三角函数解三角形综合

1.已知函数f（x）=sin（x）2sin2+m（0）的最小正周期为3，当x0，时，函数f（x）的最小值为0（1）求函数f（x）的表达式；（2）在ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（AC），求sinA的值解：（）依题意：函数所以，所以f（x）的最小值为m依题意，m=0（），在RtABC中，0sinA1，2.已知函数（其中0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为（I）求y=f（x）的单调递增区间；（）在ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2ba）cosC=ccosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断ABC的形状【解答】解：（），=，f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为，T=，=1，得：，函数f（x）单调增区间为；（）（2ba）cosC=ccosA，由正弦定理，得（2sinBsinA）cosC=sinCcosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），sin（A+C）=sin（B）=sinB0，2sinBcosC=sinB，sinB（2cosC1）=0，0C，根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值ymax=1，此时，即，ABC为等边三角形3.已知函数f（x）=sinx+cos（x+）+cos（x）1（0），xR，且函数的最小正周期为：（1）求函数f（x）的解析式；（2）在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0， =，且a+c=4，试求b的值【解答】解：（1）f（x）=sinx+cos（x+）+cos（x）1=T=，=2则f（x）=2sin（2x）1；（2）由f（B）=0，得或，kZB是三角形内角，B=而=accosB=，ac=3又a+c=4，a2+c2=（a+c）22ac=1623=10b2=a2+c22accosB=7则b=4.已知函数（1）求f（x）单调递增区间；（2）ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足，求f（A）的取值范围【解答】解：（1）f（x）=+sin2x=sin2xcos2x=sin（2x），令2k2x2k+，kZ，得到+kx+k，kZ，则f（x）的增区间为+k， +k（kZ）；（2）由余弦定理得：cosA=，即b2+c2a2=2bccosA，代入已知不等式得：2bccosAbc，即cosA，A为ABC内角，0A，f（A）=sin（2A），且2A，f（A），则f（A）的范围为（，）5.在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A为锐角，且bsinAcosC+csinAcosB=a（1）求角A的大小；（2）设函数f（x）=tanAsinxcosxcos2x（0），其图象上相邻两条对称轴间的距离为，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）图象，求函数g（x）在区间，上值域解：（1）bsinAcosC+csinAcosB=a，由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=sinA，A为锐角，sinA0，sinBcosC+sinCcosB=，可得：sin（B+C）=sinA=，A=（2）A=，可得：tanA=，f（x）=sinxcosxcos2x=sin2xcos2x=sin（2x），其图象上相邻两条对称轴间的距离为，可得：T=2=，解得：=1，f（x）=sin（2x），将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到图象对应的函数解析式为y=g（x）=sin2（x+）=sin（2x+），x，可得：2x+，g（x）=sin（2x+），16.已知向量，向量，函数（）求f（x）单调递减区间；（）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，c=4，且f（A）恰是f（x）在上的最大值，求A，b，和ABC的面积S解：（）=+1+sin2x+=sin2xcos2x+2=sin（2x）+2，所以：f（x）的单调递减区间为：（） 由（1）知：，时，由正弦函数图象可知，当时f（x）取得最大值3，（7分），（8分）由余弦定理，a2=b2+c22bccosA，得：，b=2，（10分）（12分）7.已知函数.（）作出在一个周期内的图象；（）分别是中角的对边，若，求的面积.利用“五点法”列表如下：001004分画出在上的图象，如图所示：（）由（），在中，所以.由正弦定理可知，即，所以，9分又，.因此的面积是.12分8.已知函数f（x）=（m+2cos2x）cos（2x+）为奇函数，且f（）=0，其中mR，（0，）（）求函数f（x）的图象的对称中心和单调递增区间（）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f（+）=，c=1，ab=2，求ABC的周长【解答】解：（）f（）=（m+1）sin=0，（0，）sin0，m+1=0，即m=1，f（x）为奇函数，f（0）=（m+2）cos=0，cos=0，=故f（x）=（1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x（sin2x）=sin4x，由4x=k，kZ得：x=k，kZ，故函数f（x）的图象的对称中心坐标为：（k，0），kZ，由4x+2k， +2k，kZ得：x+k， +k，kZ，即函数f（x）的单调递增区间为+k， +k，kZ，（）f（+）=sin（2C+），C为三角形内角，故C=，c2=a2+b22abcosC=，c=1，ab=2，a+b=2+，a+b+c=3+，即ABC的周长为3+9.