高中数学函数的单调性整理PPT课件

.,函数的单调性,.,设函数f(x)的定义域为I:,一、函数的单调性,注:函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上可能是减函数.,如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数;,如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.,.,如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.,二、单调区间,1.取值:对任意x1,x2M,且x10(0(x(-2,+),当a0时,定义域-2,+)为f(x)的单调递增区间;,4a2(x+2)1,.,.,4.设函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1.(1)当k为何值时,函数f(x)的单调递减区间是(0,4);(2)当k为何值时,函数f(x)在(0,4)内单调递减.,不等式f(x)0的解集为(0,4),0与4是方程kx2+2(k-1)x=0的两根,即kx2+2(k-1)x0的解集为(0,4),(2)命题等价于kx2+2(k-1)x0对x(0,4)恒成立,设g(x)=kx+2(k-1),等价于kx+2(k-1)0得:x-1或0x1;,由g(x)1.,故g(x)的单调递增区间是(-,-1)与(0,1);,单调递减区间是(-1,0)与(1,+).,5.已知f(x)=8+2x-x2,若g(x)=f(2-x2),试确定g(x)的单调区间.,.,分析:这是抽象函数的单调性问题,应该用单调性定义解决.,解:在R上任取x1,x2,设x1f(x1)且:,f(x)是R上的增函数,且f(5)=1,当x5时0f(x)1,而当x5时f(x)1.,若x1x25,则0f(x1)f(x2)1,0f(x1)1,f(x1)f(x2)1,综上,F(x)在(-,5上为减函数,在5,+)上为增函数.,f(x2)-f(x1)0,F(x2)F(x1).,.,(1)证:由已知,对任意的x1,x2(-,+)且x10,f(x2-x1)1.,f(x2-x1)-10.,f(x2)-f(x1)0即f(x2)f(x1).,f(x)是R上的增函数.,(2)解:f(4)=5,令a=b=2得:f(4)=f(2)+f(2)-1,从而f(2)=3.,原不等式等价于f(3m2-m-2)f(2).,f(x)是R上的增函数,3m2-m-21.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.,.,f(x)的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意x,有:,解:要使函数有意义必须:,解得:-10;1-x11-x20,即f(x1)f(x2).,函数f(x)在(0,1)内单调递减.,由于f(x)是奇函数,故函数f(x)在(-1,0)内也单调递减.,.,9.已知函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),且满足条件:f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,当x1时,f(x)0.(1)求证:f(x)为偶函数；(2)讨论函数的单调性；(3)求不等式f(x)+f(x-3)2的解集.,(1)证:在中令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)f(1)=0.,令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=0.,再令y=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x).,f(x)为偶函数.,先讨论f(x)在(0,+)上的单调性,任取x1,x2,设x2x10,f(x2)f(x1).,f(x)在(0,+)上是增函数,由(1)知,f(x)在(-,0)上是减函数.,偶函数图象关于y轴对称,.,(3)解:fx(x-3)=f(x)+f(x-3)2,由、得2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4),1)若x(x-3)0,f(x)在(0,+)上为增函数,由fx(x-3)f(4)得:,2)若x(x-3)0,f(x)在(-,0)上为减函数,由fx(x-3)f(-4)得:,原不等式的解集为-1,0)(0,3)(3,4.,注抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题,其基本方法是变量代换、换元等,应熟练掌握它们的这些特点.,法二原不等式等价于f|x(x-3)|f(4)(x0,x-30),由f(x)在(0,+)上为增函数得:|x(x-3)|4.再进一步求得解集.,.,f(x)在区间-1,1上是增函数,f(x)0对x-1,1恒成立.,即x2-ax-20对x-1,1恒成立.,设(x)=x2-ax-2.,方法一:,对x-1,1,f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f(-1)=0以及当a=-1时,f(1)=0,A=a|-1a1.,.,方法二:,对x-1,1,f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f(-1)=0以及当a=-1时,f(1)=0,A=a|-1a1.,0a1或-1a0,x1,x2是方程x2-ax-2=0的两实根.,-1a1,要使m2+tm+1|x1-x2|对任意aA及t-1,1恒成立,当且仅当m2+tm+13对任意t-1,1恒成立,即m2+tm-20对任意t-1,1恒成立.,设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),.,方法一:,m2或m-2.,方法二:当m=0时,显然不成立;当m0时,m2或m-2