2017-2018学年福建省福州市马尾区九年级（上）期中数学试卷

2017-2018学年福建省福州市马尾区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1（4分）已知点（2，1），则它关于原点的对称点坐标为（）A（1，2）B（2，1）C（2，1）D（2，1）2（4分）在下列图形中，属于中心对称图形的是（）A矩形B直角三角形C等边三角形D正五边形3（4分）二次函数y=3（x1）2的最大值是（）A3B0C1D14（4分）方程x（x1）=x的根是（）Ax=2Bx1=2，x2=0Cx=2Dx1=2，x2=05（4分）用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（）Ax2+4x=5B2x24x=5Cx22x=5Dx2+2x=56（4分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A168（1+x）2=128B168（1x）2=128C168（12x）=128D168（1x2）=1287（4分）如图，A、B、C是O上的三点，B=75，则AOC的度数是（）A150B140C130D1208（4分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，则下列结论中正确的是（）Aa0B2a+b0C4acb20Da+b+c09（4分）将抛物线y=x21向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（）A4B6C8D1010（4分）如图，以（1，4）为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是（）A2x3B3x4C4x5D5x6二、填空题（每小题4分，共24分）11（4分）一元二次方程3x2=x的根是 12（4分）如图，在直角OAB中，AOB=30，将OAB绕点O逆时针旋转100得到OA1B1，则A1OB= 13（4分）已知ABC的三边长分别是6，8，10，则ABC外接圆的直径是 14（4分）写出以下三个函数y=x2，y=x2，y=x2的一个共同性质： 15（4分）一个直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，则它的斜边长为 16（4分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）过以下三个点：（m，n），（m+2，2n），和（m+6，n），当抛物线上另有点的横坐标为m+4时，它的纵坐标为 ；当横坐标为m2时，它的纵坐标为 三、解答题（本大题共9小题，共86分）17（6分）x2+10x+9=018（8分）已知：关于x的一元二次方程x2+4xm2=0（1）若方程有一个根是1，求m的值；（2）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根19（8分）如图，在下列正方形网格图中，等腰三角形ABC与等腰三角形A1B1C1的顶点均在格点上，且ABC与A1B1C1关于某点中心对称，已知A，C1，C三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）（1）求对称中心的坐标；（2）画出ABC绕点B按顺时针旋转90后的A2BC2，并写出点A的对应点A2的坐标20（8分）如图1，是一座圆弧形涵洞的入口，图2是涵洞的示意图，如果涵洞的拱高CD为6米，涵洞入口处的地面的宽度AB为4米，请你求这座涵洞圆弧所在圆的半径长21（9分）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆外，AC，BC与半圆交于D点和E点（1）请只用无刻度的直尺作出ABC的两条高线，并写出作法；（2）若AC=AB，连接DE，BE，求证：DE=BE22（10分）如图，一块长6米宽4米的地毯，为了美观设计了两横两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价（供参考数据：1052=11025，1152=13225，1252=15625）23（11分）有一家苗圃计划种植桃树和柏树根据市场调查与预测，种植桃树的利润y1（万元）与投资成本x（万元）满足如图所示的二次函数y1=ax2；种植柏树的利润y2（万元）与投资成本x（万元）满足如图所示的正比例函数y2=kx（1）分别求出利润y1（万元）和利润y2（万元）关于投资成本x（万元）的函数关系式；（2）如果这家苗圃投入10万元资金种植桃树和柏树，苗圃至少能获得多少利润？若要使这家苗圃获得5万元利润，资金投入如何分配（桃树和柏树都要种植）？