技巧。(3）概况总结求解这些特殊矩阵特征值时的重点和难点。(4）结合具体问题进一步展示正交矩阵、对称矩阵、幂零矩阵、三对角矩阵等特殊矩阵特征值的实际应用价值。 第二章 几类特殊矩阵的基本概念及主要性质2.1正交矩阵2.1.1概念 A为n阶实矩阵,若ATA=E,则称A为正交矩阵.2.1.2性质1 设为A正交矩阵，则： (1)|A|=1； (2）A可逆，其逆A-1也是正交矩阵； (3）AT，A*也是正交矩阵.2 设A，B都是正交矩阵，则：AB，Am(m为自然数),ATB，ABT，A-1B，AB-1，A-1BA等都是正交矩阵；3 (1）设A，B为正交矩阵，且|A|=-|B|，则A+B必不可逆；(2）设为A，B奇数阶正交矩阵，且|A|=|B|，则必A-B不可逆.2.2 幂零矩阵2.2.1概念 令A为阶方阵，若存在正整数，使，A称为幂零矩阵。若A为幂零矩阵，满足的最小正整数称为A的幂零指数 2.2.2性质 1.A为幂零矩阵的充分必要条件是A的特征值全为0. 2.若A为幂零矩阵，B为任意的阶矩阵且有，则也为幂零矩阵 3.若A为幂零矩阵，则A一定不可逆但有. 4.A为幂零矩阵的充分必要条件为. 5.若A为幂零矩阵，则A的若当标准形J的若当块为幂零若当块，且J和主对角线上的元素为0 6.若A为幂零矩阵且，则有.2.3 对称矩阵2.3.1概念 如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身(AT = A) ，则称A为实对称矩阵2.3.2性质 1.特征值为实数； 2.属于不同特征值的特征向量正交； 3.特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等； 4.必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值2.4 三对角矩阵2.4.1概念：若矩阵 的非零项位于由主对角线及其之上的一条对角线与其之下的一条对角线组成的带内,如下式 那么称为三对角矩阵，此时有.第三章 矩阵特征值得求法与应用3.1一般矩阵的求法与应用3.1.1 一般矩阵特征值的求法概念 1设是数域上的一个阶方阵,若存在一个数以及一个非零维列向量,使得 则称是矩阵的一个特征值,向量称为矩阵关于特征值的特征向量现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法, 设是数域上维线性空间, 是它们的一组基, 线性变换就是在这组基下的矩阵是. 设是特征值，它的一个特征向量在下的坐标是. 则由, 这说明特征向量的坐标满足齐次次方程组即 (1.1) 由于, 所以它的坐标不全为零, 即齐次线性方程组有非零解. 从而, 齐次线性方程组（1.1）式, 有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零, 即我们引入以下定义.概念2 设是数域上一级矩阵, 是一个文字. 矩阵的行列式，称为的特征多项式, 这是数域上的一个次多项式.上面的分析说明, 如果是线性变换的特征值, 那么一定是矩阵的特征多项式的一个根; 反过来, 如果是矩阵的特征多项式在数域中的一个根, 即, 那么齐次线性方程组（1.1）式就有非零解. 这时，如果是方程组（1.1）式的一个非零解, 那么非零解向量.满足（1.1）式, 即是线性变换的一个特征值, 就是属于特征值的一个特征向量因此, 确定一个线性变换的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步：1、 在线性空间中取一组基, 写出在这组基下的矩阵;2、 求出的特征多项式在数域中全部的根, 它们也就是线性变换的全部特征值;3、 把所有得的特征值逐个代入方程组（1.1）式, 对于每一个特征值, 解方程组（1.1）式，求出一组基础解系, 它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标, 这样, 我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量 矩阵的特征多项式的根有时也称为的特征值, 而相应的线性方程组（1.1）式的解也就称为的属于这个特征值的特征向量、3.1.2一般矩阵的应用例1 的通解.解 令=， , =则方程组的矩阵形式为.由特征方程=(+)得矩阵的特征值为和,从而得特征值和对应的特征向量为=,=.令=.由方程的通解表达式得:=.即 .例2 设线性变换在基，下的矩阵是 ，求的特征值与特征向量解 因为特征多项式为 ,所以特征值-1（二重）和5把特征值-1代入齐次方程组得到它的基础解系是 ，因此，属于-1的两个线性无关的特征向量就是，而属于1的全部特征向量就是，取遍数域中不全为零的全部数对. 再用特征值5代入, 得到，它的基础解系是 因此, 属于5的一个线性无关的特征向量就是 ，而属于5的全部特征向量就是, 是数域中任意不等于零的数3.2关于一些特殊矩阵特征值的求法及应用 3.2.1正交矩阵特征值的求解与应用 1.