已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=（）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2ac）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围【解答】解：（）向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=sincos+cos2=sin+cos+=sin（）+，因为f（x）=1，所以sin（）=，所以cos（x+）=12sin2（）=，（）因为（2ac）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinAsinC）cosB=sinBcosC所以2sinAcosBsinCcosB=sinBcosC所以2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，sinA0，所以cosB=，又0B，所以B=，则A+C=，即A=C，又0C，则A，得A+，所以sin（A+）1，又f（2A）=sin（A+），所以f（2A）的取值范围（10.已知向量，函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的值域；（2）在ABC中，若f（A）=4，b=4，ABC的面积为，求a的值【解答】解：（1）向量，函数f（x）=2+sin2x+2cos2x=3+sin2x+cos2x=3+2sin（2x+），可得函数f（x）的最小正周期为=，x，即有2x+（，可得sin（2x+）（，1，则在上的值域为（2，5；（2）在ABC中，若f（A）=4，b=4，ABC的面积为，可得3+2sin（2A+）=4，即sin（2A+）=，由0A，可得2A+，可得2A+=，即A=，由=bcsinA=4csin=c，解得c=1，则a2=b2+c22bccosA=16+18=13，即a=11.已知函数f（x）=2sin（x+）cosx（1）若0x，求函数f（x）的值域；（2）设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（AB）的值【解答】解：（1）f（x）=2sin（x+）cosx=（sinx+cosx）cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+；由得，即函数f（x）的值域为；（2）由，得，又由，解得；在ABC中，由余弦定理a2=b2+c22bccosA=7，解得；由正弦定理，得，ba，BA，cos（AB）=cosAcosB+sinAsinB=12.已知向量（xR），设函数f（x）=1（1）求函数f（x）的单调增区间；（2已知锐角ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC【解答】解：由已知得到函数f（x）=1=2cos2x+2sinxcosx1=cos2x+sin2x=2cos（2x）；所以（1）函数f（x）的单调增区间是（2x）2k，2k，即xk，k+，kZ；已升级到最新版（2）已知锐角ABC的三个内角分别为A，B，C，f（A）=2，则2cos（2A）=2，所以A=，又B=，边AB=3，所以由正弦定理得，即，解得BC=13.（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，角的对边分别为，若，的面积为，求a的最小值. 试题解析:（1），令，解得，的单调递减区间为（）.14.已知f（x）=，其中=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），xR（1）求f（x）的单调递减区间；（2）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=1，a=，且向量=【解答】解：（1）由题意知3分y=cosx在a2上单调递减，令，得f（x）的单调递减区间，6分（2），又，即，8分，由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=（b+c）23bc=7.10分因为向量与共线，所以2sinB=3sinC，由正弦定理得2b=3cb=3，c=2.12 分15.已知函数f（x）=2sin（x+）cosx（1）若0x，求函数f（x）的值域；（2）设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（AB）的值【解答】解：（1）f（x）=2sin（x+）cosx=（sinx+cosx）cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+；由得，即函数f（x）的值域为；（2）由，得，又由，解得；在ABC中，由余弦定理a2=b2+c22bccosA=7，解得；由正弦定理，得，ba，BA，cos（AB）=cosAcosB+sinAsinB=16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（x）=2sin（xA）cosx+sin（B+C）（xR），函数f（x）的图象关于点（，0）对称（）当x（0，）时，求f（x）的值域；（）若a=7且sinB+sinC=，求ABC的面积【解答】解：（）f（x）=2sin（xA）cosx+sin（B+C）=2（sinxcosAcosxsinA）cosx+sinA=2sinxcosxcosA2cos2xsinA+sinA=sin2xcosAcos2xsinA=sin（2xA），由于函数f（x）的图象关于点（，0）对称，则f（）=0，即有sin（A）=0，由0A，则A=，则f（x）=sin（2x），由于x（0，），则2x（，），即有sin（2x）1则值域为（，1；（）由正弦定理可得=，则sinB=b，sinC=c，sinB+sinC=（b+c）=，即b+c=13，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA，即49=b2+c2bc=（b+c）23bc，即有bc=40，则ABC的面积为S=bcsinA=40=1017.已知函数f（x）=2sinxcosx3sin2xcos2x+3（1）当x0，时，求f（x）的值域；（2）若ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=， =2+2cos（A+C），求f（B）的值【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx3sin2xcos2x+3=sin2x3+3=sin2xcos2x+1=2sin（2x+）+1，x0，2x+，sin（2x+），1，f（x）=2sin（2x+）+10，3；（2）=2+2cos（A+C），sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，由余弦定理可得cosA=，A=30，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90，由三角形的内角和可得B=60，f（B）=f（60）=218.