轨迹方程的探究方法,,定义法,参数法

轨迹方程的探究方法,定义法,参数法 参数法求轨迹方程 一、教学目标 (一)知识教学点 深入理解曲线的参数方程与普通方程的区别与联系，进一步掌握参数方程与普通方程的互化方法 (二)能力训练点 掌握运用参数求轨迹方程的方法，了解设参的基本原则和选参的一般依据，能顺利消参并讨论轨迹的纯粹性和完备性，培养多向思维的流畅性 (三)学科渗透点 通过学习选参方法，学会透过现象挖掘本质的哲学思想方法 二、教材分析 1重点：运用参数求轨迹方程的方法 2难点：选择参数应遵循的一般依据，消参的技术与轨迹的纯粹性完备性讨论 3疑点：设参的基本原则 三、活动 1活动：问答、思考 2教具：投影仪 四、教学过程 (一)回忆、点题和明确任务 求动点的轨迹方程，如果动点坐标x、y之间的关系比较明显，那么可以用直接法，也就是建系、列式、化简如果动点坐标x、y之间的关系比较隐蔽，但动点在运动过程中符合某种二次曲线的定义，那么可以用定义法，也就是定型(曲线类型)、定位(曲线位置)、定量(曲线几何量)，然后直接运用二次曲线的方程写出动点的轨迹方程如果动点坐标x、y之间的关系很隐蔽并且很难判断动点符合某种二次曲线的定义，那么就可以引进一些参数，用这些参数把x、y之间的那种隐蔽关系间接地连起来，然后消掉参数，这就是所谓的参数法求轨迹方程 同学们常用的交轨法、换标法，实际上也是消去一些元，留下动点坐标x、y的方法，都可以叫参数法在实践中大家已经知道，参数法求轨迹方程的步骤是：首先根据运动系统的运动规律设参，然后运用这些参数列式，再从这些式子中消参，最后讨论轨迹的纯粹性和完备性，我们称之为议参其中，最关键的一步是设参，参设得不同，整个思维和运算过程不同，参设得不好，运算量增大，甚至根本就算不出来；最畏难一步是消参，经常遇到参消不了而越消越复杂的情况；最易错的一步就是轨迹的纯粹性完备性讨论如何做到设参合理、列式简易、消参顺利、议参严密，大家可以从下面的例子中来思考和总结 (二)讲例1，设参基本原则 请看屏幕(投影，读题) 例1 矩形ABCD中，AB=2a，BC=b，ab，E、F分别是AB、CD的中点，平行于EC的直线l分别交线段EF、FC于M、N两点，求直线AM与BN交点P的轨迹(图3-9) 首先需要建立坐标系，请考虑，建立直角坐标系一般应选择什么位置？ 学生1答： 选择边界、中心等特殊位置 那么，这一题如何建立坐标系？ 解：以E为原点，EB为x轴建立直角坐标系各点坐标如图(投影换片，加上坐标系与相关点坐标) 运动系统中，l主动，M、N从动，P随之 运动，请思考，在这一运动系统中有几种设参方法？ 学生2答： (1)l的纵截距c， (2)|OM|=t， (3)|FM|=t 为什么可以这样设参？ 一参对一点P，一P对一参，参变化P运动，参固定P静止，一句话：一切可以控制运动系统的量都可以设参 这就是设参的基本原则 设|FM|=t，t0，b，P(x，y) 学生3答： 不必要，只要找x、y、t间的最简单式子，从中能消参即可，这是列式的基本要求 上面的消参方法，可以视x、y为常数代入消参，也可以是两式作用消参参数t0，b范围明显，但由于没有显参数方程，所以不便通过议参来确定x、y的范围，此时可根据运动系统的运动全过程，由几何直观讨论轨迹的纯粹性和完备性 l过F时，P合于F，lOC时，PB故x0，y0 影片，显示轨迹) (三)讲例2，选参的一般依据 上面例1，设一个参数就可以了，并且消参也容易，下面的例2就不是这种情况，请看屏幕(投影，读题) 例2 点A(1，1)、B、C是抛物线y2=x上的动点，满足ABAC，作矩形ABPC，求P点的轨迹方程(图3-10) 运动系统中，表面上看有B、C两个动点，实际上由于ABAC，所以若B主动，则C从动，P随之运动，故实际上只有一个自由变量就可以控制整个运动系统请思考，这题有几种设参方法？各种设参通过什么途径把参数与动点坐标连系起来？ 学生4答： (2)设点B坐标(t2，t)kABkACCP 上述两种设参方法中，参数与动点P的关连都比较远，课后大家可以计算一下，实现这一关连，计算很是复杂那么再考虑，能否再找一种设参方法，这种设参方法不局限于一个参数，但确使参数与动点P间的关连比较近？ 学生5答： 解：设B(t12，t1)，C(t22，t2)P(x，y) 参数与P的关连很近，但参数多了一个，大家向来怕参数多，实际上，t1、t2之间本身有一个关系，F(t1，t2)=0，而这一关系在消参的运用上或许无需显解成t1=f(t2)，只需要将F(t1，t2)=0用一下就可以达到消参目的而前面的两种设参方法在消参过程中，实际上就是把t1、t2的关系F(t1，t2)=0显解成t1=f(t2)，然后消参时又恢复成F(t1，t2)=0的重复计算过程这种重复计算就是一开始所说的有时很复杂，有时根本就算不出来是否真的如此，算算看： (t1+t2)2=t12+t22+2t1t2， (y+1)2=x+1+2-(y+1)-2 即：(y+2)2=x-2 想一想看，如果显解出t1=f(t2)再两式消t2，将会出现两个关于t2的二次方程，这就是消参计算复杂性的原因，因此在根据设参基本原则确定的所有可设的参数中，选择与动点坐标关连密切的为参数 这就是选参的一般依据，并且选参不要求唯一，多个参之间不一定独立例1中一个参数需二个式，例2中二个参数需三个式，所以一般来说，n个参数需列n+1个式，而消参时更要充分运用恒等式进行整体消参 最后来讨论纯粹性和完备性同例1不一样，显然x、y是参数的显示数，但是两个参数的函数，且两个参数有关连，并非独立，所以x、y范围难求而用几何直观也比较困难，把两者结合起来： 求轨迹方程的常用方法 知识梳理： （一）求轨迹方程的一般方法： 1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系xf（t），yg（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）0。