上海交通大学高等数学A下册期中试题汇编

1 2015 级第二学期高等数学期中考试试卷级第二学期高等数学期中考试试卷 (A 类类) 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 设 ln(1) 0, ( , ) ,0 xy x f x yx yx 是定义在( , )|1Dx yxy 上的二元函数，则 ( , )f x y在其定义域D内的不连续点的集合为 （ ） （A）（空集） ； （B）(0,0)； （C）( , )|0x yx ； （D）( , )|0 x yx 或0y 。 2. 下列二元函数中，在(0,0)点可微的是 （ ） （A）|xy； （B）|xy； （C） 2 |xy； （D） 2 |xy。 3. 已知曲面 22 4zxy上点P处的切平面平行于平面4210 xyz ，则点 P的坐标是 （ ） （A）( 2,1, 1)； （B）(2,1, 1)； （C）( 2, 1, 1) ； （D）(2, 1, 1) 。 4. 设( , )f x y在(0,0)点的邻域内连续，且 22 ( , )(0,0) ( , )4 lim1 x y f x yxy xy ，则（ ） （A）(0,0)点是( , )f x y的极小值点； （B）(0,0)点是( , )f x y的极大值点； （C）(0,0)点不是( , )f x y的极值点； （D）所给条件不足以判断(0,0)点是否( , )f x y的极值点。 5. 设 2222 ( )( , )|B rx yxyrR，二元连续函数( , )f x y满足0( , )1f x y。 记 1 ( ) ( , )( , ) n n B r F n rfx y d ，则下列选项正确的是 （ ） （A） 1 lim( , ) n F n n 一定不存在； （B） 1 lim( , ) n F n n 不一定存在； （C） 1 lim( , ) n F n n 一定存在，且 1 lim( , )(0,1) n F n n 。 （D）以上结论(A)，(B)，(C)都错误。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 6. 若 2 R上的可微函数( , )F x y的梯度为 2222 grad, 11 yx F x yx y ， 且(0,0)3F, 则( , )F x y _。 7. 曲面 222 231xyz的切平面与三个坐标平面围成的有限区域的体积的最 小值_。 8. 空间中曲面片zxy（ 22 1xy）的面积A_。 9. 设二元函数 2 0 ( , )sin x y t f x yetdt , 则 2 (,) 2 2 f x y _。 2 10. 2 2 ( , )(,3) lim(1)_ x x y x y y x 。 三、求偏导数（本题 8 分） 11. 设方程 222 2222440 xyzxyxyz在点(0,1,1)附近确定隐函数 ( , )zz x y，求 (0,1,1) z x ， 2 2 (0,1,1) z x ， 2 (0,1,1) z x y 。 四、 （每小题 10 分，共 20 分） 12. 设( , )zz x y满足方程 2 2 2 2 zz y yxy 。 令wxzy， 在变换 x u y ，vx 下，请将方程 2 2 2 2 zz y yxy 表示为w关于u、v的方程。 13. 设 2222 ( )( , )|B rx yxyrR。 若 函 数 22 2 ( ) ( )() xy B r F reay d 在 (0,)r内单调, 其中a为常数，求a的最大取值范围。 五、积分计算（每小题 10 分，共 20 分） 14. 记D为平面曲线1xy ，3xy ， 2 yx， 2 3yx所围的有界闭区域，计算 二重积分 23 2 D x d yxy 。 15. 计算三次积分 2 2 22 111 00 x z xy dxdyxe dz 。 六、应用题（第 16 题 6 分，第 17 题 8 分，共 14 分） 16. 设三角形ABC的一个顶点是(2,1)A，而B、C分别在直线0y 和yx上， 求此类三角形周长的最小值。 17. 求区域 3222222 ( , , ):1,1,1x y zxyyzxzR的体积。 七、证明题（本题 8 分） 18. 设( )f x和( )g x在R上、( , )K x y在 2 R上都是连续的正值函数，且满足 1 0 ( )( , )( )f y K x y dyg x ， 1 0 ( )( , )( )g y K x y dyf x ，证明： （1）若 01 ( ) min ( ) x f x m g x ， 01 ( ) max ( ) x f x M g x ，则1mM ； （2）当01x时，( )( )f xg x。 1 2014 级第二学期高等数学期中考试试卷级第二学期高等数学期中考试试卷(A 类类) 一、单项选择题（每小题（每小题 3 3 分，共分，共 1 15 5 分）分） 1设 24 22 2 ( , ) xy f x y xy ，则 0 0 lim( , ) x y f x y ( ) （A）等于0； （B）等于1； （C）等于2； （D）不存在。 