2017-2018学年福建省福州一中九年级（上）期中数学试卷

2017-2018学年福建省福州一中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1（4分）抛物线y=2（x+3）25的顶点坐标是（）A（3，5）B（3，5）C（3，5）D（3，5）2（4分）在O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则O的半径为（）A10B6C5D43（4分）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（）Av=320tBv=Cv=20tDv=4（4分）如图，有一个边长为4cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个圆形纸片的最小直径是（）A4cmB8cmC2cmD4cm5（4分）如图，以坐标原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设POB=，则点P的坐标是（）A（sin，sin）B（cos，cos）C（sin，cos）D（cos，sin）6（4分）若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，那么下列各点中一定也在此图象上的点是（）A（m，n）B（m，n）C（m，n）D（n，m）7（4分）下列四组图形中，一定相似的图形是（）A各有一个角是30的两个等个等腰三角形B各有一个角是120的两个等腰三角形C各有一个角是直角的两个三角形D有两边之比都等于2：3的两个三角形8（4分）如图，O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF若=，则的值为（）ABC1D9（4分）圆心角为60的扇形面积为S，半径为r，则下列图象能大致描述S与r的函数关系的是（）ABCD10（4分）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y=上的三点，若x1x2x3，y2y1y3，则下列关系式不正确的是（）Ax1x20Bx1x30Cx2x30Dx1+x20二、填空题（每小题4分，共24分）11（4分）O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为点A 在圆O 12（4分）圆心角为75的扇形的弧长是2.5，则扇形的半径为 13（4分）如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，AC是O的直径，P=50，则BAC= 14（4分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度若标杆BE的高为1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，则楼高CD为 m15（4分）已知ABCD的面积为4，对角线AC在y轴上，点D在第一象限内，且ADx轴，当双曲线y=经过B、D两点时，则k= 16（4分）如图，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 三、解答题（共86分）17（8分）（1）2x25x+2=0（配方法） （2）2sin60cos453tan30+tan4518（9分）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C（1）用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心M的位置（不用写作法，保留作图痕迹）（2）若A点的坐标为（0，4），连接MA、MC，将扇形AMC卷成一个圆锥，则此圆锥的高为 19（8分）如图，已知ABC内接于O，CD是O的切线与半径OB的延长线交于点D，A=30，求BCD的度数20（8分）热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋楼底部的俯角为60，热气球A处与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高？21（10分）如图，在RtABC中，C=90，O为AB边上一点，O交AB于E，F两点，BC切O于点D，且CD=EF=1（1）求证：O与AC相切；（2）求图中阴影部分的面积22（9分）如图，一次函数y1=kx1+b与反比例函数y2=（x0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点（1）求一次函数的解析式（2）根据图象直接写出k1x+b=的x的值（3）求AOB的面积23（10分）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？