设函数f（x）=cos（2x）+2cos2x（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取得最大值时x的集合；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=，b+c=2，求a的最小值【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x）+2cos2x=cos2xcos+sin2xsin+2cos2x=cos2xsin2x+1+cos2x=cos2xsin2x+1=cos（2x+）+1，当2x+=2k即x=k（kZ）时，f（x）取得最大值2，此时x的集合为x|x=k，kZ；（2）由2k+2x+2k+2可解得k+xk+，f（x）的单调递增区间为得k+，k+，kZ；（3）由（2）可得f（B+C）=cos（2B+2C+）+1=，cos（2B+2C+）=，由角的范围可得2B+2C+=，变形可得B+C=，A=，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc=（b+c）23bc=43bc43（）2=1当且仅当b=c=1时取等号，故a的最小值为119.已知函数，xR（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）设ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值【解答】解：（1）（3分），f（x）的最大值为0，最小正周期是（6分）（2）由，可得0C，02C2，sin（A+C）=2sinA，由正弦定理得（9分）由余弦定理得c=39=a2+b2ab由解得，（12分）20.已知向量，设函数.（1）求在上的最值；（2）在中，分别是角的对边，若，的面积为，求的值.；（2）.21.已知函数f（x）=sin2x+sin2x（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，ABC的面积为3，求a的最小值【解答】解：（1）f（x）=sin2x+sin2x=+sin2x=sin（2x）+，2k+2x2k+，kZ，解得：k+xk+，kZ，函数f（x）的单调递减区间为：k+，k+，kZ（2）f（）=，即： sin（2）+=，化简可得：sin（A）=，又A（0，），可得：A（，），A=，解得：A=，SABC=bcsinA=bc=3，解得：bc=12，a=2（当且仅当b=c时等号成立）故a的最小值为222.已知函数f（x）=2sinxcosx+2，xR（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC中，若f（A）=1，求ABC的面积【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx+=sin2x+=2sin（2x+），函数f（x）的最小正周期为，由2k2x+2k+，（kZ），得，函数f（x）的单调增区间是k，k（kZ），（2）由已知，f（A）=2sin（2A+）=1，sin（2A+）=，0A，2A+=，从而A=，又=，ABC的面积S=23.已知向量=（sinx，1），向量=（cosx，），函数f（x）=（+）（1）求f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在0，上的最大值，求A和b【解答】解：（1）向量=（sinx，1），向量=（cosx，），f（x）=（+）=sin2x+1+sinxcosx+=+1+sin2x+=sin2xcos2x+2=sin（2x）+2，=2，函数f（x）的最小正周期T=；（2）由（1）知：f（x）=sin（2x）+2，x0，2x，当2x=时，f（x）取得最大值3，此时x=，由f（A）=3得：A=，由余弦定理，得a2=b2+c22bccosA，12=b2+164b，即（b2）2=0，b=224.在中，分别是角的对边，且满足.（1）求角的大小；（2）设函数，求函数在区间上的值域.25.已知函数在处取最小值.（1）求的值；（2）在中，分别为内角的对边，已知，求角.试题分析：（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式得，由在处取最小值及查求得；（2）由可得，再由正弦定理求出，从而求出角的值，即可求角. （2）因为，所以，因为角为的内角，所以.又因为，所以由正弦定理，得，也就是，因为，所以或.当时，；当时，.26.已知函数的最小正周期为.（1）求函数在区间上的最大值和最小值；（2）已知分别为锐角三角形中角的对边，且满足，求的面积.答案及解析：26.(1)，；(2).试题分析：(1)利用三角恒等变换相关公式化简函数解析式得，由周期为，可求的值，由三角函数性质可求函数的最值.(2)由及正弦定理可求得，从而是求出解的值，由可求出角及角，由正弦定理求出边，即可求三角形面积.27.已知函数（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，a=2，求ABC的面积【解答】解：（） =sin2xcos+cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）令 2k2x+2k+，kz，求得 kxk+，函数f（x）的单调递增区间为k，k+，kz（）由已知，可得 sin（2A+）=，因为A为ABC内角，由题意知0A，所以2A+，因此，2A+=，解得A=由正弦定理，得b=，由A=，由B=，可得 sinC=，S=absinC=28.