2函数 e,0 ( , ) 1,0 x y xy f x y xy 在点)0 , 0(处指向点(1,1)的方向导数为 ( ) （A）0； （B）1； （C）2； （D）2。 3设有二元方程 2 sin()0 xyxy，则在(0,0)点的某邻域内，此方程 ( ) （A）仅可确定一个具有连续导数的隐函数( )xx y； （B）仅可确定一个具有连续导数的隐函数( )yy x； （C）可确定两个具有连续导数的隐函数( )yy x和( )xx y； （D）以上（A） 、 （B） 、 （C）都不正确。 4设 222 ( )d t F tfxyzV ，其中 t ： 222 0ztxy(0t )，( )f u 为连续函数，则( )F t ( ) （A） 2 2( )tf t； （B） 2 2( )t f t； （C） 2 4( )t f t； （D） 2 4( )tf t。 5考虑以下命题，其中正确命题的个数为 ( ) 若可微函数( , )f x y在区域D内满足( , )0 x fx y ，则有)(),(yyxf； 若 00 (,)f xy是函数),(yxf在区域D内的唯一极值，且为极大值，则 ),( 00 yxf必为),(yxf在D内的最大值； 若函数),(yxf在 00 (,), )Uxy内可偏导，且),(yxf在点),( 00 yx间断，则 ),(yxfx与),(yxfy中至少有一个在 00 (,), )Uxy内无界。(其中0。) （A）0； （B）1； （C）2； （D）3。 二、填空题（每小题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分） 6设 y zx，则 (e,1) d |z 。 7设 22 ( , )1Ex yxy 0 E，其中 0 ( , )0( 11)Ex yyx ，则 E 的边 界E 。 8交换二次积分的次序： 2 0111 1000 d( , )dd( , )d xx xf x yyxf x yy 。 9设,0 x y，且满足条件 22 48xy，则uxy的最大值为： 。 10设 22 ( , )1,0Dx y xyx，则 22 22 ln(1 e) d d xy D xyyx y 。 2 三、 （本本题题共共 8 8 分）分） 11求极限 1 0 2 lim esin x xy x y yx 。 四、 （每小题（每小题 8 8 分，共分，共 1616 分）分） 12设函数( , )f u v具有一阶连续偏导数， 0 ( ,e )d xy t zf tt，求 z x ， 2z x y 。 13设函数( , )zf x y具有二阶连续偏导数。 令,uxy vxy， 并取, u v为新 自变量，试变换方程 22 22 0 zz xy 。 五、计算下列积分（每小题（每小题 1010 分，共分，共 2 20 0 分）分） 14 22 2222 3 16 3 min,2() d d 16 xy xyxyx y 。 15 2 () dxyzV ，其中： 22 3 xy z ， 222 (2)4xyz。 六、应用题（第第 1616 小题小题 8 8 分，分，第第 1717 小题小题 1010 分，分，共共 1818 分）分） 16求锥面 222 (1)zxy被柱面 22 1xz所截下部分曲面的面积。 17过直线l： 102227 0 xyz xyz 作曲面 222 327xyz的切平面，求此切平 面的方程。 七、证明题（本题本题共共 8 8 分）分） 18已知二元函数的拉格朗日中值定理是：设函数( , )f x y在 000 (,)P xy的邻域 0 ()U P有一阶连续偏导函数( , ) x fx y和( , ) y fx y，则对任意 0 ( , )()P x yU P，存在 0 ( , )()U P ，使得 0000 ( , )(,)( , )()( , )() xy f x yf xyfxxfyy 。 设 函 数(,)fxy在R2上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 且( , )f x y在 222 ( , )|Dx yxyR的边界 222 ( , )|x yxyR上取值为零，其中常数0R 。 （1）证明：对任意的,P x yD，存在,D ，使得 22 ( , ) , f f x yxyR l , 其中OPl =,而O为坐标原点； （2）证明： 3 22 , ,d dmax 3 xy x yD D R f x yx yff 。 A 类，第 1 页 2013 级第二学期高等数学期中考试试卷级第二学期高等数学期中考试试卷(A 类类) 一、单项选择题(每小题 3 分，共 15 分) 1. 函数 22 22 sin() ( , )(0,0), ( , ) ( , )(0,0) 1, xy x y f x yxy x y 在 22 ( , )|1Dx yxy上 ( ) (A) 有最大值，无最小值； (B) 有最小值，无最大值； (C) 既无最大值，又无最小值； (D) 既有最大值，又有最小值。 