24（13分）如图，MON=120，ABC是等边三角形，O点是边BC的中点，将ABC绕点O逆时针旋转一定的角度，OM与边AB相交于点D，ON与边AC（或AC的延长线）相交于点E（1）如图1，若ODAB，垂足为D，BC=4，求CE的长；（2）如图2，当ON与AC边交于点E时，求证：BD+CE=BC；（3）如图3，当ON与AC边的延长线交于点E时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BD、BC、CE之间的数量关系25（13分）已知抛物线y=x2+bx+c（b、c是常数）与x轴有两个交点，其中有一点的坐标为A（1，0），点P（m，t）（m0）为抛物线上的一个动点（1）设y=m+t，写出y关于m的函数解析式，并求出该函数图象的对称轴（用含c的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，当m3时，与其对应的函数y的最小值为，求抛物线y=x2+bx+c的解析式；（3）在（2）的条件下，P点关于原点的对称点为P，且P落在第一象限内，当PA2取得最小值时，求m与t的值2017-2018学年福建省福州市马尾区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1（4分）已知点（2，1），则它关于原点的对称点坐标为（）A（1，2）B（2，1）C（2，1）D（2，1）【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，进行计算即可【解答】解：（2，1）关于原点的对称点坐标为（2，1），故选：D2（4分）在下列图形中，属于中心对称图形的是（）A矩形B直角三角形C等边三角形D正五边形【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确；B、不是中心对称图形，故选项错误；C、不是中心对称图形，故选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误故选：A3（4分）二次函数y=3（x1）2的最大值是（）A3B0C1D1【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（1，0），也就是当x=1时，函数有最大值0【解答】解：y=3（x1）2，此函数的顶点坐标是（1，0），即当x=1时，函数有最大值0故选：B4（4分）方程x（x1）=x的根是（）Ax=2Bx1=2，x2=0Cx=2Dx1=2，x2=0【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：x（x1）=x，x（x1）x=0，x（x11）=0，x11=0，x=0，x1=2，x2=0故选：D5（4分）用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（）Ax2+4x=5B2x24x=5Cx22x=5Dx2+2x=5【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要先把二次项系数化1，再在左右两边应加上一次项系数一半的平方【解答】解：A、x24x=5x24x+4=5+4；故该选项正确，B、2x24x=5x22x+1=+1；故该选项错误，C、x22x=5x22x+1=5+1；故该选项错误，D、x2+2x=5，x2+2x+1=5+1故该选项错误故选：A6（4分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A168（1+x）2=128B168（1x）2=128C168（12x）=128D168（1x2）=128【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1x），第二次后的价格是168（1x）2，据此即可列方程求解【解答】解：根据题意得：168（1x）2=128，故选：B7（4分）如图，A、B、C是O上的三点，B=75，则AOC的度数是（）A150B140C130D120【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论【解答】解：A、B、C是O上的三点，B=75，AOC=2B=150故选：A8（4分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，则下列结论中正确的是（）Aa0B2a+b0C4acb20Da+b+c0【分析】根据二次函数图象开口向上，判断a大于0，即可对选项A作出判断；根据对称轴为直线x=1，即可对选项B作出判断；根据x=1，即可对选项D作出判断；根据二次函数图象与x轴有两个交点，即可对选项C作出判断【解答】解：二次函数图象开口向上，a0，故A错误；二次函数图象的对称轴是直线x=1，=1，2a+b=0，故B错误；当x=1时，y0，即a+b+c0，故此选项D错误；二次函数与x轴有两个交点，b24ac0，则4acb20，故选项C正确，故选：C9（4分）将抛物线y=x21向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（）A4B6C8D10【分析】抛物线y=x21向下平移8个单位长度后的到的新的二次函数的解析式为y=x29，令x29=0求其解即可知道抛物线与x轴的交点的横坐标，两点之间的距离随即可求【解答】解：将抛物线y=x21向下平移8个单位长度，其解析式变换为：y=x29而抛物线y=x29与x轴的交点的纵坐标为0，所以有：x29=0解得：x1=3，x2=3，则抛物线y=x29与x轴的交点为（3，0）、（3，0），所以，抛物线y=x21向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6故选：B10（4分）如图，以（1，4）为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是（）A2x3B3x4C4x5D5x6【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x=1，可以算出右侧交点横坐标的取值范围【