已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|，xR），且函数f（x）的最大值为2，最小正周期为，并且函数f（x）的图象过点（，0）（1）求函数f（x）解析式；（2）设ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（）=2，c=，求a+2b的取值范围【解答】解：（1）根据题意得：A=2，=4，即f（x）=2sin（4x+），把（，0）代入得：2sin（+）=0，即sin（+）=0，+=0，即=，则f（x）=2sin（4x）；（2）由f（）=2sin（C）=2，即sin（C）=1，C=，即C=，由正弦定理得： =2R，即=2R=1，a+2b=2RsinA+4RsinB=sinA+2sinB=sinA+2sin（A）=sinA+2sincosA2cossinA=sinA+cosAsinA=cosA，cosA1，即cosA，a+2b的范围为（，）29.已知函数f（x）=2cos2x+cos（2x+）（1）若f（）=+1，0a，求sin2的值；（2）在锐角ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边；若f（A）=，c=3，ABC的面积SABC=3，求a的值【解答】解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+cos（2x+）=1+cos2x+cos2xsin2x=cos2xsin2x+1=cos（2x+）+1，f（）=cos（2+）+1=+1，cos（2+）=，0，02+，sin（2+）=，（2）f（x）=cos（2x+）+1，f（A）=cos（2A+）+1=，cos（2A+）=，又A（0，），2A+（，），2A+=，解得A=又c=3，SABC=bcsinA=3，b=4由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=13，a=30.已知函数（，），且函数的最小正周期为（1）求函数的解析式；（2）在中，角，所对的边分别为，若，且，求的值【参考答案】（1）， 3分又，所以， 5分所以， 6分（2），故，所以，或（），因为是三角形内角，所以9分而，所以， 11分又，所以，所以，所以， 14分31.已知函数.（）求的单调递增区间； （）在中，三个内角的对边分别为，已知，且外接圆的半径为，求的值.试题解析：（） 2分 = 3分 由Z)得，Z) 5分 的单调递增区间是Z) 7（）， 于是 外接圆的半径为， 由正弦定理，得 ， 32.在中，分别是角A，B，C的对边，已知，且（1）求的大小；（2）设且的最小正周期为，求在的最大值。试题解析：（1） 又0x A=(2)=+=+= sin(x+)= =2=sin(2x+) 2x+， 时 33.已知函数f（x）=sinxcos（x+）+1（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边f（C）=，b=4， =12，求c【解答】解：（1）f（x）=sinx（cosxsinx）+1=sin2x+1=sin（2x+）+令2x+，解得x函数f（x）的单调递减区间是，kZ（2）f（C）=sin（2C+）+=，sin（2C+）=1，C=abcosA=2a=12，a=2由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=12+1624=4c=234.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+c2b2=ac，且b=c（1）求角A的大小；（2）设函数f（x）=1+cos（2x+B）cos2x，求函数f（x）的单调递增区间【解答】解：（1）在ABC中，因为，所以在ABC中，因为，由正弦定理可得，所以，故（2）由（1）得=，得即函数f（x）的单调递增区间为35.的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知（1）当时，求的值；（2）设，求函数的值域. 36.已知函数f（x）=sinx（sinx+cosx）（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=1，a=2，求三角形ABC面积的最大值【解答】解：（1）f（x）=sin2x+sinxcosx=cos2x+sin2x=sin（2x）f（x）的最小正周期T=，f（x）的最大值是（2）f（）=sin（A）+=1，sin（A）=，A=a2=b2+c22bccosA，12=b2+c2bc，b2+c2=12+bc2bc，bc12S=bc3三角形ABC面积的最大值是337.已知向量=（cos2x， sinx），=（1，），设函数f（x）=（）求函数f（x）取得最大值时x取值的集合；（）设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=，求sinA的值【解答】解：（）向量=（cos2x， sinx），=（1，），函数f（x）=cos2x+（sinx）2=cos2x+sin2x+cos2xsinxcosx=cos2xsin2x+=cos（2x+）+故当cos（2x+）=1时，函数f（x）取得最大值，此时2x+=2k，解得x=k，kZ，故x取值的集合为x|x=k，kZ；（）A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，且cosB=，sinB=，又f（C）=cos（2C+）+=，cos（2C+）=，2C+=，解得C=，sinA=sin（B）=cosB+sinB=38.已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），设函数f（x）=（1）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；（2）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，若f（A）=4，b=1，得面积为，求a的值【解答】解：（1）向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），函数f（x）=sin2x+2+2cos2x=sin2x+cos2x+3=2sin（2x+）+3，=2，T=，令2k2x+2k+，kZ，得到kxk+，kZ，则f（x）的最小正周期为；单调递增区间为k，k+，kZ；（2）由f（A）=4，得到2sin（2A+）+3=4，即sin（2A+）=，2A+=或2A+=，解得：A=0（舍去）或A=，b=1，面积为，bcsinA=，即c=2，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=1+42=3，则a=39.设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为AB