正交矩阵的求法 据已知正交矩阵特征根模为1 ,则它一定有特征根1 或- 1 ,而其它的特征根为共轭复根.命题 （i) A 为正交矩阵, | A| = 1 , n 为奇数,则A 至少有特征根1. (ii) A 为正交矩阵, | A| = - 1 ,则A 一定有特征根- 1.证(i)由实系数多项式非实复数根成对出现,正交矩阵A 的特征多项式为实系数多项式,所以A一定有奇数 2k+1 个实特征根(至少一个) ,这样A 的全部特征根为 .其中为实根.而由前面命题知A 的特征根模长为1 ,正交矩阵的实特征根为1 ,1=从而中至少有一个为1. 由实系数多项式非实复数根成对出现,正交矩阵A 的特征多项式为实系数多项式, 所以设A的复特征根为2k 个: , 实特征根为. 因为A 正交, 所以 只能是1或- 1. 由及| A| = - 1 ,所以A 不可能全为复根,即n - 2 k 1 ,且由 故可知A 的特征根至少有一个为- 1.2.正交矩阵在数学分析物理问题中的应用任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量. 下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的量. 例 设曲线与曲线只差一个运动, 从曲线到曲线的变换为 (2.6) 其中是三阶正交矩阵, 是常数.对(2.6)两边求n阶导数得从而有 (2.7)因为A是正交矩阵, 所以也有 (2.8)另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵两边取行列式, 由得现在取可类似地讨论.因为 (2.9) (2.10)(2.7)代入(2.9)的右边得 （2.11）因(2.9)与(2.10)右边相等, 有(2.10)右边与(2.11)式右边相等得由正交矩阵的性质2知, 且由将上面三式左右分别平方相加+ + =写成矢函数, 即得于是我们可推得这里的分别是曲线的曲率与挠率.3.2.2幂零矩阵特征值得求法与应用1.幂零矩阵的求法 幂零矩阵特征值全为零证明 必要性 设Am=0 由schun 定理，存在可逆矩阵P，使得P-1AP=，其中.是A的特征根从而P-1AP=0故=0，从而，i=1,2.m,即A的特征值全为零另证 设为A的任意特征值，则为Am=0的特征值故=0，从而=0充分性 由于A的特征值全为0，故，由哈密尔-凯莱定理得An=0,即 A为幂零阵。2.幂零矩阵性质的应用 例1 设A和B是n阶矩阵，B为幂零矩阵，且AB=BA, 求证：证明：因为B是幂零阵，故B的特征值全为0，由AB=BA,所以存在可逆矩阵T，使T-1AT=； T-1BT=于是T-1(A+B)T=；故. 例2 设A为n阶矩阵，求证A=B+C ,其中B可对角化，C为幂零阵，且BC=CB.证明： 由A为n阶矩阵，则存在可逆矩阵P，使A=P-1JP其中 J=,且Ji(i=1,2.,s)是主对角元为的上三角Jordan块.0令,i=1,2.s,;易知是幂零阵，再令则B 相似于对角阵，且B+C=A,BC=CB.例3 设A,B,C ,且AC=CA,BC=CB,C=AB-BA,求证：存在自然数，使得Cm=0.证明 先证trCK=0,其中k为任意的自然数.因所以，C是幂零阵，可知存在自然数，使得Cm=03.2.3对称矩阵（实对称）特征值的求法及应用1.实对称矩阵特征值的求法 实对称矩阵的特征值都是实数证明：实对称，则设是的特征值，则存在非零向量，使得，注意，该式两边是格式的向量，同取共轭，再转置，得，即两边右乘，得，即，即，而非零向量使得故有，即为实数.2.实对称矩阵的应用（1）命题 设阶对称矩阵的特征值为其中， 对应的特征向量为，.则可取， 且为的重特征值证明 不妨设, , 因为两两正交,，所以为的特征向量, 为的对应于的特征向量, 且因为即矩阵的列向量组可由向量组线性表示, 故矩阵的秩, .所以为的特征值又可证为的重特征值, 设, 即 .因为, 秩, 故不妨设是向量组的极大线性无关组, 则有 若,则有做第三种初等变换将第j列化为令而行列式是的最高次幂为的多项式为的特征值,（2）命题的应用例6 计算阶行列式 解 将按第一行展开得,其中与分别是元素与的余子式, 再将它们分别按第一列展开得: ,则是阶线性循环数列. 将方程组表示成矩阵形式为： 令，由上式递推得： （2.3） 由，解的特征值为，再由特征方程, 解得对应的特征值, , .的特征向量分别为，令，则 由（2.3）式可得： ，将代入上式得：. 3.2.4一般的三对角矩阵特征值的求法及应用1.一般三对角矩阵的求法 = = =0 (4-1)问题转换为解方程 (4-1). 方程（4-1）变为： （4-2) 把方程（4-2)的各个根减去即，并且设： 这样就将方程（4-2)变成一个不含二次项的方程： （4-3) 设，于是：即得： （4-4）从而有：。根据一元多项式根与系数的关系，可知是二次方程的两个根.解二