4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 （二）求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 ?x?f(t) 2.轨迹方程既可用普通方程F(x，y)?0表示，又可用参数方程?(t为参数) ?y?g(t) 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。 热身： x2y2 ?1. P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹95 中点的轨迹方程为： （ ） x2y242y2x242x2y2 ?1B、?y?1 C、?1 D、? A、x?=1 9595920365 【】：B x242 【解答】:令中点坐标为(x,y),则点P 的坐标为(x,2y)代入椭圆方程得?y?1,选B 95 2. 圆心在抛物线y?2x(y?0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是（ ） A x2?y2?x?2y? 2 2 2 1 ?0 4 B x?y?x?2y?1?0 D x2?y2?x?2y? 22 C x?y?x?2y?1?0 【】：D 1 ?0 4 a2a21 【解答】:令圆心坐标为(,a),则由题意可得a?,解得a?1,则圆的方程为 222x2?y2?x?2y? 1 ?0,选D 4 2 2 2 2 3: 一动圆与圆O：x?y?1外切，而与圆C：x?y?6x?8?0内切，那么动圆的圆心M的轨迹是： A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支 【答案】：D 【解答】令动圆半径为R，则有? 4: 点P(x0，y0)在圆x2+y2=1上运动，则点M（2x0，y0）的轨迹是 （ ） A.焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆 C. 焦点在y轴上的双曲线 D. 焦点在X轴上的双曲线 【答案】：A ?|MO|?R?1 ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。 ?|MC|?R?1 x?x?x?2x0x2?0 ?y2?1【解答】:令M的坐标为(x,y),则?2代入圆的方程中得 4?y?y0?y?y0? 一：用定义法求曲线轨迹 求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。 例1：已知?ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足 5 sinB?sinA?sinC,求点C的轨迹。 4 55 【解析】由sinB?sinA?sinC,可知b?a?c?10，即|AC|?|BC|?10，满足椭 44 圆的定义。令椭圆方程为 x2a 2 ? y2b 2 ?1，则a?5,c?4?b?3，则轨迹方程为 x2y2 。 ?1（x?5)，图形为椭圆（不含左，右顶点） 259 【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 （1） （2） （3） （4） 圆：到定点的距离等于定长 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） 到定点与定直线距离相等。 【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1，圆一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。 解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得： 。 ， 的圆心为M2， 。 动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。 故所求轨迹方程为 2 2 2 2 2:一动圆与圆O：x?y?1外切，而与圆C：x?y?6x?8?0内切，那么动圆的圆 心M的轨迹是： A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支 【解答】令动圆半径为R，则有? ?|MO|?R?1 ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。 ?|MC|?R?1 二：用直译法求曲线轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。 例2： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？ 解 设M点的坐标为(x,y) 由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM= 11 AB?2a?a, 22 ?x2?y2?a,x2?y2?a2 M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周. 