24（12分）已知AB是O的直径，PB是O的切线，C是O上的点，ACOP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f（1）求证：OBPOCP（2）设OP=AC，求CPO的正弦值（3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围25（12分）如图，抛物线y=mx216mx+48m（m0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E（1）若OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得ODB=OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+4my0212y050成立，求实数n的最小值2017-2018学年福建省福州一中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1（4分）抛物线y=2（x+3）25的顶点坐标是（）A（3，5）B（3，5）C（3，5）D（3，5）【分析】由于抛物线y=a（xh）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解【解答】解：抛物线y=2（x+3）25，顶点坐标为：（3，5）故选：A2（4分）在O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则O的半径为（）A10B6C5D4【分析】连结OA，如图，先根据垂径定理得到AC=AB=3，然后在RtOAC中，根据勾股定理计算出OA即可【解答】解：连结OA，如图，OCAB，AC=BC=AB=3，在RtOAC中，OC=4，AC=3，OA=5，即O的半径为5cm故选：C3（4分）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（）Av=320tBv=Cv=20tDv=【分析】根据路程=速度时间，利用路程相等列出方程即可解决问题【解答】解：由题意vt=804，则v=故选：B4（4分）如图，有一个边长为4cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个圆形纸片的最小直径是（）A4cmB8cmC2cmD4cm【分析】要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，这个圆形纸片的边缘即为其外接圆，根据正六边形的边长与外接圆半径的关系即可求出【解答】解：解：正六边形的边长是4cm，正六边形的半径是4cm，这个圆形纸片的最小直径是8cm故选：B5（4分）如图，以坐标原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设POB=，则点P的坐标是（）A（sin，sin）B（cos，cos）C（sin，cos）D（cos，sin）【分析】作PCOB于C，根据正弦、余弦的定义分别求出OC、PC，得到点P的坐标【解答】解：作PCOB于C，在RtPOC中，OC=OPcos=cos，PC=OPsin=sin，点P的坐标为（cos，sin），故选：D6（4分）若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，那么下列各点中一定也在此图象上的点是（）A（m，n）B（m，n）C（m，n）D（n，m）【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是mn的，就在此函数图象上【解答】解：点（m，n）在反比例函数y=的图象上，k=mn，只需把各点横纵坐标相乘，结果为mn的点在函数图象上；A、k=mn，故本选项错误；B、k=mn，故本选项错误；C、k=mn，故本选项正确；D、k=mn，故本选项错误故选：C7（4分）下列四组图形中，一定相似的图形是（）A各有一个角是30的两个等个等腰三角形B各有一个角是120的两个等腰三角形C各有一个角是直角的两个三角形D有两边之比都等于2：3的两个三角形【分析】利用相似图形的定义逐一判断后即可确定正确的选项【解答】解：A、各有一顶角或底角是30的两个等腰三角形相似，故本选项错误；B、各有一个角是120的两个等腰三角形相似，故本选项正确；C、两个直角三角形不一定相似，故本选项错误；D、有两边之比都等于2：3的两个三角形不一定相似，故本选项错误；故选：B8（4分）如图，O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF若=，则的值为（）ABC1D【分析】由E为线段AB中点，AD=DF找出ED=BF，再由同弦的圆周角相等和对顶角相等得出AEDCEB，由相似三角形的性质即可得出结论【解答】解：点E为线段AB中点，AD=DF，DE为ABF的中位线，ED=BFDAE=BCE（同弦的圆周角相等），AED=CEB，AEDCEB，=，又=，ED=BF，=故选：D9（4分）圆心角为60的扇形面积为S，半径为r，则下列图象能大致描述S与r的函数关系的是（）ABCD【分析】根据扇形的面积公式S=，得出S与r的函数关系式，进而根据函数的性质求解即可【解答】解：圆心角为60的扇形面积为S，半径为r，S=，S是r的二次函数，且r0，C、D错误；r=1时，S=1；r=2时，S=2.09，故选：A10（4分）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y=上的三点，若x1x2x3，y2y1y3，则下列关系式不正确的是（）Ax1x20Bx1x30Cx2x30Dx1+x20【分析】利用反比例函数的性质得k0，点A、B在第三象限，点C在第一象限，然后根据各象限点的坐标特征对各选项进行判断【解答】解：x1x2x3，y2y1y3，k0，点A、B在第三象限，点C在第一象限，x1x20x3故选：A二、填空题（每小题4分，共24分）11（4分）O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为点A 