2. 设 22 22 1 ()sin, ( , )(0,0) ( , ) ( , )(0,0)0, xyx y xyf x y x y ，则 ( ) (A)( , )f x y在(0,0)点不连续； (B)( , )f x y在(0,0)点的偏导数不存在； (C)( , )f x y在(0,0)点可微； (D)( , )f x y的偏导数在(0,0)点连续。 3. 若曲线 2 2 , 2 xz yx 在某一点 000 (,)xy z处的切向量与三个坐标轴正向的夹角相 等，则 0 x ( ) (A) 1 4 ； (B) 1 2 ； (C) 1； (D) 2。 4. 交换二次积分 11 00 ( , ) y dyf x y dx 的积分次序，结果为 ( ) (A) 11 00 ( , ) x dxf x y dy ； (B) 11 00 ( , ) y dxf x y dy ； (C) 2 11 00 ( , ) x dxf x y dy ； (D) 2 11 00 ( , ) x dxf x y dy 。 5. 三重积分 222 222 23 4 () xyz xyz axbycz edxdydz 的值 ( ) (A) 仅与常数a有关； (B) 仅与常数b有关； (C) 仅与常数c有关； (D) 与常数, ,a b c都有关。 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 6. 设 2 2sin ln(1) xy zxye，则 4 22 z yx 。 7. 若( , )f x y可微，, ,(2) (,)u x y zxyz f yx zx，则 uuu xyz 。 A 类，第 2 页 8. 函数 3(1) 4 ,cos() xy z x yexy 在点(1,0)处的最大变化率为： 。 9. 若 D是以(0,0),(1,0),(0,1)为顶点的三角形区域， 则(1) D xy d 。. 10. 设, ,F x y z和, ,G x y z具有连续的偏导数， , 0 , F G x z ，曲线： , ,0 , ,0 F x y z G x y z 过点 0000 ,P xy z。 记在xOy平面上的投影曲线为S。 则S上 过点 00 ,xy的切线方程为:_。 三、(本大题共 26 分，每小题依次为 8、8、10 分) 11. 设可微函数( , )f x y对任意0t 满足条件( ,)( , )f tx tyt f x y，且(3, 1)2 y f。 若曲面S：( , )zf x y过点(3, 1, 5) ， 求曲面S在点(3, 1, 5) 处的法线方程。 12. 设( , )zz x y由方程321 z exyz 所确定，求 z x ， z y ， 2z x y 。 13. 在椭球面 222 41616xyz的第一卦限部分上求一点，使椭球面在该点处 的切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为最小，并求出此最小体积。 四、(本大题共 26 分，每小题依次为 10、8、10 分) 14. 计算 222 () 2D xx dxdy xxxy ，其中 22 ,|2 ,0Dx yxyx y。 15. 设|cos()|Ixyzdxdydz ，其中 , ,|0,0,0 x y zxyz。 (1) 将I表示为累次积分； (2) 求出I的值。 16. 设是半椭球体： 222 222 1 xyz abc （0z ） ，计算 22 22 () xy dV ab 。 五、(本题 8 分) 17. 求球面 222 zaxy含于柱面 22 xyax（0a ）之内部分的面积。 六、(本题 8 分) 18. 设( , )f x y在 R2上可微，且lim ()1 r ff xy xy ，其中 22 rxy。证明： ( , )f x y在 R2上存在最小值。 A-1 2012 级第二学期高等数学期中考试试卷级第二学期高等数学期中考试试卷(A 类类) 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 二重极限 2 ( , )(0,0) lim 2 x y x y xy （ ） （A）1； （B）1 ； （C）不存在； （D）0。 2. 设 22 22 ,0,0 , 0,0,0 xy xyx y f x yxy x y ，则0,0 xy f （ ） （A）1 ； （B）1； （C）0； （D）不存在。 3. 若( , )f x y在点 00 (,)xy处可微，则下面 4 个结论中错误的为： （ ） （A）( , )f x y在点 00 (,)xy处沿任何方向的方向导数都存在； （B）方向导数 00 00 (,) (,) xy xy f fl l ； （C）方向导数 00 (,)xy f l 在梯度 00 (,)xy f方向取最大值； （D） 00 (,)xy f正交于曲线 00 ( , )(,)f x yf x y在点 00 (,)xy处的切线。 4. 