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c的顶点为（1，4），对称轴为x=1，而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是3x2，右侧交点横坐标的取值范围是4x5故选：C二、填空题（每小题4分，共24分）11（4分）一元二次方程3x2=x的根是x1=0，x2=【分析】本题应先对方程进行移项，然后提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题【解答】解：3x2=x，x（3x1）=0，x=0或3x1=0，x1=0，x2=故答案为x1=0，x2=12（4分）如图，在直角OAB中，AOB=30，将OAB绕点O逆时针旋转100得到OA1B1，则A1OB=70【分析】直接根据图形旋转的性质进行解答即可【解答】解：将OAB绕点O逆时针旋转100得到OA1B1，AOB=30，OABOA1B1，A1OB1=AOB=30A1OB=A1OAAOB=70故答案为：7013（4分）已知ABC的三边长分别是6，8，10，则ABC外接圆的直径是10【分析】根据勾股定理的逆定理得出C=90，即可求出答案【解答】解：AC=6，BC=8，AB=10，AC2+BC2=AB2，C=90，ABC的外接圆的半径是10=5，即外接圆的直径是10，故答案为：1014（4分）写出以下三个函数y=x2，y=x2，y=x2的一个共同性质：对称轴是y轴（或顶点是原点）【分析】根据二次函数的性质找出三个函数的开口方向、对称轴及顶点坐标，比较后即可得出结论【解答】解：函数y=x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；函数y=x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；函数y=x2的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），三个函数的共同性质为：对称轴是y轴和顶点是原点故答案为：对称轴是y轴（或顶点是原点）15（4分）一个直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，则它的斜边长为5【分析】设两直角边长为a和b，则a+b=7，ab=12，联立方程组解方程组即可求得三角形的直角边的长，再利用勾股定理求得斜边的长【解答】解：设两直角边长为a和b，则，解方程组得a=3，b=4或b=3，a=4，所以斜边c=5故答案为：516（4分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）过以下三个点：（m，n），（m+2，2n），和（m+6，n），当抛物线上另有点的横坐标为m+4时，它的纵坐标为2n；当横坐标为m2时，它的纵坐标为n【分析】由抛物线的对称性可得出抛物线的对称轴为直线x=m+3，进而可得出当x=m+4与x=m+2时y值相等，此时y=2n，将抛物线的解析式改写成顶点式，代入抛物线上两点的坐标找出a与n之间的关系，用a+24a即可得出当x=m2时，y=n，此题得解【解答】解：抛物线y=ax2+bx+c过点（m，n）、（m+6，n），抛物线的对称轴为直线x=m+3，当x=m+4与x=m+2时y值相等，此时y=2n，抛物线的解析式为y=a（xm3）2+m+2+m+4=2（m+3），当x=m+4与x=m+2时y值相等，此时y=2n抛物线y=a（xm3）2+过点（m，n）、（m+2，2n），8a=n，a+38a=2n3n=n，当x=m2时，y=n故答案为：2n；n三、解答题（本大题共9小题，共86分）17（6分）x2+10x+9=0【分析】首先把等式左边分解因式可得（x+9）（x+1）=0，进而可得x+9=0，x+1=0，再解一元一次方程即可【解答】解：x2+10x+9=0，（x+9）（x+1）=0，则x+9=0，x+1=0，解得：x1=9，x2=118（8分）已知：关于x的一元二次方程x2+4xm2=0（1）若方程有一个根是1，求m的值；（2）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根【分析】（1）代入x=1可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=4m2+160，由此即可证出：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根【解答】（1）解：将x=1代入原方程，得1+4m2=0，即m2=5，解得：m=（2）证明：=4241（m2）=4m2+16m20，4m2+160，即0，无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根19（8分）如图，在下列正方形网格图中，等腰三角形ABC与等腰三角形A1B1C1的顶点均在格点上，且ABC与A1B1C1关于某点中心对称，已知A，C1，C三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）（1）求对称中心的坐标；（2）画出ABC绕点B按顺时针旋转90后的A2BC2，并写出点A的对应点A2的坐标【分析】（1）由C1，C是对称点即可得；（2）分别作出点A、C绕点B按顺时针旋转90后的对应点，再顺次连接可得【解答】解：（1）C1，C是对称点，对称中心是（0，）；（2）如图所示，A2BC2即为所求；点A2的坐