【点评】此题中找到了OM= 下列几种情况： 1 AB这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有2 1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。 2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。 3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。 4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. 【变式2】: 动点P（x,y）到两定点A（3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即求动点P的轨迹方程？ 22 【解答】|PA|=(x?3)?y,|PB|? |PA| ，?2） |PB| (x?3)2?y2 (x?3)2?y2|PA| 代入?2?(x?3)2?y2?4(x?3)2?4y2 ?2得 |PB|(x?3)2?y2 化简得（x5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆. 三：用参数法求曲线轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的 取值范围。 例3过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。 【解析】 分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。 解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y4k（x2），（k） 由l1?l2，则直线l2的方程为y?4? 1 (x?2) k 4，0)， k2 l2与y轴交点B的坐标为(0，4?)， k ?l1与x轴交点A的坐标为(2? M为AB的中点， 4? 2?1?2x?2k ?(k为参数) 2?4? ?k?2?1y?2k? 消去k，得x2y50。 另外，当k0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M的轨迹方程为x2y50。 分析2：解法1中在利用k1k21时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用PAB为直角三角形的几何特性： |MP|? 1 |AB| 2 解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y）， l1l2，PAB为直角三角形 由直角三角形的性质，|MP|? ?(x?2)?(y?4)? 2 2 1 |AB| 2 1 (2x)2?(2y)2 2 化简，得x2y50，此即M的轨迹方程。 分析3：设M（x，y），由已知l1l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。 解法3：设M（x，y），M为AB中点，A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2过点P（2，4），且l1l2 PAPB，从而kPAkPB1， 4?04?2y ，kPB? 2?2x2?044?2y ?1，化简，得x?2y?5?0 2?2x2 而kPA? 注意到l1x轴时，l2y轴，此时A（2，0），B（0，4） 中点M（1，2），经检验，它也满足方程x2y50 综上可知，点M的轨迹方程为x2y50。 【点评】 1）解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运用了kPAkPB 1 1，|MP|?|AB|这些等量关系。 2 用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响 【变式3】过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。 第八章9.1用定义法求轨迹方程学案 教学目标、重难点 知识目标：掌握在不同条件下用定义求动点的轨迹的基本方法。 能力目标： 通过渗透数形结合、转化等思想方法培养学生的思维能力。 通过引导探究问题，培养学生的创新意识和探究能力。 情感目标： 主动参与教学过程，提出问题，解决问题 ，激发潜能，体验成功。 重点：会根据动点轨迹的几何特征用定义求轨迹方程。 难点：如何根据条件分析动点轨迹的几何特征 解题步骤 学案内容： 基础梳理 1圆及圆锥曲线的定义 (1)圆（文字内容） （表达式）(2)椭圆： （文字内容） （表达式）（3）双曲线 （文字内容）（表达式） (4)抛物线（文字内容） （表达式）（5）圆锥曲线统一定义 （文字内容） （表达式）2、两圆位置相切时半径与圆心距的关系 典型例题探究一：(基础题小练) 1、已知A（2,3）且，则点P的轨迹方程是： 2、已知?ABC的一边BC的长为3，周长为8，则顶点A的轨迹是什么？ 引申：能把正弦定理加进来考吗？ 易漏易错点： 3、若A(?2,0)，B(2,0)，且MA?MB?2，则动点M的轨迹是什么？ 引申：把数字2换成别的数字后轨迹变了吗？ 易漏易错点： 4、过点(1,0)且与方程x?1相切的圆的圆心的轨迹是什么？ 易漏易错点： x2y2 5、已知F1,F2分别是双曲线?2?1的左、右焦点,P为双曲线上一点,过F1作?F1PF2的36b 平分线的垂线,垂足为H,则点H的轨迹为( ) A. 椭圆B. 双曲线 C. 圆 D. 抛物线 典型例题探