若区域 22 ( , )|,11Dx yxyxx ，则ln(4) D xy d （ ） （A）2； （B）1； （C）1； （D）0。 5. 设( , , )| 11, 11,01x y zxyz ，常数0a ，则三重积分 sin() axyz exyz dxdydz 的值 （ ） （A）0； （B）0； （C）0； （D）A、B、C 答案都不对。 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 6. 设xyxzln 2 ，则 3 2 z xy _。 7. 设函数yxzz,由方程20 xyz xyze所确定，则 (0,1) z x _。 8. 极限 3 5 11 () lim nn n ij ij n _。 9. 交换积分次序： 2 12 00 ( , ) y y dyf x y dx _。 A-2 10. 极限 2222 222 3 0 1 limcos R xyzR xyz dV R _。 三、 （本题 8 分） 11. 设函数( , )u x y具有连续的二阶偏导数，( )v x二阶可导， (,)(23 )zu xy xyvxy，求 xy z。 四（本大题共 26 分，每小题依次为 8、8、10 分。 ） 12. 设曲面S由方程0,zyxF确定，且0 222 zyx FFF。 证明：S上离坐标原点最近点处的法线过坐标原点。 13. ( , )zf x y满足偏微分方程320 zz xy ， (1) 在变量替换 23uxy vxy 下， 将上述偏微分方程变形为z关于, u v的方程； (2) 证明：( , )zf x y可以表示为(23 )zgxy。 14. 求函数 3 () 3 xy x zey 的极大值和极小值。 五、 （本大题共 28 分，每小题依次为 8、10、10 分。 ） 15. 计算二重积分： 2 (2 ) D xydxdy ，其中 22 22 :1 xy D ab 。 16. 计算： 2 2 22 2 12 11 1 1 2 1 4 x z xy x dxdyedz 。 17. 计算三重积分： 222 xyz dxdydz ， 其中 22 2 ( , , )|1 2 x y zzxy . 六、 （本题 8 分） 18. 设常数0R，yxf,在区域 222 |,RyxyxD上具有连续的二阶偏导 数，且00 , 0f，0 2 2 2 2 y f x f ， 2 0 f x y 。证明：r：0rR，圆周 222 ( , )| r Cx yxyr上必存在点 00 (,)xy，使得0, 00 yxf。 A 类，第 1 页 2011 级第二学期高等数学期中考试试卷级第二学期高等数学期中考试试卷(A 类类) 一、一、单项单项选择题（每小题选择题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 1. 设函数( , )f x y可微，且对任意x、y都有 0 , x yxf ， 0 , y yxf ，则使不 等式 1122 ( ,)(,)f x yf xy成立的一个充分条件是 （ ） （A） 1212 ,xxyy； （B） 1212 ,xxyy； （C） 1212 ,xxyy； （D） 1212 ,xxyy。 2. 设函数( , )f x y在(0,0)处连续，那么下列命题正确的是 （ ） （A）若极限 0 0 ( , ) lim x y f x y xy 存在，则( , )f x y在(0,0)处可微； （B）若极限 22 0 0 ( , ) lim x y f x y xy 存在，则( , )f x y在(0,0)处可微； （C）若( , )f x y在(0,0)处可微，则极限 0 0 ( , ) lim x y f x y xy 存在； （D）若( , )f x y在(0,0)处可微，则极限 22 0 0 ( , ) lim x y f x y xy 存在。 3. 当0t 时， 222 22 ( )1 cos() d xyt f txy 是t的n阶无穷小量，则 n （ ） （A）4； （B）5； （C）6； （D）7。 4. 累次积分 cos 2 00 d( cos , sin ) df rrr r 可以写成 （ ） （A） 2 1 00 d( , )d x x xf x yy ； （B） 2 11 00 d( , )d x xf x yy ； （C） 2 11 00 d( , )d y yf x yx ； （D） 2 1 00 d( , )d y y yf x yx 。 5. 设01R，则二重积分 22 222 e d 1 xy xyR I xy 等于 （ ） （A） 22 222 0,0 e 4d 1 xy xyR xy xy ； （B） 22 222 0 e 2d 1 xy xyR x xy ； （C） 22 222 0,0 e 4d 1 xy xyR xy xy ； （D）0。 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分分) 6. 设 1 (ln)zfx y ，其中函数( )f u可微，则 2