在圆O内【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断【解答】解：O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，点A在O内，故答案为：内12（4分）圆心角为75的扇形的弧长是2.5，则扇形的半径为6【分析】根据弧长公式l=来求扇形的半径r的值【解答】解：依题意得：=2.5，解得r=6故答案是：613（4分）如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，AC是O的直径，P=50，则BAC=25【分析】连接OB，根据切线的性质定理以及四边形的内角和定理得到AOB=180P=130，再根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得BAC的度数【解答】解：连接OB，PA、PB是O的切线，A、B为切点，PAO=PBO=90，AOB=360PPAOPBO=130，OA=OB，BAC=2514（4分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度若标杆BE的高为1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，则楼高CD为10.5m【分析】先证明ABEACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可【解答】解：EBCD，ABEACD，=，即=，CD=10.5（米）故答案为10.515（4分）已知ABCD的面积为4，对角线AC在y轴上，点D在第一象限内，且ADx轴，当双曲线y=经过B、D两点时，则k=2【分析】由题意可知：k0，且ADx轴BC，由于AC在y轴上，且由平行四边形的对角线的性质，可知AC与BD互相平分，由因为点B、D在双曲线y=上，由双曲线的对称性可知：AC与BD的交点在原点处【解答】解：由题意可画出图形，设点D的坐标为（x，y），AD=x，OA=y，ABCD的面积为4，ADAC=2ADOA=4，2xy=4，xy=2，k=xy=2，故答案为：216（4分）如图，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为【分析】由垂线段的性质可知，当AD为ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20EsinEOH=20Esin60，因此当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OHEF，垂足为H，在RtADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知EOH=EOF=BAC=60，在RtEOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OHEF，垂足为H，在RtADB中，ABC=45，AB=2，AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知EOH=EOF=BAC=60，在RtEOH中，EH=OEsinEOH=1=，由垂径定理可知EF=2EH=故答案为：三、解答题（共86分）17（8分）（1）2x25x+2=0（配方法） （2）2sin60cos453tan30+tan45【分析】（1）先移项，再把方程左边画出完全平方式的形式，利用直接开方法求出x的值即可；（2）将各特殊角的三角函数值代入，然后进行合并运算即可【解答】解：（1）移项得2x25x=2方程两边同时除以2得x2x=1，配方得，x2x+（）2=1+（）2，即（x）2=，方程两边直接开方得，x=，解得x1=2，x2=；（2）2sin60cos453tan30+tan45=23+1=1+1 =018（9分）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C（1）用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心M的位置（不用写作法，保留作图痕迹）（2）若A点的坐标为（0，4），连接MA、MC，将扇形AMC卷成一个圆锥，则此圆锥的高为【分析】（1）连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线，两条直线相交于点M；（3）连接MA、MC，AC，进而得出AMC=90，再利用勾股定理可求线段AM=MC=2，从而利用弧长公式可求弧AC=，设扇形AMC卷成的圆锥如图2，作圆锥的高MG，连接AG，利用弧长公式可求AG=，在RtAGM中，利用勾股定理可求GM【解答】解：（1）如图1所示：点M即为所求；（2）如图1所示：连结AC，A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），M（0，2），AM2=22+42=20，MC2=22+（62）2=20，AC2=62+（24）2=40，AM2+MC2=AC2，AMC为直角三角形，AMC=90，扇形AMC的面积=5；如图2，设圆锥底面圆的半径为r，根据题意得2r=5，解得r=，所以圆锥的高=故答案为：19（8分）如图，已知ABC内接于O，CD是O的切线与半径OB的延长线交于点D，A=30，求BCD的度数【分析】如图，连接OC，利用切线的性质得OCD=90，再利用圆周角定理得到COB=2A=60，则可判定OBC是等边三角形，所以OCB=60，然后利用互余计算BCD【解答】解：如图，连接OC，CD是O的切线，OCCD，OCD=90，A=30，COB=2A=60，OC=OB，OBC是等边三角形，OCB=60，BCD=90OCB=3020（8分）热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋楼底部的俯角为60，热气球A处与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高？