一元三次方程求根公式完整推导过程

1 一元三次方程() 32 00axbxcxda+= 的解法 先把方程0 23 =+dcxbxax化为0 3 =+qpxx的形式： 令 a b yx 3 =，则原式变成 原式0) 3 () 3 () 3 ( 23 =+d a b yc a b yb a b ya 0) 3 () 93 2 () 273 ( 2 2 2 3 3 2 22 3 =+d a b yc a b a by yb a b a yb a by ya 0 393 2 273 2 32 2 2 32 23 =+d a bc cy a b y a b by a b y a b byay 0) 327 2 () 3 ( 2 32 3 =+ a bc a b dy a b cay 0) 327 2 () 3 ( 23 3 2 2 3 =+ a bc a b a d y a b a c y 如此一来二次项就不見了，化成0 3 =+qpyy，其中 2 2 3a b a c p=， 23 3 327 2 a bc a b a d q+=。 对方程0 3 =+qpyy直接利用卡尔丹诺公式： 2323 33 1 223223 qqpqqp y =+ 2323 2 33 2 223223 qqpqqp y =+ 2323 2 33 3 223223 qqpqqp y = + 其中 13 2 i + =。 23 23 qp =+ 是根的判别式：0 时、有一个实根两个共轭虚根； 0 时、有三个实根，且其中至少有两个根相等； 0 时、有三不等实根。 2 三次方程求根公式的推导过程 0 3 =+qpyy (1) 不妨设 p、q 均不为零，令yuv=+ (2) 代入(1)得，0)3)( 33 =+qpuvvuvu (3) 选择uv、，使得 33 3 p uv uvq = += 即 3 33 33 27 p u v uvq = += (4) 故 3 u、 3 v关于 t 的一元二次方程0 27 3 2 =+ p qtt的两个根。 设， 23 23 qp D =+ ， 2 q T=， 又记 3 u的一个立方根为 1 u ，则另两个立方根为 112 uu= ， 123 uu= ，其中 1 、 2 为 12 1313 ; 22 ii + = 以下分三种情形讨论： 1)若0，即0D时，则 3 u、 3 v均为实数，可求得DTu+= 3 ，DTu= 3 。 取 3 1 DTu+=， 3 1 DTv=， 在 ji vuy+=，()3 , 2 , 1,=ji组成的九个数中，有且只有下面三组满足 3 p uv= ， 即 1 u、 1 v； 2 u、 2 v； 3 u、 3 v，也就是满足 32 1 1223 3 3 p u vu vu vTD= ， 于是方程(1)的三个根为 111 yuv=+ ， 21 12 1 ywuw v=+， 2211 1 yw uwv=+ ， 这时方程(1)有一个实根 1 y ，两个共轭虚根 2 y ， 3 y ，其表达式就是前面给出的“卡 丹公式”的形式，这里的根式D及 3 TD都是在实数意义下的。 2)若0 =，即0D =时，可求得 33 uvT=。取 3 11 uvT=， 故可求得 3 3 111 24yuvTq=+= ； () 3 3 231 12 112 4 2 q yywuw vT ww =+=+= 方程(1)有三个实根，其中至少有两个相等的实根。 3)若0，即 D0 时，因为 23 0 23 qp + ，故0p ， 则 3 u、 3 v均为虚数，求出 3 u、 3 v，并用三角式表示，就有 3 uTiD=+， 3 vTiD=， 其中 T，D都是实数， 3 故虚数 3 u、 3 v模均为 () 23 2 332 23 qp uvTDD =+= 所以 () 3 3 33 3 2 cossin 39 33 q pppD uii pp =+= + 同理() 3 3 cossin 9 pp vi = ， 其中 2 33 arccos 2 qp p = 且0 取 1 3 cossin 333 p ui = + ； 1 3 cossin 333 p vi = 则 21 1 322 cossincossin 33333 p uwuii =+ 322 cossin 333 p i + =+ 22 1 344 cossin 333 p vw vi + = 32 1 344 cossin 333 p uw ui + =+ 31 1 322 cossin 333 p vwvi + = 于是方程(1)得三个实根为 111 yuv=+， 222 yuv=+， 333 yuv=+ ，故有 具