标为（1，1）20（8分）如图1，是一座圆弧形涵洞的入口，图2是涵洞的示意图，如果涵洞的拱高CD为6米，涵洞入口处的地面的宽度AB为4米，请你求这座涵洞圆弧所在圆的半径长【分析】连接OA，构造直角三角形根据垂径定理和勾股定理进行计算【解答】解：依题意，CD过点O且垂直于AB，连接OA，设半径为x米，所以AD=DB=2，在RtADO中，由勾投定理，有OA2=OD2+AD2，即x2=（6x）2+22，得答：半径为米21（9分）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆外，AC，BC与半圆交于D点和E点（1）请只用无刻度的直尺作出ABC的两条高线，并写出作法；（2）若AC=AB，连接DE，BE，求证：DE=BE【分析】（1）直接利用圆周角定理得出符合题意的答案；（2）利用等腰三角形的性质进而得出答案【解答】（1）解：如图所示：作法：连接AE与AD，则AE，BD是ABC的两条高线；（2）证明：AB是O的直径，AEB=90，即AEBC又AC=AB，1=2连接OD，OE，DOE=BOEDE=BE22（10分）如图，一块长6米宽4米的地毯，为了美观设计了两横两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价（供参考数据：1052=11025，1152=13225，1252=15625）【分析】（1）设配色条纹的宽度为x米，根据矩形的面积公式结合配色条纹的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于2的值即可得出结论；（2）根据总价=单价数量，即可求出结论【解答】解：（1）设配色条纹的宽度为x米，根据题意得：26x+24x4x2=64，整理得：25x2125x+24=0，解得：x1=（不符合题意，舍去），x2=答：配色条纹的宽度为米（2）地毯总造价为：64200+（1）46100=2784（元）答：地毯的总造价为2784元23（11分）有一家苗圃计划种植桃树和柏树根据市场调查与预测，种植桃树的利润y1（万元）与投资成本x（万元）满足如图所示的二次函数y1=ax2；种植柏树的利润y2（万元）与投资成本x（万元）满足如图所示的正比例函数y2=kx（1）分别求出利润y1（万元）和利润y2（万元）关于投资成本x（万元）的函数关系式；（2）如果这家苗圃投入10万元资金种植桃树和柏树，苗圃至少能获得多少利润？若要使这家苗圃获得5万元利润，资金投入如何分配（桃树和柏树都要种植）？【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出y1、y2关于x的函数关系式；（2）设种植桃树的资金投入为x万元，两项投入所获得的总利润为y万元，则种植柏树的资金投入为（10x） 万元，由总利润=种植桃树的利润+种植柏树的利润可得出y关于x的函数关系式，配方后结合二次函数的性质即可得出y的最小值，代入y=5求出x值，此题得解【解答】解：（1）抛物线y1=ax2经过点（4，1），42a=1，解得：a=，y1关于x的函数关系式为y1=x2y2=kx经过点（2，1），2k=1，解得k=，y2关于x的函数关系式为y2=x（2）设种植桃树的资金投入为x万元，两项投入所获得的总利润为y万元，则种植柏树的资金投入为（10x） 万元，根据题意得：y=x2+（10x）=（x4）2+4a=0，抛物线的开口向上，当x=4时，y有最小值，y最小=4万元当（x4）2+4=5时，解得：x1=8，x2=0（不合题意，舍去）10x=108=2答：苗圃至少获得4万元利润；若要使这家苗圃获得5万元利润，要投入8万元种植桃树，投入2万元种植柏树24（13分）如图，MON=120，ABC是等边三角形，O点是边BC的中点，将ABC绕点O逆时针旋转一定的角度，OM与边AB相交于点D，ON与边AC（或AC的延长线）相交于点E（1）如图1，若ODAB，垂足为D，BC=4，求CE的长；（2）如图2，当ON与AC边交于点E时，求证：BD+CE=BC；（3）如图3，当ON与AC边的延长线交于点E时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BD、BC、CE之间的数量关系【分析】（1）先求出OB=2，进而求出BD=1再判断出OBDOCE，即可得出结论；（2）先判断出OP=OQ，进而判断出POD=QOE，即可得出PODQOE，最后用等量代换即可；（3）同（2）的方法得出PD=EQ，同（1）的方法得出BP=BC，最后用线段的和差即可得出结论【解答】解：（1）如图1，ABC是等边三角形，B=C=60，点O是线段BC的中点，BO=OC=BC=2ODAB，得ODB=ODA=90，BOD=1806090=30，在RtOBD中，BD=OB=2=1；又OEA=3606090120=90，OEC=90，OBDOCE，CE=BD=1；（2）过点O作OPAB于P，作OQAC于Q，如图2，则有OPD=OQE=90同（1）的方法得，OBPOCQ，OP=OQA=60，POQ=360609090=120DOE=120，POD=QOEPODQOE，PD=EQBD+CE=BP+PD+CE=BP+EQ+CE=BP+CQ=2BP=2OB=BC（3）（2）中的结论不成立，线段BD、BC、CE之间的数量关系为BDCE=BC理由：如图3，过点O作OPAB于P，作OQAC于Q，则有OPD=OQE=90由（1）知OBPOCQ，BP=CQ，OP=OQA=60，POQ=360609090=120DOE=120，P