【分析】过A作ADBC，垂足为D，在直角ABD与直角ACD中，根据三角函数即可求得BD和CD，即可求解【解答】解：过A作ADBC，垂足为D在RtABD中，BAD=30，AD=120m，BD=ADtan30=120=40 m，在RtACD中，CAD=60，AD=120m，CD=ADtan60=120=120 m，BC=40 +120 =160=277.12277.1m答：这栋楼高约为277.1m21（10分）如图，在RtABC中，C=90，O为AB边上一点，O交AB于E，F两点，BC切O于点D，且CD=EF=1（1）求证：O与AC相切；（2）求图中阴影部分的面积【分析】（1）连接OD，过点O作OHAC于点H，先根据题意得出四边形OHCD是矩形，进而可得出结论；（2）直接根据S阴影=S正方形ODCHS扇形ODH即可得出结论【解答】（1）证明：连接OD，过点O作OHAC于点H，BC是O的切线，ODBCC=90，OHC=ODC=C=90，四边形OHCD是矩形CD=EF，OH=EF=OEOHAC，AC是O的切线；（2）解：OD=EF=1，CD=1，DOH=90，S阴影=11=122（9分）如图，一次函数y1=kx1+b与反比例函数y2=（x0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点（1）求一次函数的解析式（2）根据图象直接写出k1x+b=的x的值（3）求AOB的面积【分析】（1）先把A、B点坐标代入y2=求出m、n的值；然后将其分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；（2）方程k1x+b=的解即为直线与双曲线交点横坐标的值；（3）分别过点A、B作AEx轴，BCx轴，垂足分别是E、C点直线AB交x轴于D点SAOB=SAODSBOD，由三角形的面积公式可以直接求得结果【解答】解：（1）点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y2=（x0）的图象上，6m=3n=6，m=1，n=2，A（1，6），B（3，2）又点A（1，6），B（3，2）两点在一次函数y1=kx1+b的图象上，解得：，则该一次函数的解析式为：y=2x+8；（2）根据图象可知使k1x+b=的x的值是x=1或x=3；（3）如图，分别过点A、B作AEx轴，BCx轴，垂足分别是E、C点直线AB交x轴于D点令2x+8=0，得x=4，即D（4，0）A（1，6），B（3，2），AE=6，BC=2，SAOB=SAODSBOD=4642=823（10分）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题（3）列出不等式先求出售价的范围，再确定销售数量即可解决问题【解答】解：（1）y=300+30（60x）=30x+2100（2）设每星期利润为W元，W=（x40）（30x+2100）=30（x55）2+6750x=55时，W最大值=6750每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元（3）由题意（x40）（30x+2100）6480，解得52x58，当x=52时，销售300+308=540，当x=58时，销售300+302=360，该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件24（12分）已知AB是O的直径，PB是O的切线，C是O上的点，ACOP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f（1）求证：OBPOCP（2）设OP=AC，求CPO的正弦值（3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到A=OCA，由平行线的性质得到A=BOP，ACO=COP，等量代换得到COP=BOP，由切线的性质得到OBP=90，由此即可解决问题；（2）过O作ODAC于D，根据相似三角形的性质得到CDOP=OC2，根据已知条件得到 =，由三角函数的定义即可得到结论；（3）连接BC，根据勾股定理得到BC=12，根据ACB的面积，可得d+f=，求出CM的最大值、最小值即可解决问题；【解答】解：（1）连接OC，OA=OC，A=OCA，ACOP，A=BOP，ACO=COP，COP=BOP，PB是O的切线，AB是O的直径，OBP=90，在POC与POB中，COPBOP，OCP=OBP=90，PC是O的切线；（2）过O作ODAC于D，ODC=OCP=90，CD=AC，DCO=COP，ODCPCO，=，CDOP=OC2，OP=AC，AC=OP，CD=OP，OPOP=OC2=，sinCPO=；（3）连接BC，作AGCM于G，BHCM于HAB是O的直径，ACBC，AC=9，AB=15，BC=12，SABC=ACBC=CMAG+CMBH，d+f=，当CMAB时，CM的值最小，CM的最小值=，当点M与B重合时，CM的值最大，CM的最大值为12，d+f的最大值为15，最小值为9，d+f的取值范围是：9d+f1525（12分）如图，抛物线y=mx216mx+48m（m0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交